相似图形提高讲义.

1、图形相似线段的比、黄金分割及形状相同的图形知识要点要点 1线段的比(1) 线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。(2) 成比例线段：四条线段aca、b、 c、 d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即，bd那么这四条线段成比例线段，当b c 时，有 ab ，称 b 为 a 与 d 的比例中项。bd(3) 比例尺：比例尺图上距离：实际距离（4）两条线段被一组平行线所截的线段成比例。说明： 判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。要点 2比例的性质比例的基本性质：a cad bc a、 b、 c、

2、d 0 , a bb 2ac a、 b、 c、 d 0b db c要点 3黄金分割概念：若点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 、 BC(AC BC)，若 ACBC ，我们称线段ABACAB 被点 C 黄金分割， C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比510.618 。2说明： (1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2)一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若 AB1，则 AC5 1,BC35 .22相似多边形 相似三角形及三角形相似的条件知识要点相似多边形要点 1 各角对应相等，各边对应成比

3、例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。说明： (1) 相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质，又可以看作相似多边形的判定； (2) 判定相似的两个条件，一个是各角对应相等，另一个是各边对应成比例；二者缺一不可。相似三角形要点 2三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。说明： (1) 相似三角形的各角对应相等，各边对应成比例；(2) 两个三角形的相似比为1时，这两个三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情况；(3) ABC 与A / B/C/相似和 ABC A /B /C/的含义有所不同， 前者没有指明这两个相似三角形的对应

4、关系，而后者表明了对应关系。要点 3三角形相似的判别方法方法 1：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.方法 2：两角对应相等的两个三角形相似；方法 3：三边对应成比例的两个三角形相似；方法 4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。引申直角三角形除了具有以上3 种判别方法， 还有以下方法： 一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。说明： (1) 相似三角形判定的三种判别方法中， “角角”“边边边”用的最广泛。在用“边角边”时要注意，必须是夹“角”的两边对应成比例；(2) 要找准对应边，一般对应角所对的

5、边是对应边， 最长的边或最短的边是对应边，公共边一般不是对应边。在找对应角时，公共角、对顶角一般是对应角。相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小知识要点要点 1测量旗杆高度的三种方法：(1) 方法 1：利用阳光下的影子 （如图 1）123某物体的实际高度被测物体的实际高度（还可利用结论：同一时刻：它的影长）；被测物体的影长(2) 方法 2：利用标杆；（如图 2，本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直，故三者平行，由此构造相似三角形）(3) 方法 3：利用镜子反射（如图 3，本方法用镜面反射，由反射角等于入射角，人与被测旗杆与地面垂直）说明：在测量旗杆高度的三种方法中，都是利用

6、三角形相似的知识解决，根据实际情况，构造相似三角形，通过测量三角形的边，利用对应边成比例计算出要求的目标。要点 2相似三角形与相似多边形的性质相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应高的比等于相似比；(2) 相似三角形对应角平分线的比等于相似比；(3) 相似三角形对应中线的比等于相似比；(4) 相似三角形周长的比等于相似比；(5) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。说明：这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。相似多边形的性质：(1) 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2) 相似多边形中，对应的三角形相似，相似比等于原多边形的相似比。要点 3位似图形定义：如果两个图形不

7、仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。 每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。 在已确定的两位似图形中，只有一个位似中心，两位似图形可在位似中心的同侧，也可在位似中心的两侧。两个位似图形的相似比又称为位似比。如图(1) 、(2) 、 (3)、 (4) 、 (5)。位似图形的性质：似比的平方；(3)(1) 对应边的比等于位似比；(2) 周长的比等于位似比，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。面积的比等于位说明： (1)位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；(2) 判断两个图形是位似图形，先判断两个图形相似，再看它

8、们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点；(3) 将一个图形放大或缩小时，位似中心可以在图形内或边上，也可以在图形的顶点上。例题精讲：例1若 3m n1 ，则 m _。n4n变形 1：已知 abc ，求 abc 及 abc 的值。345cabc例2已知 x： y：z1： 3： 5，求 x3yz 的值。x3yz变形 1：若 4x 7y 5z， 2x y z，那么 x： y： z（）A. 2 ： 1： (3)B. 2：1：3C. 2：( 1)： 3D. 3：2：1变形 2：若 x 3 y 1z 2 ，且 x y z 18，求 x， y， z。234例3 若点 C 是线段 AB 的分割点（ AC B

