专题一--乘法公式及应用

1、专题一 乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm

2、+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1已知，求的值。解： =， =例2已知，求的值。解： =， 例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a

3、-b)2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例6：判断2+122+124+122048+1+1的个位数字是几？例7运用公式简便计算11032 21982例8计算1(a+4b-3c)(a-4b-3c) 2(3x+y-2)(3x-y+2)例9解以下各式1已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。2已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。3已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。4已知，求的值。例11计算 1(x2-x+1)2 2(3m+n-p)2两数和的平方的推广 (a+b+c)2=(a+b)+c2 =(a+b

4、)2+2(a+b)×c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为识别和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。例1. 计算： 解：原式(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2. 计算：例3. 计算：三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的

5、逆向形式，并运用其解决问题。例4. 计算：四、变用: 题目变形后运用公式解题。例5. 计算：五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6. 已知，求的值。解：例7. 计算：三、学习乘法公式应注意的问题 一、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例1 计算(-2x2-5)(2x2-5)分析：此题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b解：原式=(-5-2x

6、2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；假设将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b解略二、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式解：原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) =(2x+5)2-(y-z)2

7、 =4x2+20x+25-y+2yz-z2例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：假设先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便解：原式=(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)2 =(a3-1)(a6+a3+1)2 =(a9-1)2=a18-2a9+1例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但假设添上一项2-1，则可运用公式，使问题化繁为简解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(

8、24-1)(24+1)(28+1) =28-128+1 =216-1三、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可表达为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y四、注意公式的变换，灵活运用变形公式 例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值； (2)已知：x+2y=7，

9、xy=6，求(x-2y)2的值分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的以下变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单解：(1)x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10， xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40 (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完

10、全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决解：原式=(a+b)+c2+(a+b)-c2+c+(a-b)2+c-(a-b)2 =2(a+b)2+c2+2c2+(a-b)2 =2(a+b)2+(a-b)2+4c2 =4a2+4b2+4c2五、注意乘法公式的逆运用例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：假设按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多解：原式=(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c) =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac例10 计算(2a+3b)2-2(2a

11、+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2四、怎样熟练运用公式：一、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式二、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a

12、、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算x+2y3z2，假设视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用ab2=a22ab+b2来解了。三、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点常见的几种变化是：1、位置变化 如3x+5y5y3x交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了2、符号变化 如2m7n2m7n变为2m+7n2m7n后就可用平方差公式求解了思考：不变或不这样变，可以吗？3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为10

13、02100+2，10012，90+12后就能够用乘法公式加以解答了4、系数变化 如4m+2m变为22m+2m后即可用平方差公式进行计算了5、项数变化 如x+3y+2zx3y+6z变为x+3y+4z2zx3y+4z+2z后再适当分组就可以用乘法公式来解了四、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便如计算a2+12·a212，假设分别展开后再相乘，则比较繁琐，假设逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便即原式=a2+1a212=a412=a82a4+1对数学公式只会顺向从左到右运用是远远不够的，还要注意逆向从右到左运用如计算11111，假设分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错假设注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解此题即原式=11+11+××11+=×××××× =×=有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=a+b22ab，a2+b2=ab2+2ab等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效