不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析良心出品必属精品

1、线性规划讲义【考纲说明】(1) 了解线性规划的意义、了解可行域的意义；(2)掌握简单的二元线性规划问题的解法.(3)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法;(4)会用画网格的方法求解整数线性规划问题.(5)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1 .目标函数：P = 2 x + y是一个含有两个变 量x和y的 函数，称为目标函 数.2 .可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3 .整点：坐标为整数的点叫做整点.4 .线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常 称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可

2、用图解法来解决.5 .整数线性规划：要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给 一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项 任务.1 .对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.2 .确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点 法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合， 则该点所在的一

3、侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平 面区域.若直线不过原点，通常选择原点代入检验.3 .平 移直线y=kx +P时，直线必须经过可行域.4 .对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形 区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.5 .简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题 目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件, 线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行 域内求目标函数的最优解.积储知识：一.1.点P（x0,y 0）在直线Ax+

4、By+C=0_t,则点P坐标适合方程,即Ax（）+By）+C=02 .点P（xo,yo）在直线Ax+By+C=吐方（左上或右上），贝U当B0时，Ax+By0+C0; 当 B0 时，Ax0+By0+C0 时，Ax0+By0+C0; 当 B0注意：（1）在直线Ax+By+C=0W一侧的所有点，把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C所得 实数的符号都相同， 在直线Ax+By+C=0勺两侧的两点，把它的坐标代入 Ax+By+C所得到实数 的符号相反，即：1.点P（x21）和点Q（x2,y2）在直线Ax+By+C=0的同侧,则有（Ax+By+C）(Am+Bw+C)02.点 P（xi,yi）和点 Q（X2

5、,y2）在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax+By+C）（Ax2+By2+C）0（或0）在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.不包括边界； *二元一次不等式 Ax+By+O 0（或01t示直线哪一侧的平面区域.特殊 地，当C?0时，常把原点作为特殊点，当 C=0时，可用（0, 1）或（1, 0）当特 殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧 区域为需画区域。方法二：利用规律：1 .Ax+By+C0,当B0时表示直线Ax+By+C=吐方（左上或右上），当B0时表示直线Ax+By+C=0T方（左下或右下）；2 .Ax+By

6、+C0时表示直线Ax+By+C=0T方（左下或右下）当B (1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3).3 设x 0,y 0,z0；p 3x y2z,q x 的范围.分析：题目中的p, q与x, y, z是线性关系. 可借助于x, y, z的范围确定(p, q)的范围.1 ,3x y 2z p, x 罚8 q 6p), 解：由 x 2y 4z q,得 y 工(14 5q 3p)x y z 1,271，L ，C、z (5 4p 3q),6p q 8 0,由x 0, y 0, z 0得3P 5q 14 0,画出不等式组所示平面区域如图所示.3p 4q 5 0,说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的

7、 x, y, z的取值范围.借助于三元一次方 程组分别求出x, y, z,从而求出p, q所满足的不等式组找出(p,q)的范围.4、已知 x,y,a,b 满足条件：x 0, y 0, a 0,b 0,2x+y+a=6,x+2y+b=6(1)试画出(x,y)的存在的范围；(2)求2x 3y的最大值。四、画区域，求面积例3求不等式组y x 1 1所表示的平面区域的面积.y |x 1分析：关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积.而要将平面区域作出来的关键又是能够对 不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论.解：不等式y x 1 1可化为y x(

8、x 1)或y x 2(x1);不等式y x 1可化为y x 1(x 0)或y x 1( x 0).在平面直角坐标系内作出四条射线：AB: y x(x 1), AC: y x 2(x1) DE: y x 1(x 0) , DF: y x 1(x 0)则不等式组所表示的平面区域如图，由于AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形.根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为且和还.所以其220 C (1,0) x(图1)面积为3.2五、求最值一、与直线的截距有关的最值问题z1.如图1所示，已知VABC中的三顶点A(2,4),B( 1, 2),C(1,0),题：点P(x, y

9、)在VABC内部及边界运动，请你探究并讨论以下问z x y在点A处有最大值6 ,在边界B懊有最小值1 ;y在点C处有最大值,在点B处有最小值32x y 12 0, y满足条件3x 2y 10 0,求z xx 4y 10 0.(图2 )小值.分析：画出可行域，平移直线找最优解.解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示.作直线l : x 2y z ,即y lx !z,它表示斜率为 二，纵截距为-的平行直线 2222系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点A时，z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值. zmax 2 2 8 18. zmin 2 2 2 2注：z Ax By可化为

10、y Ax三表示与直线y 公x平行的一组平行线，其中三为截 B BBB距，特别注意：斜率范（为y距堂号。即注意平移直线的倾斜度和平移方向。变式：设x,y满足约束条件y 25x 1分别求：(1)z=6x+10y , (2)z=2x-y,(3)z=2x-y,的最大值，最小值 二、与直线的斜率有关的最值问题z y y0X0表示定点P (My。与可行域内的动点M(x,y)连线的斜率.一 、一， 一 X y 2&0, V 一 一一一例2设实数x, y满足x 2y 440,则z2的最大值是 x2y 3 0,2.已知x y 40,求z x2 y2 10y 25的最小值 2x y 5 0,解析：作出可行域如图3

