2018年甘肃高考数学试卷文科含答案

1、2018年甘肃省高考数学试卷（文科）（全国新课标n）、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。(5分)i (2+3i)=(A.2.3-2i B. 3+2i C. - 3-2i D. - 3+2i(5 分)已知集合 A=1, 3, 5, 7, B=2, 3, 4, 5,则 AH B=(A.3 B. 5 C. 3, 5 D. 1, 2, 3, 4, 5, 7(5分)函数f (x)的图象大致为（3.（5分）已知向量4.g，h满足|启|=1, aTb=- 1,贝U占？A.4B. 3C. 2 D.5.（5分）从2名男同学和(2K-b)=(3名女

2、同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D.0.3226. （5分）双曲线当方=1 （a>0, b>0）的离心率为近，则其渐近线方程为 abA. y=±>/2xB. y=±V3x C. y=±-xD. y=±7. (5 分)在 AABC 中,BC=1, AC=5,贝U AB=(A. 4也B.强C.D.小8. (5分)为计算S=1-+i 2100,设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（A. i=i+1 B. i=i+2一卜C. i=i+3D. i=i+49. （5分）在正方

3、体 ABCD- A1B1C1D1中，E为棱CC的中点，则异面直线 AE与2CD所成角的正切值为（）A - B 10. （5分）若f （x） =cosx- sinx在0, a是减函数，则a的最大值是（A.C.D.九11. （5分）已知Fi, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PRXPF2,且 /PEFi=60°,则C的离心率为（D.6-1B. 2-近 C,A. 1 哼12. (5分)已知f (x)是定义域为(,+oo)的奇函数，满足f (1-x) =f(1+x),若 f (1) =2,贝U f (1) +f (2) +f (3) +- +f (50)=()A. - 50 B.

4、0C. 2 D. 50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. （5分）曲线y=2lnx在点（1,0）处的切线方程为 .14. （5分）若x, y满足约束条件r-2y,则z=x+y的最大值为.5-54015. （5分）已知tan （ a一豆工），则tan a二 .4516. （5分）已知圆锥的顶点为S,母线SA SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角 为30°.若4SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60

5、分。17. （12分）记S为等差数列an的前n项和，已知a 二 - 7, &=-15.（1）求an的通项公式；（2）求并求Sn的最小值.18. （12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿 元）的折线图.筹资额十24020002001 Z0022fl032004 2005 20062007Z003 2009 2«102011 Z012 132C14ZO15 20年份为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量t的两个 线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2, 17)建立模型：口=-30.

6、4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1, 2,，7)建立模型：W=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.19. (12 分)如图，在三棱锥 P- ABC中，AB=BC=22, pa=PB=PC=AC=4O 为 AC的中点.(1)证明：PO,平面ABC;与C交于A, B两点，| AB| =8.(1)求l的方程；(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.21. (12分)已知函数 f (x) -x3-a (x2+x+1). 一 :1(1)若a=3

7、,求f (x)的单调区间；(2)证明：f (x)只有一个零点.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选彳4-4:坐标系与参数方程(10分)ne 922. (10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为科.白，(8为参数)，直线l的参数方程为 尸l+&，a , (t为参数).尸 2+1 言 in Q(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1, 2),求l的斜率.选彳4-5:不等式选讲(10分)23. 设函数 f (x) =5- | x+a| - | x-2| .(1)当a=1时，求不等式f (x

8、) >0的解集;(2)若f (x) <1,求a的取值范围.2018年甘肃省高考数学试卷(文科)(全国新课标n)参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。1. (5分)i (2+3i)=()A. 3-2i B. 3+2i C. - 3-2i D, - 3+2i【解答】解：i (2+3i) =2i+3i2=-3+2i.故选：D.2. （5 分）已知集合 A=1, 3, 5, 7,B=2,3, 4,5,则AHB=（A. 3 B. 5 C. 3, 5 D. 1,2,3, 4,5, 7【解答】解：.集合 A=1,

9、 3, 5, 7,B=2,3, 4,5, .An B=3, 5.故选：C.【解答】解：函数f (x)平=-二-.-： =-f (x),则函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除 A, 当 x=1 时，f (1) =e->0,排除 D.当 x一+00时，f (x) 一+00,排除 C, 故选：B.4. (5分)已知向量；，名满足|；|=1, a-b=- 1,则;？ (2；-b)=()A. 4 B. 3C. 2 D. 0【解答】解：向量为匕满足 | a| =1, a wb=- 1,贝a? (2a-b) =2， a b =2+1=3, 故选：B.5. (5分)从2名男同学和3名女同学中任

10、选2人参加社区服务，则选中的2人 都是女同学的概率为()A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3【解答】解：(适合理科生)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C2=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P*=0.3,(适合文科生)，设2名男生为a, b, 3名女生为A, B, C,则任选2人的种数为ab, aA, aB, aC, bA, bB, Bc, AB, AC, BC共10种，其 中全是女生为AB, AC, BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P*=0.3, 故选：D.6. (5分)双曲线 4-%=1 (a>0, b&g

