5二次曲面方程的化简与位置确定

1、 6.5 次曲面方程的化简与位置确定本节重点：掌握利用不变量化简二次曲面的方法并能确定新坐标系的位置一有心二次曲面对于有心二次曲面，取其一个中心为新坐标原点O ,这时在新坐标系下，O的坐标为(0,0,0),它满足关于中心的方程aiiX.1 1+ a12 y, + a13z. ，+ a14=0a21X+ a22 y, + a23z. ，+ a24=0(6.5.1)a31X+ a32 y, + a33z. ，+ a34=0把(0,0,0)代入(6.5.1)便得到a14 =a24 =a34,因此有6.5.1 定理若取有心二次曲面的一个中心为原点，则这个二次曲面在这个坐标系下的一次项系数为0。结合上节

2、结果得到，若二次曲面是有心二次曲面，则取其一个中心为新原点，对应于两，个相异特征根 儿,%的两个单位特征向量为新坐标向量l,j ，取另一个坐标向量为T T T. 一 . . 一 k =i父_| ,那么在这个新坐标系下，二次曲面的方程为222iX2V3Z a44 = 0其中%是这个二次曲面的另一个特征根，至于“4可用下面方法得到 ,(1)用中心的坐标表小 a44,因为转轴不改变常数项，因此常数项由移轴决定，由 (6.3.20)可得a44 -F(X0,V0,Z0)其中(X0, y0,Z0)是新原点上的坐标。但因为F(X0, y,Z0)=X0Fi(X0,y0,Z0)yOF2(X0,y,z)zF3(X

3、0,丫。,4)F4(X0,y0,z)而 区。2。)是二次曲面中心，因此 Fi(X0,y0,Z0),(i =1,2,3)因此 ， 、a44 =F4(X0, y0,z)一一、一(2)用不变重求a44若二次曲面是中心二次曲面，则I 3是其中心方程组的系数行列式，因此 I3#0,即因此i00a 44-T 2 3a44a,I41 3二、无心二次曲面在 6.4中我们看到无心二次曲面只有两种抛物面和抛物柱面。(1)抛物面抛物面的最简方程为 iX222V2a34z=0其中儿，儿是这个抛物面的两个非零因此a34 =特征根。因此,，力00002-200000a3400a3402二一 1 2a34,其正负号由所取坐

4、标向量的指向确定。为确定的位置，先考察它的最、.00 .简万程，i , j分别是%，儿2对应的特征向量，它们所对应的主径面分别是 yO z面和xO z面，新原点O在该曲面上。从上面分析得到，对于抛物面，可取其两个非零特征根对应的单位特征向量为新标向量i , j ,从而得到另一坐向量 k =i父j , i ,j所对应的主径面分、， . . . . 、 一 _ .别为y O z面和x O z面，两主径面的交线为 z轴，z轴与曲面的交点为新原点 O ,现在T T T 、. .i , j ,k的指向已完全确定。由(6.3.22)得到a11a12a13a14x。:a21a22a23a24y。a31a32

5、a33a34z0g41a 42a 43a 44 yl1 /a34 = X3Y3Z3._ . r 其中X3,Y3,Z3是k的坐标,(X0,y0,Z0)是新原点的坐标。r 一由于k是对应于特征根 九=0的特征向量，所以从上式得a34=X3ai4Y3a24Z3a34(2)抛物柱面2抛物柱面的最简方程为a33Z +2a24y =0,其中a33为其唯一的非零特征根，与它对应的特征向量与 z轴共线。这个特征向量所对应的主径面为xO y面，x轴是这个主径面与二次曲面的交线。由此我们得到化简这类曲面的方法：t t先求出其唯一的非零特征根 %,及所对应的单位特征向量为 k , k所对应的主径面取为xO y面，x

6、O y面与曲的交线取为 x轴，x轴上可任取一点为新原点 O ,这时得到 一个直角坐标变换，在这样取定的新坐标系下，二次曲面的方程为2, 3z 2a24 y = 0其中%是唯一的非零特征根，类似抛物面情形中求a34的方法，a24可直接计算如下:1 a2a3a14 1ix0a21a22a23 a24y0a24 =(X2Y2Z20)=X 2a14 * 丫2 a24 + Z 2aa31 a32 a33 a34z01a41a42a43 a441 /其中*2，丫2?2是新坐标向量j的坐标，(小,丫0?0)是新原点坐标。例1、化简二次曲面方程并给出得到化简方程的坐标变换公式：222_x y 5z -6xy-

7、2xz 2yz-6x 6y-6z 10 = 0解：二次曲面的矩阵为1-3 -1 -3-3113-115-3-3 3-3 1011 =7 12 = 0 13 = 一36曲面特征方程为3_ 2_ _.-7- -36 0解得三个特征根为1=6, 2 = 3, 3 = -2与儿=6对应的特征向量由方程组-5X 3Y Z =0 -3X -5Y + Z =0-X +Y Z = 0决定。解此方程组得是与储=6对应的特征向量。取它为由方程组2X -3Y -Z =04 3X 2Y + Z =0-X +Y +2Z =0解得与?.2 =3对应的单位特征向量k 二屋9靠*m=弓9,0再由方程组X X0 - 3y0 -

