信号与系统 连续时间系统的时域分析

1、2022年2月12日14时49分1第 2 章 连续时间系统的时域分析 14:49:012 LTI连续系统的时域分析，归纳为连续系统的时域分析，归纳为。 由于在分析过程中涉及的函数变量均为时间由于在分析过程中涉及的函数变量均为时间t ，故又称为故又称为。这种方法直观，物理概念。这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 两种时域分析方法：两种时域分析方法：是解一元是解一元 n 阶微分方程，阶微分方程，解解n元一阶微分方程。元一阶微分方程。14:49:013系统时域分析的过程系统时域分析的过程 一般根据系统特性列写方程，主要根据一般根据系统特性列

2、写方程，主要根据元件的约束和网络拓扑约束。解方程的方法元件的约束和网络拓扑约束。解方程的方法主要是数学中所学的方法主要是数学中所学的方法经典法经典法、双零法、双零法和和。零输入响应可以用经典法求，。零输入响应可以用经典法求，因为它是解齐次方程，而零状态响应可以用因为它是解齐次方程，而零状态响应可以用求解求解。14:49:014本章重点和难点本章重点和难点v线性系统完全响应的求解线性系统完全响应的求解v冲激响应冲激响应 的求法的求法v卷积卷积的性质的性质v零状态响应等于激励与冲激响应的卷积零状态响应等于激励与冲激响应的卷积)(th14:49:015 一、微分方程的建立一、微分方程的建立 微分方程

3、的列写即物理模型的建立。描述系微分方程的列写即物理模型的建立。描述系统参数不随时间变化的线性非时变连续系统的数统参数不随时间变化的线性非时变连续系统的数学模型是学模型是。对于电系统，列。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面：写数学模型的基本依据有如下两方面： 1. 1. 元件特性约束元件特性约束VARVAR 在电流、电压取关联参考方向条件下：在电流、电压取关联参考方向条件下： (1)(1)电阻电阻R R，u uR R(t)=R(t)=Ri iR R(t)(t)； 14:49:026 (2)(2)电感电感L L， (3)(3)电容电容C C， (4)(4)互感互感( (同、异名端连接同

4、、异名端连接) )、理想变压器等原、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。副边电压、电流关系等。2. 2. 拓扑结构约束指拓扑结构约束指KCLKCL与与KVLKVL 00( )1( ),( )( )tLLLLLtdi tu tLii tuddtL00( )1( ),( )( )( )tCCCCCtdutitCututiddtC14:49:027解：由解：由KVLKVL，列出电压方程：，列出电压方程：122211221( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )CLLLLLLutu tu tR i tdi tLR i tdtdi tditdi tu tLRRCdtdtdt对上式

5、求导，考虑到对上式求导，考虑到 11( )( )( )( )CCCdutitCRitu tdtiS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L例：输入激励是电流源例：输入激励是电流源i iS S(t),(t),试列出电流试列出电流i iL L(t) (t) 为响应的方程式。为响应的方程式。 CdttdiRdttdiLdttdiRtuCRLLC)()()()(1222111得得，14:49:028根据根据KCLKCL，有，有i iC C(t)=i(t)=iS S(t)-i(t)-iL L(t)(t)，因而因而u u1 1(t)=R(t)=R1 1i iC C(t)=R(t)=R1 1(i(iS

6、 S(t)-i(t)-iL L(t)(t)2122212121( )( )( )( )( )( )()( )( )1( )1( )( )SLLLSLLLSLSditditd itditititRLRCdtdtdtdtd itRRditR ditititdtLdtLCLdtLC整理上式后，可得：整理上式后，可得：iS(t)iC(t)u1(t)iL(t)R2R1L2122212121( )( )( )( )( ( )( )()( )( )1( )1( )( )SLLLSLLLSLSdi tdi td i tdi ti ti tRLRCdtdtdtdtd i tRRdi tR di ti ti td

7、tLdtLCLdtLC14:49:029 二、微分方程的经典解二、微分方程的经典解 描述描述LTILTI系统的激励系统的激励e e( (t t) )与响应与响应r(r(t t) )之间之间关系的是关系的是n n阶常系数线性微分方程：阶常系数线性微分方程： r r(n)(n)(t)+a(t)+an-1n-1r r(n-1)(n-1)(t)+(t)+a+a1 1r r(1)(1)(t)+a(t)+a0 0r(t)= r(t)= b bm me e(m)(m)(t)+b(t)+bm-1m-1e e (m-1)(m-1)(t)+(t)+b+b1 1e e(1)(1)(t)+b(t)+b0 0e(t)

