化圆为方问题

1、化圆为方问题化圆为方是三大问题中最具魅力的， 它的产生很早， 在公元前五世纪后半叶的雅典，它已广为流传，妇孺皆知了。与该问题相联系的第一个人是为献身科学而放弃财产、 因天体学说而身陷囹圄的爱奥尼亚学派优秀数学家阿那克萨哥拉（ Anaxagoras，公元前 500 428）。他在铁窗里仍醉心于该问题的研究，但他获得什么成就我们不得而知。阿那克萨哥拉的同代人希波克拉底在屡经尺规作图的失败后，不无遗憾地意识到：光靠直尺和圆规是不能解决化圆为方问题的。然而，他似乎并不甘心，虽未能实现化圆为方， 却获得了化弓月形或弓月形与圆之和为方的结果，希氏研究了好几种弓月形。第一种弓月形如图4-2-21 所示，它是

2、由等腰直角三角形ABC的外接半圆和一条腰AC上的半圆所围成的。 因，故有半圆，即。同减去公共部分，即得弓月形，而我们很容易作一正方形与等积，因此弓月形AECF就被化为正方形。第二种弓月形如图 4-2-22 所示。CE、EF、FD 是以 CD 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边。取 AB 等于该圆半径，分别以 AB、CE、EF、FD 为直径作半圆。不难证明，三个弓月形 CGEM、EHFN和 FKDP与半圆 ALB?的面积之和图 4-2-21 图 4-2-22等于梯形 CEFD的面积。希波克拉底的这个结果给人一个印象，似乎化圆为方问题已被 解决 。因为由前面的结果，三个弓月形 CGEM、EHFN、

3、FKDP可化为正方形，于是从梯形 CEFD中减去这些正方形，所余直线形所化成的正方形，即与半圆 ALB等面积。然而，这不过是海市蜃楼而已。问题是：第二种弓月形与第一种并不一样不能化为正方形。希波克拉底还研究了第三种弓月形。如图 4-2-23，两同心圆，大圆直径的平方是小圆直径平方的 6 倍，正六边形 ABCDEF内接于小圆， GH、HI 是大圆内接正六边形的两邻边。以 J 为圆心， JG为半径作圆弧 GKI，它与 JHI?围成弓月形。易知弓形 GKI、GMH 和 APB是相似弓形（所对圆心角相等），故其面积图 4-2-23之比等于底平方之比。但 GI3GH，而 GH6AB，因此弓形 GKI 2

4、（弓形GMH）+6（弓形 APB），于是得GHI弓月形 GHIK+小圆内所有弓形，因此：GHI+正六边形 ABCDEF弓月形 GHIK+小圆。由于等式左边可化方，故右边也可化方。在化圆为方的历史上，苏格拉底的同代人，亚典巧辩学派的辩士、安提丰（ Antiphon ）是值得注意的第二人。安提丰从圆内接正三角形出发，在各边上作等腰三角形， 得圆内接正六边形。 在正六边形各边上重复同样的作法， 得圆内接正十二边形。继续这个过程， 安提丰说在某个时侯我们将得到一个圆内接正多边形，其边长细微到与圆周重合。 由于任一多边形都可化方， 因此我们就能化圆为方。安提丰不过是透过 “无穷” 的迷雾看到一座空中楼阁

5、而已。他当然没能真正实现化圆为方。不过他的通过不断倍增圆内接正多边形边数来穷竭圆面积的思想对后来的希腊数学产生深刻的影响。它是欧多克斯穷竭法的基础， 阿基米德的圆周率求法正体现了它的实际价值。和三等分角、 倍立方问题一样， 要彻底解决化圆为方问题，就得使用直线和圆以外的其它曲线。由于圆面积等于圆周长为底、半径为高的 Rt 的面积，而 Rt 又很容易化方，因而化圆为方问题就转化为圆周求长问题。前已介绍过， 希皮亚斯利用他的割圆曲线来三等分角。 后来，梅内克缪斯的弟弟、欧多克斯的学生迪诺斯特拉图（ Dinostratus，公元前 4 世纪中叶）又用它来化圆为方。 如图 4-2-24 所示，BG为一

