矩阵论线性变换

1、第四讲主要内容：线性变换，线性变换的矩阵表示, 同一线性变换在不同基下的表示矩阵的相 互关系矩阵的相似理论第三章线性变换3.1线性变换及其矩阵表示定义31设是数域K上的线性空间，映 射力：U T W满足Aaa + b0) = aAa + bA/3、Va G IK, a, /3 G V(l) 则称S是从线性空间IZ到线性空间W的线性 变换。N(A)= a G V|, Aa = 0称貝的零空 间或核，人(人)=/? e iy|3a e V,9/3 = Aa 称貝的值域。例 1 倉 b0? 1 T C0, 1, £: /(x) T 畑 练习N(幺)=?, R帝=?取定V的基仏他,，W的基

2、%，A:VW是一个线性变换，则貝可用一个矩阵A e Kmxz?表示。事实上，Aa-j E Wj = 1,2,., n,有坐 标6?，2j, - - , G IK7",使得mi=l称A =（阳）e磴必“是线性变换貝：卩t w 在选定基下的表示矩阵。记Oi27 ）=（ylcti, yt&2, ，/q 仇）（2）=（01，02, ，0m）4现在考察坐标的变换，对/a eV,有坐 标a = （%他，n）T IK"使得na的旳.7 = 1从而v4q = A （刀;=i ajaj =匸;=i ajaj 二匸;朋） =（E-=i 叽）A即la的坐标为b = 4ao也就是说，在选定

3、 基下，线性变换转换为表示矩阵对坐标的乘法运算。例 2 求整:Rxn Rrr,幺:f(") T f(x) 在基1卫卫2,.,肝下的表示矩阵，问 N (£) =?, R (£) =?3.2线性变换在不同基下的表示矩阵之间的 关系为简单计，只考虑同一个空间之间的线 性变换。设仏是线性空间卩到自身的一个线 性变换。% &2,，Oin , % 02,，0仇是卩 的两组基。设基变换公式为(尸1，02)，0“)- 5 Q)C 貝在这两个基下的表示矩阵分别为A.B.则 vA(ai, ； &仇)=(&1： )&冗)4-4(/3b 02,，0口)=

4、(01，02：0仇0 从而v4(01,02,0他)=v4(Qi,j Q)C=(Q, , CXjAC十仇曲C'AC所以可见力在这两个基下的表示矩阵人£是相似 的，即满足，记为Bo相似矩阵的性质：(i) 反身性4s A(ii) 对称性 A B B A；(iii) 传递性 A BB C A C；(iv) B => p(A) s p(E),这里 p(R)是一 个多项式。例3设数域1K上的线性空间V有两组基 %如,01,02，满足(&1卫2)= (01,02)线性变换仏:V T V在基0詡2下的表示为 矩阵为求力在基aua2下的表示矩阵A，计算 Ak Bko3.3矩阵的相

5、似理论空间卩上的线性变换在不同的基下的表 示矩阵是相似的，反过来任何两个相似矩阵 都是某一线性变换在不同基下的表示矩阵。 求矩阵的相似最简形和找一个适当的基使 得某一线性变换在该基下的矩阵表不是最 简的就是同一个问题，它是矩阵的相似理论 耍研究的问题。定义3.2设1 :卩T卩是一个线性变换，若 存在非零向量a使得Aa = ka,keK,则称 k E K是线性变换仏的一个特征值，非零向量 a称为相应于特征值k的特征向量。线性变换的特征值和特征向量的求法:任取的一组基%，伽，设/在该 基下的表示矩阵为A,设特征向量a在该基下的坐标为a,即q = （cq： a% ： 贝V v4a =a?，：aja=

6、ka = （a,，弘）肚所以= ka(5)是一个通常矩阵的特征值问题。解可得 特征值知 和矩阵4的特征向量从而可得 线性变换力的特征值k和相应的特征向量 a = (qa?、：Q)a。练习求箱:叫班T盛创3肩:T 的特征值和特征向量。如果线性变换貝有一组特征向量 di,：&仇构成空间卩的基,贝！Jv4(ai, &2, ，a”) =Aa . ., v4ce7?)= 伙1&1)鸟2匕2， ,饥&仇)/饥、=(S&2：皿).I kn) 可见线性变换力在其特征向量构成的基下的 表示矩阵数对角阵。由线性代数知道这个结 论反过来也是对的。问题 若线性变换力没有特真向量

7、构成空间1/的基会岀现什么情况?Fun NotesJorda nMarie Ennwmond Camille Jordan (January 5, 1838 - January 22, 1922) was a French mathematician, known both for his foundational work in group theory and for his in flue ntial Cours cfan alyse. He was bor n in Lyon and educated at the Ecole polytechnique. He was an engi

8、neer by profession; later in life he taught at the Ecole polytech nique and the College de Fra nee, where he had a reputati on for ecce ntric choices of notation.He is remembered now by name in a number of foundational results:the Jordan curve theorem, a topological result required jn complex analys

9、is;the Jordan normal form and the Jordan matrix jn linear algebra;in mathematical analysis, Jordan measure (or Jordan content) is an area measure that predates measure theory;in group theory the JordanH6lder theorem on composition series is a basic result.Jorda n's work did much to bring Galois

10、theory into the main stream. He alsoinvestigated the Mathieu groups, the first examples of sporadic groups. His Traitd des substitutions, on permutation groups, was published in 1870.The asteroid 25593 Camillejordan and Institute of Camille Jordan are named in his honour.Camille Jorda n is not to be

11、 conf used with the geodesist Wilhelm Jorda n (GaussJordan elimination) or the physicist Pascual Jordan (Jordan algebras).Books by C. JordanCours cTanalyse de I*Ecole Polytechnique; 1 Calcul differentiel (Gauthier-Villars, 1909)Cours d'analyse deEcole Polytechnique ; 2 Calcul intdgral (Gauthier-Villars, 1909)Cours cTanalyse de Ecole Polytechnique;36 quations diff 6 rentielles(Gauthier-Villars, 1909)MOmoire sur le nombre des valeurs des fonctions (1861 _ 1869)Recherches sur les polyOdres (Gauthier-Villars, 1866)