9、C ），AB 16，则 AC _ ，BC _；如果 D 是线段 AB 的另一个黄金分割点，则CD _。变形：如果线段上一点P 把线段分割为两条线段PA， PB. 当 PA2 PB· AB 时，则称点P是线段 AB 的黄金分割点， 现已知线段AB 10，点 P 是线段 AB 的黄金分割点， 如图所示，那么线段 PB 的长约为（）A. 6.18B. 0.382C. 0.618D. 3.82例 4、如图， D，E 分别为 ABC 的边 AB ，AC 上一点，且2点，且 AEF ACD ，(1) AD AF · AB吗？请说明理由。ADE ABC ，F 为 AD 上一(2) 若 A

10、F4，AB 9，求AD 。变形：如图所示，已知梯形ABCD ，AD BC ，若EFBC ，且所分成的梯形AEFD和梯形EBCF相似，AD 4，BC 9，求EF的长。例 5、如图 XS 11 所示，在 ABC 中， AD BC 于 D ，DE AB 于 E，DF AC 于 F，试证 AE·AB AF ·AC。变形 1：如图 XS 11 1， ABC 中， ABAC ,AB5BEECAC3 BAC ，则 AB _。，D 为 AB 上一点，若 BDEBD变形 2：如图 XS 11 2， AOB COD ， A C，下列各式正确的有（）个 ABCD ；ABCD； OBAD ；AOB

11、O 。BOCOAOODOCODCOODA. 1B. 2C. 3D. 4XS11XS 11-1XS11-2例 6、如图ZJ26，兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下， 一名同学测得一根长为1m 的竹竿的影长为 0.4m ，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2m，一级台阶高为 0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4m，则树高为（）A. 11.5mB. 11.75mC. 11.8mD. 12.25mZJ26一、选择题1mnA m nB2mnCmnD m nmnm nm n2mn2题4题5题2ABCDEAC A

12、BAD1ACAE BE3AAEDBEDBAEDCBD CAEDABDDBADBCD3 P Rt ABCBCB CPABCABCA 1B 2C 3D 44ABDACDA2B3C4D55ABCDECDPBCABPECP AAPBEPCBAPE90° CPBCDBPBC236 题7 题8 题6ABCADBC D1BDAC 90° 2BDAC3CDAC4 AB2 BD ·BCADABABCA 3B 2C 1D 07ADEABCDA90° ABFEF AB HAAEAFB EF AF2 1C AF2 FH · FED FB FC HBEC8ABCDEAD

13、A ABE CDE BCE B ABE CDE BCE C ABE DECDABEEBC9题11题10 题9abAF FB3 5BC CD31AEECA512B95C125D3210如图，在 ABC 中， M 是 AC 边中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1AB，连结 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，此时 BC CD 为 （）4（A ）21（ B）3 2（ C）3 1（ D）5211如图，矩形纸片ABCD 的长 AD 9 cm，宽 AB3 cm，将其折叠，使点D 与点 B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为 （）（ A ）4 cm、（ C） 4 cm、2103cm

14、（ B） 5 cm、cm（D ）5 cm、2103cmcm二、填空题12已知线段a6 cm，b 2 cm，则 a、b、a b 的第四比例项是_cm，a b 与 ab 的比例中项是_cm13若 ab b c a c m2，则 m _cab14题15题14如图，在 ABC 中， ABAC 27，D 在 AC 上，且 BDBC18， DEBC 交 AB 于 E，则 DE _115如图，ABCD 中，E 是 AB 中点，F 在 AD 上，且 AF FD ，EF 交 AC 于 G，则 AG AC_216题17题18题16如图，已知 ABC，P 是 AB 上一点，连结CP，要使 ACP ABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件） 17如图，AD 是 ABC 的角平分线， DE AC，EF BC，AB 15，AF 4，则 DE 的长等于 _18如图， ABC 中， ABAC， ADBC 于 D，AEEC， AD18，BE 15，则ABC 的面积是 _三、证明题1、如图，在 ABC 中，AB AC，延长 BC 至 D，使得 CD BC，CE BD 交 AD 于 E ，连结 BE 交 AC 于 F，求证 AFFC 2、 如图， ABC CDB 90°， ACa， BC b（1）当 BD 与 a、b 之间满足怎