11、,并求出顶点的坐标A（1,3）、B（3,1）、C（7,9）.而2 x2 （y 5）2表示可行域内任一点（x, y）到定点M （0, 5）的距离的平方，过 M作直线AC的垂 线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是MN2 9.2【课堂练习】x 01 .（安徽11）若x,y满足约束条件：x 2y 3；则x y的取值范围为2x y 32 .北京2.设不等式组0 x 2,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点，则0 y 2此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A) -(B)-x y 3 03.福建9.若直线y2、上存在点（x, y）满足约束条件x 2y 3 0,则实数m的最大值x m为（）A 1 B

12、 . 1 C . - D . 2 22y 24 .广东5.已知变量x,y满足约束条件x y 4,则z 3x y的最大值为（）(A) 12(B)11(C)(D)5 .江苏 14. (2012 年江苏省 5 分)已知正数 a,b,c 满足：5c 3a b a clnc,则b的取值范围是 a6 .江西8.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/由年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）

13、分别为（）A. 50, 0 B . 30, 20 C . 20, 30 D . 0, 50x-y 107辽宁8.设变量x,y满足0 x+y 20,则2x+3y的最大值为0 y 15A. 20B. 35 C . 45D. 55x y 1 08.全国卷大纲版13.若x,y满足约束条件x y 3 0 ,则z 3x y的最小值x 3y 3 0为。:上d A之上一 VK在竞冠前丁孱正过来条牛 2工十丁4 .用司F丽款己=立一而旧五司是gwi9山东宜亭B卜25切口用10陕西14.设函数f（x） ln x, x 0, D是由x轴和曲线y f（x）及该曲线在点（1,0）2x 1, x 0处的切线所围成的封闭区

14、域，则Z x 2y在D上的最大值为 .11四川9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利 润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求 每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、 乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A、1800 元 B 、2400 元 C 、2800 元 D 、3100 元x,y 012新课标(14)设x,y满足约束条件：x y 1；则z x 2y的取值范围为 x y 313浙江21.(本小题满分14分)已

15、知a0, b R,函数f x 4ax3 2bx a b .(I )证明：当0Wx0;(H)若-1w f x W1对x 0 , 1恒成立，求a+b的取值范围.14 重庆 10.设点集为 A (x, y) (y x)(y -) 0 ,B (x, y) (x 1)2 (y 1)2 1 ,则 AI B所 x表示的平面图形的面积为(A)4旧 5(C)7(D)-【课后作业】（1）选择题：1.以下四个命题中，正确的是（）A.原点与点（2, 3）在直线2x+y-3=0的同侧B.点（3, 2）与点（2, 3）在直线x y=0同侧C.原点与点（2, 1）在直线2y-6x+1=0异侧D.原点与点（2, 1）在直线2

16、y-6x+1=0同侧2 .不等式x+3y-10表示的平面区域在直线 x+3y-1=0的（）A.右上方B .右下方 C .左下方 D .左上方3 .在坐标平面上，不等式组 y : 1,所表示的平面区域的面积为（）y 3x 1A . V2B. -C .9D. 222（2）填空题：x y 54 .若x、y满足条件2x y 6 ,则目标函数z=6x+8y的最大值为,最小值 x 0, y 0为。5 .若实数x、y满足4 x 2y 6,则x+y的范围是。2 2x y 86.非负实数x、y满足2x y 4 0,则x+3y的最大值是。x y 3 0x y 2 07.设实数x、y满足条件x 2y 4 0,则上的

17、最大值是。 x2y 3 0x y 1 08.设实数x、y满足条件y 1 0 ,那么2x y的最大值为（）x y 1 0A. 2 B .1 C .-2 D.39.已知变量x、y满足约束条件1Wx+yW4, -2xy0）仅在点（3, 1）处取得最大值，则a的取值范围是。x 2y 1010.设D是不等式组2x y 3表示的平面区域，则D中的点P （x,y ）到直线x+y=10 0x4y 1距离的最大值是。（3）解答题：11 .某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台 A型、B型电 视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A型、B型电视机所耗原料分别为 2和3个单位；所需工时分别

18、为4和2个单位。如果允许使用的原料为100个单位， 工时为120个单位，且A、B型电视机的产量分别不低于 5台和10台，那么生产两 种类型电视机各多少台，才能使利润最大？12 .制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，而且要考虑可能出现的亏损。某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大赢利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8万元，问投资人对甲、乙两个 项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？【参考答案】【课上练习】1 .【解析】x y的取值范围为3,0约束条件对应ABC边际