8、e(t) 式中式中a an-1n-1，a a1 1，a a0 0和和b bm m，b bm-1m-1，b b1 1，b b0 0均均为常数。该为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用齐次方程的解即为齐次解，用r rh h(t)(t)表示，非表示，非齐次方程的特解用齐次方程的特解用r rp p(t)(t)表示，则表示，则 14:49:0210 齐次解满足齐次微分方程齐次解满足齐次微分方程 r r(n)(n)(t)+a(t)+an-1n-1r r(n-1)(n-1)(t)+(t)+a+a1 1r r(1)(1)(t)+a(t)+a0 0r(t)

9、=0 r(t)=0 由高等数学经典理论知，该齐次微分方程由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为：的特征方程为： n n+a+an-1n-1n-1n-1+ +a+a1 1+a+a0 0=0=014:49:0211 (1)(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同不相同( (即无重根即无重根) )，则微分方程的齐次解：，则微分方程的齐次解： (2)(2)特征根有重根。若特征根有重根。若11是特征方程的是特征方程的重根，即有重根，即有1 1=2 2=3 3= =，而其余，而其余(n-)(n-)个根个根+1+1，+2+2，n n都是单根，则微分都是单根，

10、则微分方程的齐次解：方程的齐次解：1( )inthiiy tce1( )jntihiiytc te14:49:0212 (3)(3)特征根有一对单复根。即特征根有一对单复根。即1,21,2=a=ajbjb，则微，则微分方程的齐次解：分方程的齐次解： r rh h(t)=c(t)=c1 1e eatatcosbt+ccosbt+c2 2e eatatsinbt sinbt ( 4 ) ( 4 ) 特 征 根 有 一 对特 征 根 有 一 对 m m 重 复 根 。 即 共 有重 复 根 。 即 共 有 m m 重重1,21,2=a=ajbjb的复根，则微分方程的齐次解：的复根，则微分方程的齐次解

11、：112112( )coscoscossinsinsinatmathmatatmatmy tcdtc tedtc tedtd ebtd tebtd tedt14:49:0213 例：求微分方程例：求微分方程 y y(t)+3y(t)+3y(t)+2 y(t)=e(t)(t)+2 y(t)=e(t)的齐次解。的齐次解。 解：由特征方程解：由特征方程2 2+3+2=0+3+2=0解得特征根解得特征根1 1=-1=-1、2 2=-2=-2。因此该方程的齐次解：。因此该方程的齐次解： y yh h(t)=c(t)=c1 1e e-t-t+c+c2 2e e-2t-2t 例：求方程例：求方程y y(t)

12、+2y(t)+2y(t)+y(t)=e(t)(t)+y(t)=e(t)的齐次解。的齐次解。 解解 由特征方程由特征方程2 2+2+1=0+2+1=0解得二重根解得二重根 1 1=2 2=-1=-1，因此该方程的齐次解，因此该方程的齐次解: : y yh h(t)=c(t)=c1 1e e-t-t+c+c2 2tete-t-t 14:49:0214 特解的函数形式与激励函数的形式有关。特解的函数形式与激励函数的形式有关。教材教材P46P46表表2-22-2列出了几种类型的激励函数列出了几种类型的激励函数e(t)e(t)及其所对应的特征解及其所对应的特征解y yp p(t)(t)。选定特解后，将它

13、。选定特解后，将它代入原微分方程，求出其待定系数代入原微分方程，求出其待定系数P Pi i，就可得出，就可得出特解。特解。 14:49:0215 例：若输入激励例：若输入激励e(t)=ee(t)=e-t-t，试求微分方程，试求微分方程y(t)+3yy(t)+3y(t)+2y(t)=e(t)(t)+2y(t)=e(t)的特解。的特解。 解：查教材表解：查教材表2-22-2及注及注3 3，因为，因为e(t)=ee(t)=e-t-t，=-1=-1与一个特征根与一个特征根1 1=-1=-1相同，该方程的特解：相同，该方程的特解：1021010102( )()3()2()ttptttttttytPteP