11、t;0)的离心率为 右，则其渐近线方程为A. y=±>/2xB. y=±3x C. y=±-xD. y=±【解答】解：.双曲线的离心率为e=- a=总即双曲线的渐近线方程为y=± -x=± &x,故选：A.7. (5 分)在 ABC中，co宓是，BC=1, AC=5, WJ AB=()121 5A. 4/2 B.啊 C.扬 D. 2/5【解答】解：在ABC中，co/二,，cosC=2X 噜)2-i= 1-,BC=1 AC=5,则 ab=/bC2 +hC2-2BCACssC=jl+25+2 X 1 X 5 蟾 B荻二人 故

12、选：A.8. （5分）为计算S=1-上注-:+吟-春，设计了如图的程序框图，则在 士 J' Ji,Z? u? JL kJ V空白框中应填入（A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+4S=N T= (1 -)2+. 十【解答】解：模拟程序框图的运行过程知, 该程序运行后输出的是CD所成角的正切值为()累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2.故选：B.9. (5分)在正方体 ABCA AiBiCiDi中，E为棱CG的中点，则异面直线 AE与【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DDi为z轴，建立空间直角 坐标系，设正方体ABCD- AiBiCiDi棱长为2

13、,则 A (2, 0, 0), E (0, 2, i), D (0, 0, 0),C (0, 2, 0),屈=(-2, 2, i), CD= (0, -2, 0),设异面直线AE与CD所成角为9, 贝 cos 0 二sin tan 0异面直线AE与CD所成角的正切值为 故选：C.J 10. (5分)若f (x) =cosx- sinx在0, a是减函数，则a的最大值是(A. B. C.芭匚 D.冗424IT【解答】 解：f (x) =cosx sinx=- (sinx- cosx) =Vsin (x-),由-工-+2k 后 x-+2k tt, kCZ,242得-2-+2k 后 xd + +2k

14、 tt, kZ, 44取k=0,彳# f (x)的一个减区间为-等,由f (x)在0, a是减函数，得a0匹.则a的最大值是江.故选：C.11. （5分）已知Fi, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PRXPF2,且 /PEFi=60°,则C的离心率为（）A. 1哼 B. 2M3 C.D. V3- 1【解答】解：Fi, F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PRXPF?,且/ PEFi=60°,可得椭圆白向焦点坐标 F2 （c, 0）,lc,亚c).可得: 2222可得一二 1 ,可得 e4-1)8e2+4=0, e (0, 1), 解得e=<3 T|.1

15、2. (5分)已知f (x)是定义域为(-0°,+00)的奇函数，满足f (1-x) =f(1+x),若 f (1)=2,贝U f (1) +f (2) +f (3) +- +f (50)=(A. - 50 B. 0C. 2 D. 50【解答】解：f(x)是奇函数，且 f (1-x) =f (1+x),. f (1 -x) =f (1+x) =- f (x- 1), f (0) =0,贝U f (x+2) = f (x),贝U f (x+4) =- f (x+2) =f (x),即函数f (x)是周期为4的周期函数, -f (1) =2, .f (2) =f (0) =0, f (3

16、) =f (1-2) =f (1) =-f (1) =-2, f (4) =f (0) =0,贝Uf (1) +f (2) +f (3) +f (4) =2+0 2+0=0,贝Uf (1) +f (2) +f (3) +- +f (50) =12f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (49) +f (50) =f (1) +f (2) =2+0=2,故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. （5分）曲线y=2lnx在点（1, 0）处的切线方程为y=2x- 2【解答】解：.y=2lnx,，2y 二，当 x=1 时，v =2曲线y=2lnx在点（1,

17、0）处的切线方程为y=2x- 2.故答案为：y=2x- 2.2y 七014. （5分）若x, y满足约束条件【解答】解：由x, y满足约束条件x-2y+3> 0 ,贝 z=x+y的最大值为0（肝2y贯-2尸+3：>。作出可行域如图，义-5<0化目标函数z=x+y为y= x+z,由图可知，当直线y=-x+z过A时，z取得最大值,由产5解得a （5, 4）,x-2y+3=0目标函数有最大值，为z=9.15. （5分）已知tan （ a-等）卷则tan a三|【解答】解：:tan （ a-子），.tan ( a-) J, 45, 冗、 冗 1tan = =tan( a+工44故答案

18、为：鲁二.二与 LMl 5T 4 244516. (5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角 为30°.若4SAB的面积为8,则该圆锥的体积为 8冗.【解答】解：圆锥的顶点为S,母线SA, SB互相垂直，4SAB的面积为8,可得:?SA&，解得 SA=4SA与圆锥底面所成角为30°.可得圆锥的底面半径为： 炯,圆锥的高为：2, 则该圆锥的体积为：V二：不：，-： '二2二8九.故答案为：8 7t.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，