19、及内的区域：A(0,3), B(0,3),C(1,1)2则 t x y 3,02 . 解析】题目中0 y 2表示的区域如图正方形所示,而动点 以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此2 2 122 4P丁,故选D。3 .考点：线性规划难度：中。分析：本题考查的知识点为含参的线性规划，需要画出可行域的图形，含参的直线 要能画出大致图像。解答：可行域如下:x y 3 0所以，若直线y 2x上存在点(x,y)满足约束条件x 2y 3 0,x m则 3 m 2m，即 m 1。4 .【解析】选B 约束条件对应 ABC边际及内的区域：A(2,2), B(3,2), C(-,-)2 2 则 z

20、 3x y 8,115 .【答案】e, 7 。【考点】可行域。【解析】条件5c 3a b a clnc可化a3 . cacb( cb一 5 c为:b 4。caec=x, y=b,则题目转化为:c3x y 5已知x, y满足x yx 4,求义的取值范围。y ex作出（X y）所在平面区域（如图）。求出y=ex的切x 0, y 0线的斜率e ,设过切点P x0, y0的切线为y=ex m m 0 ,X0X0=e m,要使它最小，须m=0。 X0.二丫的最小值在P x0, y0处，为 x此时,点P沏，V0在y=ex上A, B之间。x, y )对应点C时，y=4y=5x3x5y=20 5x4y=20

21、12xy=7x =7 ,x.乂的最大值在C处，为7。 x. X的取值范围为e 7 ,即B的取值范围是e, 76.B【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的 思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y亩，总禾1J润为z万元，则目标函数为 z （0.55 4x 1.2x） （0.3 6y 0.9y） x 0.9y.线xy50,xy50,性约束条件为1.2x 0.9y 54,即4x 3y 180,x0,x0,y0.y0.x y 50,作出不等式组4X 3y 180,表示的可行域，易求得点A 0,50 ,B 30,20 , C 0,45 .x 0,y 0平移直

22、线Z x 0.9y,可知当直线z x 0.9y经过点B 30,20，即x 30, y 20时,z取得最大值，且Zmax 48 (万元).故选B.【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题一一仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？(2)转化一一设元.写出约束条件和目标函数；(3)求解一一关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；(4)作答一一就应用题提出的问题作出回答.体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规 划求最值问题.7 .【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题 .【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目

23、标函数过点A 5,15时，2x+3y的最大值为55,故选D.8 .答案：1【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用。常规题型，只要正确作 图，表示出区域，然后借助于直线平移法得到最值。【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（3,0） 时，目标函数最大当目标函数过点（0,1）时最小为1。9 .解析：作出可行域，直线3x y 0,将直线平移至点（2,0）处有最大值,点（了）处有最小值,即z 6 .答案应选A。10 .【答案】2【解析】当x 2时，fx1，f1 1 1, 曲线在点（1,0）处的切线为 x则根据题意可画出可行域 D如右图:目标函数y 1x 1

24、z 22当x 0, y 1时，z取得最大值211 .答案C解析设公司每天生产甲种产品X桶，乙种产品Y桶，公司共可获得 利润为Z元/画可行域如图所示,天，贝U由已知，得 Z=300X+400YX 2Y 12口 2X Y 12 且X 0Y 0目标函数Z=300X+400W变形为Y= 3x 这是随Z变化的一族平行直线4400解方程组2x y12x4即 A (4,4) Zmax 1200 1600 2800x 2y12y4点评解决线性规划题目的常规步骤：一列（列出约束条件）、二画（画出可行域）、 三作（作目标函数变形式的平行线）、四求（求出最优解）.12 .【解析】z x 2y的取值范围为 3,3约束

25、条件对应四边形OABC边际及内的区域：O(0,0), A(0,1), B(1,2),C(3,0)则 z x 2y 3,313 .【解析】本题主要考察不等式，导数，单调性，线性规划等知识点及综合运用能 力。(1) (i)f x 12ax2 2b .当bW0时，f x12ax2 2b0在0WxW1上恒成立，此时 f x 的最大值为：f 1 4a 2b a b 3a b = |2a b| + a ； 当b0时，f x 12ax2 2b在0WxW1上的正负性不能判断， 此时f x的最大值为：fmax x maxf(0), f(1 max( b a), (3a b)ba, b3a b, b2a2a=|2

26、a b| + a;综上所述：函数f x在0Wxw 1上的最大值为|2a b| + a;(ii)要证 f x + |2a b| 十 a A0,即证 g x = f x w |2a b| + a.亦即证g x在0w xW 1上的最大值小于(或等于)|2a -b|十a,x6a-g x4ax3 2bx a b , . 令 g x12ax2 2b 0当bW0时，g x12ax2 2b 0在0WxW1上恒成立,此时g x的最大值为：g 0 a b 3a b = |2a b| + a；当b0时，g x12ax2 2b在0WxW1上的正负性不能判断,gmax Xbmaxg(J益)，ga b, bb, b 6ab 6a2a皿嗖6ba4k -b a3 6ab 2a,0 在 0WxWl 上恒成立.（H）由（I ）知：函数f x在0Wx1上的最大值为|2a -b| +a,且函数f x在0Wx