14、eddPtePePtePePtePeedtdt将特解将特解yp(t)代入微分方程，有：代入微分方程，有：P0？P1？14:49:0216例：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程例：已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件初始条件y(0)=1, yy(0)=1, y(0)=2, (0)=2, 输入信号输入信号f(t)=ef(t)=e-t-t u(t) u(t)，求系统的完全响应求系统的完全响应y(t)y(t)。 0),()(8)( 6)(ttftytyty0862 ss4221ss，tthBeAety42)(特征根为特征根为齐次解齐次解y yh h(t)(t)解：解： (1)(1

15、)求齐次方程求齐次方程y y(t)+6y(t)+6y(t)+8y(t)=0(t)+8y(t)=0的齐次解的齐次解y yh h(t)(t)特征方程为特征方程为14:49:02172) 2) 求非齐次方程的特解求非齐次方程的特解y yp p(t)(t)解得解得 A=5/2A=5/2，B=-11/6B=-11/6由输入由输入f(t)f(t)的形式，设方程的特解为的形式，设方程的特解为y yp p(t)=Ce(t)=Ce-t-t将特解带入原微分方程即可求得常数将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3C=1/3。3) 3) 求方程的全解求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(421

16、31)0(BAy23142)0( BAy0,3161125)(42teeetyttt14:49:0218 齐次解的函数形式仅与系统本身的齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关，特性有关，而与激励的函数形式无关，称为系统的称为系统的或或。 特解的函数形式由激励确定，称为特解的函数形式由激励确定，称为系统的系统的。14:49:021900 若输入是在若输入是在t=0t=0时刻接入系统，则确定齐次解中的待定时刻接入系统，则确定齐次解中的待定系数时用系数时用t=0+时刻的时刻的，即，即从从 到到 状态的转换状态的转换1, 2 , 1 , 0),0()(njyj 包含激励的作用，

17、不便于描述系统历史信息。包含激励的作用，不便于描述系统历史信息。)0()(jy 在在 时激励尚未接入，该时刻的值时激励尚未接入，该时刻的值 反应了系反应了系统的历史情况，而与激励无关，称这些值为系统的统的历史情况，而与激励无关，称这些值为系统的或或 状态。状态。 0t)0()(jy 通常对于具体的系统，起始状态一般容易求得。所以通常对于具体的系统，起始状态一般容易求得。所以为了求解微分方程，就需要从已知的起始状态为了求解微分方程，就需要从已知的起始状态 设法设法求得初始条件求得初始条件 。)0()(jy)0()(jy014:49:0220【例例】如图所示，如图所示，t0 时系统响应时系统响应

18、。)(te)0( Cv)(tvC+Rvc(0)e(t)vc(t)+deeRCvetvttRCCRCtC)(1)0()(0)(1)(1)(1)(teRCtvRCtvdtdCC两端乘以两端乘以 ：两端求积分：两端求积分：)(1)(teeRCtvedtdRCtCRCtRCtedeeRCvtvetRCCCRCt)(1)0()(0得得微分方程微分方程仅与激励有关仅与激励有关零状态响应零状态响应仅与起始储能有仅与起始储能有关关零输入响应零输入响应14:49:0333完全响应自由响应强迫响应完全响应自由响应强迫响应 零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应 通解特解通解特解 暂态响应稳态响应暂态响应稳态响应

19、教材例教材例2-814:49:0334 一一 由单位冲激信号由单位冲激信号(t)(t)所引起的零所引起的零状态响应称为状态响应称为单位冲激响应单位冲激响应，简称冲，简称冲激响应，用激响应，用h(t)h(t)表示。表示。 二二 由单位冲激信号由单位冲激信号u(t)所引起的零状所引起的零状态响应称为态响应称为单位阶跃响应单位阶跃响应，简称阶跃，简称阶跃响应，用响应，用g(t)表示。表示。14:49:0335:14:49:033614:49:0337uuu14:49:0338 教材例教材例2-92-9、2-102-10 系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)h(t)反映的是系统反映的是系统的特性，只与

20、系统的内部结构和元件参的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)h(t)可以由冲激信号可以由冲激信号(t)(t)作用于系统而求得。作用于系统而求得。14:49:0339 在信号分析与系统分析时，常常需要将在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激