6、割圆曲线， 迪诺斯特拉图获得如下结果：图 4-2-24 图 4-2-25迪氏的证明如下：假设，则，其中 AK?要么大于 AG，要么小于 AG。（i）假设（图 4-2-24），以 A 为圆心、 AK 为半径作圆弧 KFL，交割圆曲线于 F，交 AB 于 L。连 AF 并延长，交于 E。作 FHAD 于 H。由假设，:，因此得。又由割圆曲线的性质，:，因，这是不可能的。故AK 不能大于 AG。（ii）假设（图 4-2-25）。以 A 为圆心， AK 为半径作圆弧。过?K 作 KFAD，交割圆曲线于F，连 AF，分别交两圆弧于M、E。则与（ i）一样可证。由割圆曲线的性质，。因此，这是不可能的。故A

7、K 也不能小于 AG。因此命题得证。于是我们求得之长，从而求得整个圆周之长。?这样，化圆为方问题被解决。与希皮亚斯割圆曲线相类似， 阿基米德螺线不但可以用来三等分角， 也可以用来化圆为方。 不过，后者也是阿基米德自己完成的。 如图 4-2-26，螺线的极点为 O，第一圈终于点 A。以 O 为圆心，a 为半径作圆，则圆周长等于 OA。这样，阿基米德轻易解决化圆为方问题。图 4-2-26 图 4-2-27稍迟于阿基米德的阿波罗尼斯用圆柱螺线解决了化圆为方问题， 如图 4-2-27 所示。设圆 O 是一直圆柱之底面， A 是螺旋线之起始点。螺旋线在其上任一点 P 处的切线交底所在平面于 T。则 PT

8、在底平面上的投影 BT 与 AB 相等。因此，当 P 点恰好为 A 点所在母线上离 A 最近的点时， TB 与圆周长相等。 ?从而化圆为方问题得以解决。在阿波罗尼斯之后，机械师卡普斯（ Carpus）也解过化圆为方问题。他所用的“双重运动曲线”今已失传，据数学史家唐内里（ P.Tannery,18431904）推测，它是摆线，亦即卡普斯是通过将圆沿直线滚动一周获得圆周长的 （图 4-2-28）。图 4-2-28 图 4-2-29文艺复兴时期，意大利着名艺术大师达·芬奇（L.de Vinci,14521519）为化圆为方问题所吸引，并获巧妙方法。如图4-2-29，设圆半径为 R，以圆为

9、底作高为 的圆柱，然后将圆柱在平面上滚动一周，得矩形。 ?将矩形化方，即完成化圆为方。以上我们看到， 希腊人很早就意识到 （但未能证明） 三大难题不能以尺规在有限步骤内完成。 但它们看似如此简单， 以至希腊人未能抵制诱惑； 他们不断寻求尺规以外的方法，结果导致圆锥曲线、割圆曲线、蚌线、蔓叶线和螺线等高次曲线和超越曲线的相继发现。 三大难题使一代又一代希腊数学家显示了非凡的聪明才智，并深刻影响了希腊几何的整个发展过程。三大难题的魅力并未随希腊文明的沦亡而消失。 事实上，从希腊以后特别是欧洲文艺复兴时期以来直到本世纪，对于它们的研究从停止过。1837 年，年轻的法国数学家万采尔（，18141848

10、）证明了三等分角和倍立方尺规作图之不可能性。1882 年，德国数学家林德曼（ C.Lindemann,18521938）证明了的超越性，从而证明了化圆为方的尺规作图之不可能性。以后数学家们又还建立了两条一般定理：定理 1 任何可用尺规由已知单位长度作出的量必为代数数；定理 2 若一有理系数三次方程没有有理根， 则它的根不可能用尺规由一给定单位长度作出。或许你会说， 迷恋于这三大难题的人至此总该死心塌地了。 然而，事实完全不是这样。许许多多人依然故我，乐此不疲。一方面，一些人受希腊人以及后世的韦达、帕斯卡、笛卡尔、牛顿等名家的启示，并且也受三大难题魅力驱使，继续探求尺规以外的解法。如本世纪又有人

