专题五-数学课堂练习题的设计

1、专题五 数学课堂练习题的设计教学目标与教学指导“数学课堂练习”是数学课堂教学的重要组成环节，主要目的是促使学生稳固和消化在课堂上所学的数学知识或技能，深刻理解掌握课堂上老师新近传授的数学思想方法，并能灵活应用它们解决数学问题。课堂练习是使学生掌握知识，形成技能，培养学生运用知识解决实际问题的有效手段，是学生学习数学的重要环节。它对优化课堂教学过程，提高课堂教学效率，拓展学生思维空间，起着重要的作用。本章分两节。第一节，简要概述数学课堂练习的理论基础，从以下四个方面具体介绍：1阐明数学课堂练习题的含义，提出数学课堂练习题应更多地具有数学问题的特征。2论述数学练习题发挥的三方面功能知识功能、反馈功

2、能、教育功能，并具体指出这些功能在练习题中的具体表现。3按照知识内容、形式、要素分析、开放性、评分的客观性这5种标准划分数学练习题的类型。4指出数学课堂练习具有口头练习、书面练习、操作练习等多种方式。第二节，第一部分详细阐述课堂练习设计需要掌握科学性、目的性、针对性、新颖性、灵活性、层次性等原则，对每种原则的内涵，通过有代表性的案例进行详细分析；第二部分拿出一整套优秀的课堂练习设计案例，对其进行深入剖析，以展现课堂练习设计的全貌。 第一节 数学课堂练习题概述一、数学课堂练习题的含义“数学课堂练习”是数学课堂教学的重要组成环节，主要目的是促使学生稳固和消化在课堂上所学的数学知识或技能，

3、深刻理解掌握课堂上老师新近传授的数学思想方法，并能灵活应用它们解决数学问题。课堂练习是使学生掌握知识，形成技能，培养学生运用知识解决实际问题的有效手段，是学生学习数学的重要环节。它对优化课堂教学过程，提高课堂教学效率，拓展学生思维空间，起着重要的作用。而“数学课堂练习题”就是教师进行课堂练习教学的载体，它是教师针对课堂教学内容，为使学生到达一节课教学目标的要求，有目的有计划地设计的一系列数学习题。数学练习题是帮助学生理解、掌握和运用数学概念、定理、公式和法则的数学问题，是教师用作示范的具有一定代表性的典型数学问题，是把数学知识、技能、思想和方法联系起来的纽带，是对知识、技能、思想和方法进行分析

4、、综合和运用的重要手段。1 从以上对“数学练习题”的界定，我们可以看出，数学练习题与数学问题关联密切，它们的概念内涵上有一定的重合之处，但也有一定的区别。一般来说，练习题主要是为课堂教学服务的，教师通常以教学内容为主，针对教学知识与能力要求设计安排一些有层次的习题，通过让学生做练习起到加深稳固所学数学知识的作用，所以说练习题具有较强的指向性和目标性；而问题所涵盖的知识、涉及的己知未知的因素范围较广，不局限于学科要求本身。另外，练习题属于一种常规训练，是面向全体学生的，在训练难度、技巧上应该是大多数学生能够接受的，具有大众性；而问题往往是非常规的，而且问题具有相对性，对于一个人可能是问题，而对于

5、另一个人只不过是习题或练习，而对于第三个人，却可能是索然无味了。正因为练习题本身有区别于问题的这些特征，所以有人认为练习题与问题是两个不同的概念。练习题是为日常训练技巧设计的，而真正的问题则适合于学习发现如何探索的技巧，适合于进行数学原始发现以及学习如何思考。另外，练习题也只能称为“常规问题”，因为在许多情况下，教师已经在课堂上提供了典范解法，而学生只不过是应用这种典范解法模仿着求解类似的问题。戴再平在他的所著的数学习题理论一书中提出：“我们应该转变观念，拓广数学习题这个概念的外延，使之包括来自生产、生活以及各学科的实际问题，以及条件是不完备的、解题策略是多种多样的、结论是不确定的所谓数学开放