21、分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。信号序列就是其中的一个实例。 14:49:0340 设设f1(t)和和f2(t)是定义在是定义在(-，)区间上的区间上的两个连续时间信号，我们将积分两个连续时间信号，我们将积分 dtff)()(21定义为定义为f1(t)和和f2(t)的卷积的卷积 (Convolution)， 简记为简记为 dtfftftf)()()()(2121积分的结果为另一个新的时间信号。积分的结果为另一个新的时间信号。一、卷积的定义一、卷积的定义14:49:0341二、卷积积分法求解零状态响应二、卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应在求解系统

22、的零状态响应y yf f(t)(t)时，时，将任意信号将任意信号f(t)f(t)分解为冲激函数序列，分解为冲激函数序列，然后令每一冲激函数单独作用于系统并然后令每一冲激函数单独作用于系统并求其冲激响应，最后利用求其冲激响应，最后利用LTILTI系统特性，系统特性，将这些响应叠加即可解得系统对激励将这些响应叠加即可解得系统对激励f(t)f(t)的零状态响应的零状态响应y yf f(t)(t)。这个叠加的过程表。这个叠加的过程表现为求现为求。14:49:034200( )( )()()()()()()()()()()( )lim() ()( ) ()( )lim() ()kkkfkth ttkh

23、tkf ktkf kh tkf ktkf kh tkf tf ktkf ttdytf kh tk ( ) ()f t h td 系统的零状态响应系统的零状态响应y yf f(t)(t)为输入激励为输入激励f(t)f(t)与系统的冲激响应与系统的冲激响应h(t)h(t)的卷积积分的卷积积分: :( )( )()( )( )fytf t h tdf th t14:49:0343 对于一些较简单的函数符号，如方波、三对于一些较简单的函数符号，如方波、三角波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟角波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过练掌握图解卷积的方法，对理解卷

24、积的运算过程是有帮助的。程是有帮助的。 三、卷积图解法三、卷积图解法14:49:0344 1.卷积积分的代数性质卷积积分的代数性质 卷积积分是一种线性运算，它具有以下基卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。本特征。 1) 交换律交换律( )( )( )( )( )()( )()f th th tf tfh tdfh td四、卷积积分的性质四、卷积积分的性质14:49:0345系统级联满足交换律系统级联满足交换律h1(t)h2(t)h1(t)h2(t)(t)(t)h(t) h1(t) h2(t)*h(t) h2(t) h1(t)*14:49:03462) 分配律分配律 (f1(t)+f2(

25、t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) 两个信号两个信号f1(t)与与f2(t)叠加后通过某系统叠加后通过某系统h(t)将等于两个信号分别通过此系统将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。后再叠加。 14:49:0347卷积分配律示意图卷积分配律示意图h(t)h(t)h(t)f1(t)f2(t)f1(t)f2(t)y(t)y(t)14:49:0348 3)结合律结合律 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) )(1th)(2th)(*)(*)()(21ththtetr)(te14:49:03492. 2. 奇异信号的卷积特性奇异信号的卷积特性

26、信号信号f f( (t t) )与冲激信号与冲激信号( (t t) )的卷积等于的卷积等于f f( (t t) )本身，本身，即：即： )()()(tfttf0)(tf或或14:49:0350(2) 信号信号f(t)与冲激偶与冲激偶(t)的卷积等于的卷积等于f(t)的导函数的导函数)()(0)()()()()()()(*)(0tftfdtftfdtftft证：证：即冲激偶即冲激偶( (t t) )是微分器！是微分器！14:49:0351(3) 信号信号f(t)与阶跃信号与阶跃信号u(t)的卷积等于信号的卷积等于信号f(t)的积分的积分证：证：即即u(u(t t) )是积分器！是积分器！)()(

27、)()()(*)()1(tfdfdtuftftut)()(*)()(*)()1(tftftututf14:49:0352 3. 卷积积分的微分和积分卷积积分的微分和积分注意注意: (3)式使用的条件是被求导的函数在式使用的条件是被求导的函数在 处为零值，处为零值，被积分的函数在被积分的函数在 区间上区间上的积分值为零。的积分值为零。t),(3. 3. 卷积的微分积分特性卷积的微分积分特性14:49:0353uuuuuu(t)u(t)u(t)u14:49:0454 4. 卷积的时移卷积的时移14:49:0455由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：由卷积时移性质还可进一步得到如下推论： 若若f1