11、成功地发明所谓“角线”来三等分角，从而给三大难题的历史添上新的一页； 另一方面， 确有一些人抵制不住诱惑， 继续盲目地寻求三大难题的尺规作图法， 成为三大难题历史上新的失败者。 在美国，一些数学杂志社每年总要收到许多三等分角或化圆为方的稿件， 且在报纸上常见到“某某人成功解决三等分角问题”之类的新闻。在我国，情况颇相类似。 1938 年，汪联松在北平晨报发表文章，声称自己苦心研究 14 载终于解决三等分角问题； 1946 年，吴佑之在四川省立科学馆的科学月刊上发表了一个错误的三等分角尺规作图法； 1948 年，上海大陆报刊登了一则杨嘉如解决三等分角的新闻解放后， 盲目的尝试者仍有增无减，三等分

12、角问题的稿件源源不绝。 中国数学杂志 （数学通报 的前身）编委会不得不在第一卷第三期（ 1952 年 8 月）刊登如下启事：本会截至现在为止，收到关于“三等分角”问题的稿件是相当多的，可见目前尚有很多人去追求这个古老的问题。这个几何三大问题之一的问题，若许用圆规直尺以外的器械或曲线去作图，早在纪元前就已解决了；如果只限用圆规、直尺（就是初等几何的方法），到十九世纪的时候已经证实不能作图（参阅科学通报第三卷第六期华罗庚同志的三分角问题一文）。所以这个问题现在实是不成问题的问题了。有些人因为见它的表面很简单，总不相信不能作图；也有人以为“目前虽不能，将来说不定还可能”；所以便为它的表面简单而迷惑，

13、为将来的可能而醉心。这种研究精神，用再其他事物上是很可钦佩的，但用在这个问题上，却是徒劳无功的事。希望这些人放弃这个企图吧！我们对于以上的投稿者都一一答覆了，今特在这里作一个总声明，请读者以后再勿投这类的稿件来，以免浪费人力物力。然而，关于三等分角的稿件仍然源源而来。为此，数学通报不得不在 1953 年 1-2 月号再次刊登上述启事。然而，让编委会始料不及的是，三等分角的稿件还是源源而来。于是，编委会又在数学通报1957 年1 月号刊出题为“再告企图用规尺三等分角的同志”的启事：用规尺三等分任意角”这一个不成问题的问题，本通报已经登过几次启事说明这是一个已经证明“不能”的问题，忠告一些同志不要

14、浪费宝贵的精神企图“能”了。启事登了以后，“三等分角”的稿件还是源源而来，我们虽然对每一稿都作了答复， 但认为对这样的问题彼此白费了许多精力和时间，殊不只值得。就来稿的情况看：有些同志是不知道这个问题已经证明“不可能”了；也有人明知道了而偏不相信；还有人想了一个方法，他自己认为是对的，但是不会证；更有人对于他想的方法并没有信心， 认为是“十不离九” ，万一不对的话，也是近似的；等等。这样，我们敢大胆地说一句话：这些同志还没有彻底了解前人对于这个问题的证明。现在我们再一次奉劝企图用规尺三等分任意角的同志细读前任的证明。这样的证明，数学界公认为是对的已经多年了，如果还有人怀疑，就请先把它驳倒了再研究三等分法，幸勿先想方法，不管前人研究的成果，而自寻苦恼。因此，我们愿意和企图用规尺三等分任意角的同志相约：如来稿系前人的证明加以辩难，我们一定参加讨论；如来稿没有驳倒前人证明的文章，仅说方法如何如何， 恕我们不付审查。特此郑重声明。关于前述的证明，中文书籍如苏联数学家乌兹科夫等所着“代数”（丁寿田译），德人韦柏着“数学全书”第二册（郑太朴译），日人林鹤一着“初等几何学作图不能问题”（仁诚等译）中均载之，请查阅。在没有看或没有看懂以前，不必妄想打破记录！至于“近似”的问题，我们以