6、题”。2因此，如果我们把“数学练习题”与“数学问题”严格划清界限，把“数学练习题”仅定位于简单的训练和常规的数学问题，将不利于学生深刻的理解数学知识与形成数学能力。传统的练习题只是以教科书上或老师在课堂上讲解的例题为范本，做练习也只是应用某种技术的简单重复，这对大多数学生来说没有挑战性，没有乐趣可言，做题反而成了一种负担。但是在当前数学新课改的发展趋势下，对学生“问题解决”的能力日益重视，因此，对课堂练习题的改革也迫在眉睫。练习题虽不等同于问题，却也属于问题，作为学生日常训练的一个重要组成部分，它是锻炼学生数学思维的体操，对于学生稳固记忆数学知识、熟练运用数学技能与思想方法起到重要作用。但是，

7、我们不能把练习题的功用仅局限于此，练习题也应该同样具有问题的特征，在设计课堂练习题时，教师可以增加一些富有挑战性、探究性、开放性的问题，这并不意味着增加练习题的难度，而是要改变过去练习题单一、枯燥的形式，从内容上开拓学生视野，有助于学生创造性的思维发挥和解决问题能力的提高。所以我们不应把练习题与问题完全割裂开来，延伸“数学练习题”这一概念的内涵范畴是非常有必要的，而且也是可行的。二、数学练习题的功能1.知识功能通过练习，使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能或技巧，这是数学练习题的知识功能。数学练习题的知识功能贯穿在学生获得数学知识的三个阶段之中：1通过数学练习引入新知识。学习新知识，最重要

8、的是建立新旧知识之间的联系，而建立新旧知识之间的联系必须先引起学生的思考，在学生的思想下产生疑问，正所谓“学起于思，思起于疑”。在这个过程中，数学练习题是架设在新旧知识之间的桥梁，并且是激发学生产生疑问的物化手段。优秀教师常常是通过数学练习题将学生引导到学习新知识的情景之中。2通过数学练习题稳固知识。稳固知识不仅靠复诵、模仿，更主要的是理解。在掌握新知识的过程中，最重要的是知识间的同化，即把新获得的知识纳入到原有的认知结构中去，数学习题能够积极地引起学生进行认知活动。所以，牛顿说过，在数学中，例子比定律更为重要。3通过数学练习题运用知识。无论是数学概念、数学定理、公式、法则的认识、理解或掌握，

9、数学基本技能技巧或数学思想方法的获得，以及数学能力的提高、智力的培养和发展，都离不开解题，学生正是通过典型练习题的演算而运用知识，并获得新的知识。2.反馈功能课堂练习是一种有目的、有组织、有指导的实践活动，是学生掌握知识的重要过程，是提高教学效率的重要手段。教师在学生做练习过程通过巡回辅导，及时帮助后进生发现错误、改正错误，同时解决个别优等生的质疑，做到对练习情况心中有数。这样，借助课堂练习，教师可在第一时间获得学生有关解题速度、正确率、对知识的掌握程度以及他们在观察、分析、概括、归纳问题的过程中所反映出来的各种信息，有利于对课堂教学的调控，可以使教师对学习提供的指导更具针对性。数学课堂练习既

10、为教师提供调控教学的信息，又为学生提供调整学习的信息。针对来自学生练习中的反馈信息，教师对学生练习情况做及时的评价与讲解，促使学生完善优化知识结构。3.教育功能数学素质教育功能主要表达在智力和非智力两个层面。从智力层面来看，数学练习题具有表达基本知识和基本能力，以及运用数学思想方法、培养数学意识的教育功能。从非智力层面来看，数学练习题能表达思维品质教育的功能，它具体表现为以下三方面的功能：1德育功能。数学课程对形成学生的性格和道德个性方面有巨大的作用。有些数学应用性的练习题中渗透着对环保意识、市场经济意识、优化意识、创新意识的教育意图，对提高学生的道德素质是十分重要的。2美育功能。数学练习题的