8、z0 - 3= 0一 3x0 + y0 +z0 +3 = 0X0 +y0 +5z 3 = 0解得唯一中心(1, -1,1)F4(1,-1,1) =1由此得到简化方程为坐标变换公式为2226x2 3y2 -2z2 1 =011,1,x - - x y z 1. 6- 32_ 111.y=-x y +z -1J 6 V3J 221z : 一x y 1I. 、/63例2、化简二次曲面方程2222x 2y 3z 4xy 2xz 2yz-4x 6y - 2z 3 = 0解：二次曲面的矩阵为2212、2213113-12 3 -13，Ii =7I2 =10 I3 =0 I4 = -125特征方程为 一，3

9、7,2 一10,=0 解得特征根为 1 =5,上=2,k=0方程组2x0 2y z0 -2 =02x0 2y z 3=0x y0 3z。-1 = 0的前两个方程矛盾，所以方程组无解，因此，这是无心二次曲面，又因为它有两个非零特征 根，因此它是一个抛物面，其简化方程为5x2 2y2 _5 2z =0例3、试求例2中得到简化方程的坐标变换解：在例2中，由方程组工 3X 2Y Z =0，2X -3Y+Z =0X + Y 2Z =0解得对应于特征根% =5的单位特征向量由方程组2Y Z = 02X Z = 0X Y Z =0解得对应于特征根% =2的单位特征向量:J :11k a一,022I 11与,

10、33共轲的主径面为与 1 , 1 J6 1： 6共轲的主径面为2x 2y -4z 3=0这两个主径面与二次曲面的公共交点由方程组x y z = 02x 2y -4z 3 = 0_2_2_ 22x 2y 3z 4xy 2xz 2yz - 4x 6y - 2z 3 = 0119 1、决定，解得父点为-，-, 取为原点，由此得到坐标变换公式40 40 21，1，1，1x，3x、.6y 一 l 一401 1 1 19x y z.J、6 y.240二次曲面在新坐标系下的方程为5x2 2y，2 5. 2z，=0例4、化简二次曲面 2x2 十2y2 +4xy 6x10y 2j2z + 4 = 0解：二次曲面

11、的矩阵为220-3、220-5000亚3 - 5 2 24I1=4 I2=0 I3=0特征方程为 -，3 4-=0解得特征根为,2 =0儿3 =4方程组-1-2x0 2 y0，2x0 + 2 y 0-3 = 0-5=0.2=0因此是抛是矛盾方程，因此，该二次曲面是无心二次曲面，又因为它只有一个非零特征根, 物柱面。非零特征根九3 = 4,对应的特征向量为方程组-2X 2Y =0 2X -2Y =0-4Z =0一、11 确定，因此0是对应于 =4的特征向量,.22？11取k与石，下,0共轲的主径面为4x 4y -8 = 0它是唯一的主径面，它与二次曲面交线为4x+4y-8 =0、2x2 +2y2

12、 +4xy-6x-10y - 2缶 + 4 = 0即x + y -2 = 02y-V2z = 0 11，:1 12它的一个单位向量为,-，取为i ,则j = k4 =一 , ，一 2. 222 22因此，a24 =（-1）（-3）（-5） - ；2 - -2222所以该二次曲面的简化方程为 .2.4z - 4y = 0即 2_z -y = 0例5、求二次曲面3x2 3y2 6z2 -6xy 2 2xz -2 2yz - x y 3 2z -1 = 0的简化方程。解：二次曲面的矩阵为特征方程为3-322-2厂 1-3372222 - 226 -V22-11至-1 222Ii =12 I2 = 3

13、2 I3 =032-12 -32 =0解得特征根为1 1 =4, - 2 =8,.-3 = 0方程组有无穷多解，取其一个解3xo -3yo +2zo - =02 -3x0 +3y0 J万 Z0 +1=02V2X0 -近y +6Z0 +32 =02X0 = 0, y0 =- , Z0 = -V2816入 35令(0,- , J2)为新原点8 1635 1335F4(0,-,2) =-(-). 2(-、2) - 18 1628216178得到所求二次的曲面的简化方程为2 一 24x 8y17习题6 51、求下列二次曲面的简化方程，并确定其位置(即求出得到简化方程的坐标变换)22 _ 2 _ 一一 一，一(1) xy 5z -6xy 2xz - 2yz-4x 8y - 12z 14 = 0(2) 2x2 16z2 -12 2xy-8 2xz 6yz 12x-9 2y 3 2z-9 =0222(3) x -y z。2xz-x y z = 0(4) 3x2 3