28、(t)*f2(t)=y(t)，则，则 )(2121221121)()()()()(tttttftftttyttfttf式中，式中，t1和和t2为实常数。为实常数。 特别地，特别地， )()()(00ttftttf即即 是延时器！是延时器！)(0tt 14:49:0456 例：已知某线性非时变例：已知某线性非时变(LTI)(LTI)系统如图所示。图中系统如图所示。图中h h1 1(t)=u(t),h(t)=u(t),h2 2(t)=(t-1),h(t)=(t-1),h3 3(t)=e(t)=e-3(t-2)-3(t-2)u(t-2)u(t-2)，试求该系统的冲激响应试求该系统的冲激响应h(t)h

29、(t)。 解：解：当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系统的冲激响应统的冲激响应h(t)h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到。得到。h1(t)h2(t)h3(t)f (t)y(t)系统14:49:0457 h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t) =h(t)*(t-1)+e-3(t-2)u(t-2) =u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2) h1(t)h2(t)h3(t)f (t)y(t)系统 从图可见，子系统从图可见，子系统h h1 1(t)(t)与与h h2 2(t)(t)是级联关

30、是级联关系，而系，而h h3 3(t)(t)支路与支路与h h1 1(t)(t)及及h h2 2(t)(t)组成的支路是组成的支路是并联关系，因此并联关系，因此14:49:0458例：已知例：已知f1(t)=e-3t u(t)，f2(t)=e-5t u(t)，试计算两，试计算两信号的卷积信号的卷积f1(t)*f2(t)。 解：解：121235()35()3535( )( )( )()( )()1()21()( )2ttttttf tf tff tdeueu tdeedeeeeu t上下限错误！上下限错误！缺少缺少u(t)！14:49:0459 例：已知信号例：已知信号f1(t)=e-3(t-1

31、)u(t-1)与与 f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，试计算，试计算f1(t)*f2(t)。 解解:根据卷积积分的定义，可得 12123(1)5(2)3(1)5(2)3(3)5(3)3(3)5(3)( )( )( )()(1)(2)1()21()(3)2ttttttf tf tff tdeueu tdeedeeeeu t 14:49:0460规定规定1： p称为称为微分算子微分算子， 的含义是的含义是 。规定规定2： 如：如：dtdp)(tpfdttdf)(0,ndtdpnnn)()(444tfdtdtfp微分算子与微分方程微分算子与微分方程14:49:0461规定规定3： 称为称为积

32、分算子积分算子， 的含义是的含义是 。tdtp)(1)(1tfptdttf)(p114:49:0462规定规定4：设：设 为常数，则为常数，则 的含义是：的含义是：0111)(apapapapDnnnnia)()(tfpD)()()()()()(011110111tfatfdtdatfdtdatfdtdatfapapapannnnnnnnnn14:49:0463规定规定5：设：设 和和 是是 的正幂多项式，的正幂多项式， 则方程则方程 所代表的方程是所代表的方程是 算子方程算子方程：含微分算子的方程。：含微分算子的方程。)()()()(tfpDpNty)(pD)(pNp)()()()(tfpN

33、typD14:49:0464 若若 称为称为 对对 的的。它代表系统对输入的传输作用，或系统将输它代表系统对输入的传输作用，或系统将输入转移为输出的作用，又称入转移为输出的作用，又称 为为系统的系统的。)()()(pDpNpH)( pH)(ty)(tf)( pH14:49:0465举例举例1： 对应的方程为对应的方程为 或或 42)(2PppH)()2()()4(2tfptyp)(2)()(4)(tftftyty 14:49:0466性质性质1：以：以 的正幂多项式出现的算子式可的正幂多项式出现的算子式可以像代数多项式一样进行相乘和因式分解。以像代数多项式一样进行相乘和因式分解。如：如：又如：又如： p)() 65()() 2)(3(2tfpptfpp)() 2)(2()() 4(2tfpptfp14:49:0467性质性质2：设：设 和和 都是都是 的正幂多项的正幂多项式，则：式，则：)()()()()()(tfpApBtfpBpA)(pA)(pBp14:49:0468性质性质3：算子方程两边的公共因子不能随便：算子方程两边的公共因子不能随便 消去。消去。 如若如若 则则 不一定成立！不一定成立！)()(tpftpy( )( )y tft14:49:0469 元件名称电路符号 关系运算模型电阻电容电感iuRtitu)()(pCtitu1)()(pLtitu)