11、条件的和谐性与独立性，形式的对称性，解法的合理性、简练性与独创性等等，无不表达出数学的统一美、简单美和奇异美，因此数学练习题能给学生以美的陶冶，在解决数学练习题的探索过程中，其动力往往来自对美的追求。魏耳说过：“除了语言和音乐之外，数学是人类心灵的自由创造力的最主要的表现。”“我的工作常想把真实和美统一起来，但当我不得不在这两者中选择时，我通常选择美。”3价值观教育功能。通过题目中隐含的辩证思想，数学练习题反映着客观现实的各种现象，可以向学生进行辩证唯物主义世界观的教育。另外，有些数学练习题能反映出我国传统数学的伟大成就，以及我国现代科学技术文化的发展成就，它们也有助于培养学生的爱国情怀。三、

12、数学练习题的类型研究数学课堂练习题，必须了解数学练习题的分类。戴再平在数学习题理论中将数学练习题按不同的标准分类如下3：1.按知识内容分类：数学习题可分为算术题、代数题、几何题等，并且对每个内容在不同层次上还可以分类。2.按形式分类：比较完善的是三分法是，第一类是求解题，第二类是证明题或说明题，第三类是变换题或求作题。3.按要素分析分类：数学问题是一个系统，系统的各个要素分别是问题的条件、解题的依据、解题的方法、问题的结论，分析四个要素中已知要素的多少可将数学练习题依难度分为：标准型题训练型题探索型题问题型题。 4.按开放性分类：可分为封闭题和开放题。但凡具有完备的条件和固定的答案的习题，我们

13、称为封闭题；而答案不固定或者条件不完备的系统，我们称为开放题。5.按评分的客观性分类：可分为主观题和客观题。有唯一正确的答案，不管由谁评分都只能给出同一个分数的习题，叫做客观性习题；正确答案可用多种方式表述，评分者须凭主观经验给分的习题，叫做主观性习题。传统的证明题、计算题等，都属于主观性习题。客观性习题又可分为选择题、填充题和简短的问答题等类型，通常所说的客观性习题，主要是指选择题。对于第1、2、4、5种分类方式，大多数教师都比较熟悉，但是对于第3种按要素分析分类，想必许多教师对它感到陌生，下面，我结合实例具体阐述一下按要素分析分类的练习题类型。41标准型如果我们把问题的条件、结论、解法、解

14、题依据称为构成问题的四个基本要素，那么标准型练习题则是指四个基本要素都为学生所知道的问题。  例如，如图1，已知：AB=CD，1=2。能够判定ABDCDB的方法是 (   )(A) SAS (B) ASA (C) AAS (D) SSS对于刚学完三角形全等判定方法的初二学生来说，就是一道标准型练习。2训练型在构成问题的四个要素中，如果有一个要素是学生不知道或不明确的，就称这样的问题为训练型练习题。这种问题的解法常常有固定的模式，便于学生模仿。仍以图1为例，假设条件不变，把结论改为“求证：ABDCDB”，就成了训练型练习。3探索型在构成问题的四个要素中，如

15、果有两个要素是学生不知道或不明确的，就称这样的问题为探索型练习题。还是以图1为例，把问题改为“要证明ABDCDB，需要哪些条件？”由于该问题的条件不明确，也没有指明用哪种判定方法证明，需要学生自己寻找解决问题的途径，因而就成了探索型的问题。4问题型在构成问题的四个要素中，如果有三个要素是学生不知道或不明确的，就称这样的问题为问题型练习题。还是以图1为例，将问题改为“已知：AB=CD，1=2，你能得出哪些结论？”这一问题的解法、解法依据、结论都没有明确，需要学生运用已有的知识如平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定等和经验综合进行考虑，这就成了问题型的了。上述例子说明，在具体的教学条件下，将

