2019级专升本数学与应用数学专业专升本复习资料12月份考试资料抽象代数复习资料

1、抽象代数复习资料1一、判断对错，正确的填，错误的填X .1、拉格朗日定理的逆命题是正确的 .（）2、有限整环一定是域.（）3、任意环都可嵌入一个含有单位元的环。（）二、填空1、设G为有限集合，且有一个满足结合律的代数运算c。则。满足消去律为 G是群的 （请填写：必要条件，充分条件，或充要条件）k2、在群中设 ord a = n ,则对任意k ? Z, ord a .三、叙述概念1、代数运算2、环的特征3、含幺环上未定元的定义四、计算和证明1、叙述并证明群同态基本定理 .2、求Z10到Z5的所有环同态。3、证明：对群中的任意两个元素 a,b均有aab） = o（ba）。参考答案、判断对错，正确的

2、填，错误的填 1、 2、，3、二、填空1、充要条件;2、n(n,k)三、叙述定义或定理1、代数运算：给定非空集合 A,集合A' A到A的映射称为集合 A的一个代数运算 。（给 定非空集合A,给定A的一个规则o,如果对A中任意的两个元素都有 A中唯一的元素与之 对应，则称o为A的一个代数运。2、环的特征：设 R是环，若存在最小的正整数 n,使得对所有的a? R,有na = 0,则称环 R的特征是n,若不存在这样的n则称R的特征是无穷。3、含幺环上未定元的定义：含幺R扩环中的元素X,和R中所有的元素可交换，单位元保持其不变，方哥R线性无关。四、1、设中是群G到群G的一个同态满射.则N =

3、Ker中是G的正规子群，且G/N三G.证明：由于G的单位元是G的一个正规子群，故其所有逆象的集合，即核N = Ker中也是G的一个正规子群.设Ma-> a(awG,awG),则在G/N与G之间建立以下映射 仃：aN-> a=%a) .(1)证明仃是映射.设aN =bN(a,bw G),则a-be N ,于是口,6=方=耳百=6 , 即G/N中每个陪集在 仃之下在G中只有一个象.从而 仃确为G/ N到G的一个映射.(2)证明。是满射.任取awG,由邛是满射知，有awG使得邛(a) =a .从而在仃之下，a在G/N中有逆象aN .(3)证明仃是单射.若aN #bN ,则a%更N ,从而

4、a'b #e,a #b ,因此，仃是G/N 到G的一个双射.又由于有(aN )( bN )= abN-j ab=-ab故仃为同构映射.从而 GN 三 G .2、找出模10的剩余类环Z10到剩余类环Z5的所有环同态。因为环同态一定是加群同态，而且为循环群之间的同态，从而由Z10中生成元的象决定，而 Z5共有3个元素，均可充当前者生成元的象。五个加群同态如下:前者生成元的象。 五个加群同态如下：0f2 ： Z10Z5 11,或 nn;2n. f4 : Z10 Z 513,或n3n4n 10保持乘法运算，从而环同态只有0n.3 ：乙。Z510,或nf3 ：Z10Z512,或nf5 ：Z10Z

5、514,或n?不难证明只有前两个同态3 ：乙5Z310,或n1f2 ： Z15 Z3 11,或n ?3、证明：分两种情况证明第一种情况：o(ab)二o(ba)。 o(ab) = n < ?;因为 ba4442 44444 =n + 1bE?5555b5b)a = ba,所以，有消去律可得 n(ba)n = e, o( ba) ?n ?，下设o(ba)mrj同理可证 m ? n； 6 分第二种情况：o(ab)二?;下证o(ba) = ?;假设o(ba) = n < ?;则有1的证明可知o(ab) < ?;因而与 o(ab)=?;矛盾抽象代数 复习资料2一、 叙述概念及定理1 .

6、正规子群.2 .环的扩张(挖补)定理.3 .理想.4 .素域.5 .唯一分解整环.二、计算与证明1 .在 Zx中，令 I =f(x)wZ(x)| f(0)是偶数.证明:(1) I =<x,2 a且I不是主理想(2) I为Zx的极大理想.2 .设G是交换环.证明：G的所有阶数有限的元素构成的集合H是G的正规子群，且商群% 的元素除了单位元外，其余元素(如果有的话)的阶数都是无限的.Fa 2b ' 3 .证明：(1)集合R =a,b亡数域F '关于万阵的普通加法与乘法作成一个有单位产a彳 、 、 *兀的交换环.又问：单位群R =?(2)当F是有理数域时，还作成域，但是当F是实

7、数域时，R不作成域.参考答案一、 叙述概念及定理1 .设H是群G的子群，如果对任意的 aw G ,有aH = Ha ,则称H是G的正规子群.2 .环的扩张(挖补)定理：设S与R是两个没有公共元素的环，3是环S到R的单同态，则存在一个与环 R同构 的环S及由S至U R的同构映射 仃，使得S是S子环且仃-=标.S3 .理想：设R是环，I是R的非空子集.如果I满足(1)对任意的 s,t I ,S -t I ;(2)对任意的se I ,r e R,sr,rs e I ,则称I是R的一个理想.4 .素域.没有真子域的域.5 .唯一分解整环：每个非零非单位的元素都有唯一分解的整环二、计算与证明1.在 Zx