19、考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17. (12分)记$为等差数列an的前n项和，已知ai = - 7, S=-15.(1)求an的通项公式；(2)求&,并求与的最小值.【解答】解：(1) .等差数列an中，a1=-7, S3=- 15, .a1 = - 7, 3a1+3d=-15,解得 a1=7, d=2, .an=- 7+2 (n- 1) =2n-9;(2) a1 = - 7, d=2, an=2n - 9,&三(d十h.)卷(2n'16口) =n2 8n= (n - 4) 2 - 16,当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为-16.18. (12分)如图是

20、某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量t的两个 线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型：y=- 30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1, 2,，7）建立模型：y=99+17.5t.（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值;（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.【解答】解：（1）根据模型：；=-30.4+13.5t, 计算 t=19 时，= 30.4+13

21、.5X19=226.1;利用这个模型，求出该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元;根据模型：y=99+17.5t, 计算 t=9 时，y=99+17.5 X 9=256.5;.利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是 256.5亿元;（2）模型得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上 升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些, 从2010年到2016年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型的预测值更可靠些.19. (12 分)如图，在三棱锥 P- ABC中，AB=BC=2, PA=PB

22、=PC=AC=4O 为AC的中点.(1)证明：PO,平面ABC;(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.【解答】（1）证明：: AB=BC=近，AC=4,.AB2+BC2=aG,即ABC是直角三角形，又O为AC的中点，.二OA=OB=OCPA=PB=PC POA PO皿 POC. / POA=Z POB=Z POC=90, .POL AC, POX OB, OBA AC=0,POL 面 ABC;（2）解：由（1）得 POL 平面 ABC, PO*m=2/h在COM中，0M机再加之标而心 LrS吗X 2g 手=管5 ,1 2_4dCO吟物字设点 C 到平面 POM 的距

23、离为 d .由 Vp 一 omc=VC pom ?解得d=1，5.二点C到平面POM的距离为丝L20. (12分)设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k (k>0)的直线l与C交于A, B两点，| AB| =8.(1)求l的方程；(2)求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.【解答】解：(1)方法一：抛物线C: y2=4x的焦点为F(1, 0),当直线的斜率不存在时，|AB|=4,不满足；设直线 AB的方程为：y=k(x -1),设 A(X1,y1),B (x2,y2),则:"，整理得：k2x2-2 (k2+2) x+k2=0,则 X1+X2-:公，xX2=1,V

24、，4Kk2由 | AB| =x1+x2+p=2* +" +2=8,解得：k2=1,贝U k=1, k2直线l的方程y=x-,；方法二：抛物线C: y2=4x的焦点为F (1, 0),设直线AB的倾斜角为9,由抛物线的弦长公式| AB| =雪=乌=8,解得：sin2 9 ,Sin2e| Sin£e82-,贝直线的斜率k=1,4直线l的方程y=x1；(2)过A, B分别向准线x=- 1作垂线，垂足分别为A1, B1,设AB的中点为D,过 D作 DDL准线 l,垂足为 D,则|DDi|= (|AAi|+| BBi| )由抛物线的定义可知：| AAi| =| AF| , | BBi

25、|=| BF ,则 r=| DDi| =4,以AB为直径的圆与x=-1相切，且该圆的圆心为 AB的中点D,由(1)可知：xi +x2=6, y1+y2=x+x2-2=4,则 D (3, 2),过点A, B且与C的准线相切的圆的方程(x- 3) 2+ (y-2) 2=16.21. (12分)已知函数 f (x) =x令式k):怖a,3(1 +x+l)22则(g 式即)+, >口,所以g (x)在R上是增函数;3 ( 1+箕+1) 2-a (x2+x+1).(1)若a=3,求f (x)的单调区间；(2)证明：f (x)只有一个零点.【解答】解：(1)当a=3时，f (x)x3 - a (x2

26、+x+1)所以 f' (x) =x2 - 6x- 3 时，令 f' (x) =0解得 x二3±2，,函数是增函数，2 - ，二当 xC ( 8, 3 - 2/3), x (3 26, +00)时，f，(x) >0,当xC (3-2匹，3+2赤)时，f，(x) <0,函数是单调递减,综上，f(x)在(一3 3 2右)，(32,+8),上是增函数，在(3上递减.(2)证明：因为 x2+x+1= (x+L) 2普0,3所以f (x) =0等价于一梳3tH2十工十1)Wx=maX9a, 1,则有式停袅3K厂a 9/q-a）。，3M x=min 9a, - 1,则有， 99所以g （x）在（min9a, -1, max9a, 1）上有一个零点，由单调性则可知, f （x）只有一个零点.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选彳4-4:坐标系与参数方程（10分）22. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（8为参数），直线l的参数方程为了l+3a , （t为参数）.y=