16、同一道题分别用标准型、训练型、探索型、问题型等不同的形式给出，可以到达不同的教学目的。在解题策略上，后一类问题通常要转化为前一类问题。另外，这几种题型还具有相对性。如解方程2x2-x-3=0，对于刚学过一元二次方程的解法的初三学生来说是标准型练习，但如果让刚学过因式分解的初二学生完成，就成了训练型练习。四、数学课堂练习的方式1口头练习口头练习直接作用于学生的注意力，能加强学生记忆力、思维能力的培养，具有快速、省时等优点。设计口头练习要注意做好以下几个结合：与新学不久的内容相结合；与当天所学内容相结合；与常用公式、定理、法则相结合；与运算技能相结合。2笔头练习笔头练习是指书面练习或板演练习，其难

17、度一般比口头练习大，其作用主要是培养学生良好的学习习惯，是考查学生预习、复习、稳固、运用所学知识情况的重要途径。这类练习主要是练理解、练熟练、练准确、练技巧。3操作练习操作练习主要指借助工具或材料进行的各种练习。它具有直观性强的特点，能直接作用于学生动手能力的培养。这类练习以观察、分析、综合、概括为主线，以加强概念教学、发现知识规律、能举一反三触类旁通为目的。常见的操作练习有：作图画图训练、学具或教具制作训练、完成实验报告等。另外，利用电脑教学软件如几何画板进行探索性练习，更有利于培养学生的创新意识和创造精神。第二节 数学课堂练习的案例设计一、数学课堂练习设计的原则1科学性原则所谓科

18、学性，主要是指题目本身不能出现科学性错误，问题的指向性要明确，不能模棱两可；练习题的内容不能超出所学知识范围；题型设计合理，且忌随意。比方，在选择题中不应出现这样的命题：“以下命题中，正确的个数是( )”。因为，假设学生恰好将一个正确的命题和一个错误的命题判断反了，那么所选择的答案依然是正确的，这就不利于教师及时查找学生的错误原因。2目的性原则课堂练习的设计应根据教学内容和目的，根据学生的年龄特征和心理规律，做到紧密联系课堂教学内容，紧扣教学要求，以基本训练为主，围绕教学的重点、难点进行设计。具体地说，课堂练习的设计应以双基训练为主，通过练习，促使知识与技能结合，加深对所学知识的理解和稳固，有

19、助于学生系统掌握所学知识。 案例5-1：平移  平移 片断 案例分析问题1锻炼学生从几对图形中区分出只通过平移变换得到的图形，属于辨析类练习，考察对平移变换的形象感性认知情况。在问题2中，教师不仅要求学生指出不是由1号图形平移得到的那个图形，还追问“它为什么不是”，了解学生对平移的第一个特征“形状大小完全相同”的掌握情况。问题3主要考察学生对平移的第二个特征“对应点连线平行且相等”的掌握情况，而且第2小问将本节课所学的知识与以前所学知识紧密联结起来，这种处理方式不仅有助于学生理解平移特征，还有益于培养学生综合应用平移的特征解决问题的能力。这三道练习题有助于加深学生对平移变换

20、的概念内涵两个特征的理解，从而突破了本节课的难点理解平移的特征。3针对性原则所谓针对性，就是针对学生数学认知中的误区和解题中的“常见病”、“多发病”，设计一些学生易错或易混的知识点练习，以期通过练习，到达“药到病除”之成效。 案例5-2：等腰三角形  等腰三角形 片断 4新颖性原则心理学的研究说明，如果一个人对某项活动有浓厚兴趣，活动的效率就会大大提高，且不易产生疲劳和负担过重的感觉。因此，新颖性应成为教师设计课堂练习时应充分考虑的因素。新颖性有两方面的含义：一是题型新，目前课本中的题型几乎被计算题、应用题、证明题所“垄断”，用新颖的题型进行“包装”，学生就会产生新鲜感；二

21、是题材新，为激发学生的兴趣而设计，让学生有耳目一新之感。 案例5-3：镜子改变了什么  镜子改变了什么 片断 案例分析教师以警察抓罪犯的生动故事情节创设问题情境，让学生以“侦探”的角色分析这“不在场的证据”，新颖别致的练习题材一下子吸引了学生探究的兴趣，使学生应用所学镜面对称的知识破解了犯罪嫌疑人的诡计。5灵活性原则数学教学的核心是培养学生的思维能力。在课堂练习中，经常设计一些一题多解、一题多变等解法灵活的练习，不仅能开拓学生的视野，而且能培养学生思维的灵活性、发散性和创造性，使学生在练习的同时，能力也得到相应的提高。 案例5-4：有序数对  有序数对 片断