8、中，令 I =f(x)wZ(x)| f(0)是偶数.证明：(1)I =<x,2 >且I不是主理想；(2)I为Zx的极大理想.证明：(1) Vf(x)< x,2 >，有 f (x)=g(x)x+2z,g(x)wZx, zwZ ,则 f (0) =2z 为偶数 ， 从 而 <x, 2&IJ f (是偶麴w Z( x(3分)另一方面，设 f (x) =a0xn +axn' +| +anx + an w Zx,若 f (0) = an 为偶数，则存 在 zZ使 得 ：an = f(0)=2z , 从 而f(x) =x(a0xn，RxnN 山 an)an ：

9、二 x,2 .所以 I - x,2 .下证(x,2)不是主理想.首先，x2 =f(x)x g(x)2f,g Zx = f (x)x 2z f Zx, z Z,所以 x,2 = Zx.其次，假设存在d(x)Zx,使得d(x) =(x,2),则在 Zx中，有 d(x)x且 d(x)2 ,由此得 d(x) =±1.从而(x,2j =(±1)=Zx矛盾.因此x,2；i不是主理想.(2)显然I为Zx的真理想，设I仁J<Zx,在J中任意取一个不属于I的元素nn 1f (x) =a°xaix| anx an,贝Uan不是偶数，设an =2z+1,于是 1 = an -2z

10、 = f (x) - x(a0xnJ1 a1xn_ 1an)一 2z ：= J从而J =Zx,所以I为Zx的极大理想.2 .设G是交换环.证明：G的所有阶数有限的元素构成的集合H是G的正规子群，且商群% 的元素除了单位元外，其余元素(如果有的话)的阶数都是无限的.证明：显然H非空.设Vx, y w H ,则三m,n w N ,使得xm = yn = e ,则(x)m =(xm)=e,mn mn mn(xy) x y e.1从而x ,xy w H ,所以H是G的子群.又因为G是交换群，所以H是G的正规子群.设 Wxw GH ,如果三r w N ,使得 x =xr=e,则 xrH.从而三t w N

11、 ,使得(xr )t = xrt = e,从而x w H .由此知乂=6为%的单位元.I1a 2b 3 .证明：(1)集合R = «a,bw数域F关于万阵的普通加法与乘法作成一个有单位b a >元的交换环.(2)当F是有理数域时，R还作成域，但是当F是实数域时，R不作成域.证明：(1)数域F上的所有2阶方阵在矩阵的普通加法与乘法下作成一个有单位元的环2M2切，/a 2b) Cc 2d)F，从而我们只需证明R是F 的子环，任意的，亡R,由于F是数域,也 a c )从而'a，a92 b C caJ-<dd.2 叩 c 2 d r ac2a 人 d c/ I aMC2(

12、-b dR d -a c，从而R是一个环bd2( ad rb c 2c b d1 0)又E2 =w R,并且<01Ja 2b Yc 2d)ac +2bd b a 人d c , 、ad +bc2(ad+bc) fc 2d a 2b'ac+2bd , d c 人 b a ,从而R是一个有单位元的交换环(2)当F是有理数域时，若2b22=a -2b =0,则a = b = 0,从而当a,b不全为0时,的行列式不为0,从而可逆，即当F是有理数域时，R中的每一个非零元素都可逆从而R是域.但当F是实数域时，对于任意的实数b ,=0，从而不是所有的非零元都可逆因此当F是实数域时，R不作成域.抽

13、象代数 复习资料3一、叙述概念或命题1.不变子群；二、填空题1 .设有限域F的阶为81,则的特征p=。2 .已知群G中的元素a的阶等于50,则a4的阶等于。三、设G是群。证明：如果对任意的xwG,有x2=e,则G是交换群。 四、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和五、设H =a +bi +cj +dk | a, b,c,d R R是四元数体，对 H中任意元x = a + bi +cj + dk ,定义其共腕x = a -bi -cj dk。1 .证明：xX =Xx是一个非负实数；2 .对 x = 12i + j 一 2k , y=2i+2jk,求 xy , yx 和 x。六、设Ii =(6) , I2 =(15)是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由1. 11 +12 ;2. Ii c 12 ；3. 11 121.若H是群G的子群, 规子且对每个a-G ,有aH = Ha ,那么H称为是G的正1. 32. 25三、证明：对于G中任意元x, y,由于（xy）2=e,所以 xy =（xy） ' = y "x" = yx （对每个 x,从 x2 =e可得 x = x"）四、证明：设A是任意方阵，令b=(A + A), C=1(A A),则B是对称矩 22阵，而C是反对称矩阵，且A = B+C若令有A = Bi +G