22、60;案例分析当绿马位于图1中的位置时，由于绿卒蹩了绿马的腿，所以根据“马”走日的规则，绿马可以走到2，10，1，9，1，7，5，7这四个位置。老师变动题目条件，将绿卒向前拱动一步，这时，绿卒不再蹩马腿，学生马上辨识出问题条件的变化，在以上四个位置基础上增加两个位置2，6和4，6。这道练习题不仅锻炼学生利用有序数对描述物体位置的技能，也使学生注意到要根据问题的实际要求寻找绿马可能移动到的位置，从而培养学生思维的灵活性。 案例5-5：平行四边形的判定  平行四边形的判定 片断 案例分析这道作图练习题入手较易，但解决方案多，能够用几乎所有的平行四边形的判定方法解决，教师鼓励学生

23、从边、角、对角线多角度思考作图方案，有利于学生发散思维，培养综合应用平行四边形的判定定理思考与解决问题的能力。同时，老师要求学生陈述作图依据，也注重了对学生严谨逻辑证明能力的培养。6层次性原则练习能表达教学内容的层次，适合思维能力层次不同的学生。设计的练习不符合学生实际能力和需要，或太难，或太深，学生不会做，无结果，他们的兴趣和情绪就会受到影响。根据学生的程度和教学要求的不同层次，按由易到难、由简到繁、由基本到变式的顺序设计有一定梯度的练习题，使不同层次的学生经过刻苦学习之后都能获得成功体验，使学生的学习更加积极主动。 案例5-6：摸到红球的概率  摸到红球的概率 片断 &

24、lt;层次一> 应用稳固:1从班级中抽到自己参加活动的概率是多少？为什么？2把扑克牌洗匀，任意抽出一张，抽出大王的概率是多少？抽一张2的概率是多少？为什么？老师在讲解摸红球概率的表示方法“P摸到红球 ”时，从可能性的角度解释说“5”表示“摸到一球所有可能出现的结果数”，“4”表示“摸到一个红球可能出现的结果数”。紧接着，教师布置了这组模仿练习，要求学生求出不确定性事件的概率，并从可能性角度对所求得概率的含义进行解释，稳固学生对“概率”定义的理解，锻炼学生计算不确定性事件发生可能性的技能，属于理解新知识的定向性练习。<层次二>书107页的“做一做”，说明设计思路。用4个除颜色外

25、完全相同的球设计一个摸球游戏。1使得摸到白球的概率为 ，摸到红球的概率也是 。2摸到白球的概率为 ，摸到红球和黄球的概率都是 。你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？这组练习，要求学生逆向思维，从摸出不同颜色球的概率结果与球的总数去逆向推断各种颜色球有多少个，使学生加深对“概率”意义的理解，同时更加灵活地掌握摸球活动这种能够表达概率随机思想的基本模型，属于思维拓展练习。<层次三>情境性问题:游戏公平吗？小明和小刚都想去看周末的足球赛，但却只有一张球票，小明提议用如下的方法决定到底谁去看比赛：小明找来了三张扑克牌：红桃2、红桃3、红桃4，反面朝上洗匀后，任意抽出

26、两张，假设抽出两张的数字和是偶数，则小明去，假设抽出两张的数字和是奇数，则小刚去。你认为这个游戏公平吗？环节一：提出问题，游戏公平不公平，用什么来判断？引导学生利用概率看游戏的公平性。环节二：教师组织小组合作实验，学生利用红桃2、红桃3、红桃4三张扑克牌实际操作游戏中的规则。学生实验后，教师找学生汇报不同的实验结果。环节三：引导学生概率视角分析游戏的规则与结果，解释说明游戏不公平的原因。环节四：组织学生四人一组讨论，自主设计公平游戏。教师通过创设“抽扑克牌”的游戏情境，引导学生经历“操作实验收集实验数据-分析实验结果”的探究过程环节一至三。在这样的学习情境中，学生是以“做”而非“听或看”的方式

27、介入学习活动，通过进行抽扑克牌的操作、观察实验结果、推断哪方应该去看足球赛、分析游戏规则与结果等多种数学探索活动，深刻理解概率的意义，提高自己应用所学概率知识分析与解决实际生活问题的能力。在第四环节“设计公平游戏”中，教师提示学生不必围绕抽“红桃2、红桃3、红桃4”这三张纸牌，可以自主改造游戏条件去设计公平的游戏，使问题极具开放性，有助于学生从视角、多策略地利用所学概率的知识经验设计游戏规则，并验证游戏结果的公平性。由以上分析可见，这道情境性问题属于拓广探索性练习，为学生高层次的数学思维活动提供平台，有利于培养学生应用新知识分析与解决问题的能力以及创造性思维能力。二、数学课堂练习的优秀设计案例

28、 案例5-7：温度的变化  温度的变化 片断<层次一：知识应用>利用课件展示出一天温度的变化外其他背景下的变量图象。1潮汐   港口水位变化图教师邀请一位同学上讲台，采取教师问、学生答的方式分析图像中变量与变量间关系的信息： 图像中涉及哪两个变量？谁是自变量？答：图像中涉及时间与水深两个变量，时间是自变量。 这天的最高水位是多少？什么时候出现的最高水位？答：最高水位是7.5米，是在3时出现的。 什么时候出现的最低水位？最低水位是多少？答：9时出现最低水位，最低水位是2.5米。 在这一天的水位当中，什么时间水位呈下落趋势？什么时间水位呈上升趋势？答：3时

29、至9时水位呈下落趋势，0时至3时、9时至12时水位呈上升趋势。2人体温变化图教师找两位同学上讲台，采取“你问我答”方式挖掘体温变化图中变量之间关系的信息： 图像中哪个是自变量？哪个是因变量？答：时间是自变量，体温是因变量。 在一天内，人的最高体温是多少？最低体温又是多少？最高体温与最低体温的差是多少？答：最高体温是37.2，最低体温是36.2，它们的温差是1。 从什么时候开始，人的体温开始平衡？答：从12点开始。 图像中一共有几个转折点？分别是哪些？答：共有4个转折点：2点、7点、9点、17点。3公司收入变化图同样地，教师找两位同学上讲台剖析图像信息，教师提醒其他同学注意观

30、察。 这幅图上哪个是自变量？哪个是因变量？答：月份是自变量，收入是因变量。 哪个月份的收入最低？它大约是多少万元？答：8月份收入最低，大约在1.2百万元左右。 哪月份收入最高？大约在多少万元？答：12月份收入最高，是6百万元。 它在这一年当中一共有多少个转折点？是几月份？它是有什么转向什么？答：只有1个转折点，在8月份，由下降趋势转变为上升趋势。教师让这两位学生转换角色，再次进行“你问我答”活动。 这个公司在这一年当中哪些月份的收入是一样的？答：3月和10月是一样的，6月和9月是一样的。教师补充提问：你能预测一下明年一月份这公司收入大体是多少？4股价时间变化图   图像中黑线表示股价的走势。教师请学生充当“小小股评家”，对这5支股票中的一支的股价走势进行分析，教师追问：“什么时候卖出买进最划算？”案例分析 通过展示各种不同生活情境中的变量关系图象，引导学生观看课件演示，采用“你问我答”、“小小股评家”等多种形式活动，挖掘不同背景以下列图象中的变量与变量间关系的信息，进行综合分析、合理预测，表达数学在生活中及其他领域中的重要作用。同时，培养学生知识的迁移能力，激发学生学习数学的兴趣。<层次二：深化练习>1请你来裁判：图为BB牌电脑的广告，请问，BB牌电脑的销售业绩是否真的比AA牌好？2请你来连线：以同样粗细的的导管按同