电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答

1、习题解答4.1如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。解 根据题意，电位(x,y)满足的边界条件为 ®(0y 严 a y = )0 (x, o> 0 (x,b)= u根据条件和，电位(x，y)的通解应取为题4.1图aQO(x,y)八 AnSinh()sin( )n maa由条件，有COU0 = ' Ansinh()sin( )n 二aa两边同乘以刑盲)，并从0到a对x积分,得到a_An =.厂。、. Sin(3)dx =asinh(n b a) 0a2Uo4Uon -1,3

2、,5 |)< n兀 sinh(n兀b. a).(1_cos n兀)=1小n 二 sinh( nba)0，n =2,4,6,川2Uo®(x,y戶妙故得到槽内的电位分布sinwn# spnsi n hn(b a ) a4.2两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y = d到y = b(_：:x ：二)/ 。厂0到上板和薄片保持电位U。，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y =d，电位线性变化,(0,y) Uod。：2n d解 应用叠加原理，设板间的电位为(X, y) = l(x,y)2(x,y)其中，1 （x, y）为不存在薄片的平行无限大导体平面间

3、（电压为Uo）的电位，即i（x,y） =Uoyb ； （x，y）是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为:(x,0) = 2(x,b) =0：2(x,y> 0 (x >聊心(°心I©"'%bUo(d < y < b)根据条件和，可设2（x，y）的通解为2(x,y) = 6 AnSin(n =1n：y)-xV)e由条件有oO二 AnSin(n吕U0中)= bU。u。(d 乞 y b)两边同乘以sr)并从0到b对y积分，得到db1.j沖sin(£)dy旦屮sin( ) (n: )2 d b故得到gy ）=&

4、#165;y字巴和“罟颐亍）戸nd2we：2n d4.3求在上题的解中，除开 Uoy/b 项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 定出边缘电容。解在导体板（y=°）上，相应于匕（x，y）的电荷面密度：2n d"-'2 _ _ ；0则导体板上(沿z方向单位长)相应的总电荷q2 -；2dx =2 二 2dx 二-2 '_oa一2b相应的电场储能为WeU。其边缘电容为CfUond)厂抵一 i：壯打丄s in()2 b二 2dnq1 n2風欽sin)-2 b4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位Uo，其余两面电位为零,求槽内的电位的解。解 根据题意，电位

5、(x, y)满足的边界条件为d(0y护a y =):(x, yp 0 y：)(x,0)U°根据条件和，电位：(x, y)的通解应取为(x,y)八 Ane°：yasin( )aU 0八代sin(两边同乘以由条件，有sin()a并从0到a对x积分,得到nxA =2U sin(=)dxa 0 a=仝(1 - cos n 二)二故得到槽内的电位分布为4U0n 二-n?. yn =1 ,3 1.151n =1,3,5，川n =2,4,6，川：2n d4.5 一长、宽、高分别为 a、b、c的长方体表面保持零电位,体积内填充密度为J = y(yb)si n( )si n() a c的电荷

6、。求体积内的电位 '：O解 在体积内，电位 ，满足泊松方程2 二二一丄 y(y-b)sin(m)sin(工)0a c.x2jy2；z2(1)长方体表面S上，电位满足边界条件S。由此设电位的通解为：(x,y,z)=丄、AmnpSin(m 二 x n 二p 二 z0 m z1 n i p ：!a闷肓颐=）：2n d代入泊松方程（1 ），可得(p-)2 csin()s in(a)sin( ) = y(y -b)sin()sin(c)由此可得Amnp - 0(m、An1【(-)2an 二、2二、2r.川二 y(,sin(b)y-b)：2n d：2n d由式（2），可得Ani(a)22y(y-b

7、)sin()d3)(cos n -1)二8b2(n 二)30n =1,3,5,|l|= 2,4,6,111：(x,y,z)8b2：二 xn二 y、.，二 z-5sin( )si n( )si n( )n4,3|,l5n3(1) 2 .(卫)2. () 2abca' b(c)：2n d：2n d4.6如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷ql，其位置为（°，d）。求板间的电位函数。解 由于在（°，d）处有一与z轴平行的线电荷qi，以x=0为界将场空间分割为 x 0和x：0两个区域，则这两个区域中的电位1 （x，y）和2（x，y）都满足拉

8、普拉斯方程。而在X =0的分界面(2)(2)上，可利用:函数将线电荷qi表示成电荷面密度；(y)(y-y°)(2)ox题4.6图电位的边界条件为 i(x,0)= i(x,a02(x,0)= ；(x,a) =0 l(x,y)> 0(x；：)2(x,y) > 0 (x > -')x £由条件和，可设电位函数的通解为od】（x,y）八 Ane*xasin（U）n壬a(x 0)2(x,y)八 Bnen“：xasin(口)n毘a由条件，有' An sin(3)7 Bn sin(U) n 士an Ta(x ： 0)(1)n 1 a a n ：1a a“

9、o由式（1），可得将式（2）两边同乘以sin（吟 0a ，并从0到a对y积分，有】(0,y)二 2(0, y)(2)(4)2qAnBnn 二；0a0、(y-d)si n( )dy a吕 sin(n 二；0由式（3）和（4）解得An 二 Bn 二-Sin(n 二；0n. d(x 0)2(x,y)ndq - 1nd二出、1si n( )e：xasi n() n aa 0 n =1（x ： 0）4.7如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零,线电荷qi。求槽内的电位函数。Jz轴平行的线电荷ql，以X = Xo为界将b1qi *vxva两个区域，则这两个区（xoyo）i i槽中有一与槽平行的0a题4.7

10、图场空间分割为0”：X：x0和怡解 由于在（X。, y。）处有一与域中的电位i（x，y）和2（x, y）都满足拉普拉斯方程。而在x = X。的:>o n =i n(x,y)二乩v 1 sin(n-d)7：xasin( J)aa(4)(4)分界面上，可利用:函数将线电荷qi表示成电荷面密度 二(y) =q(y_y0)，电位的边界条件为 (0y =) 0 (a,y) =0 (x,0)= (x,b0；(x,0)= ；(x,b) =0 ；(x0,y)= 2 (x° ,y )由条件和，可设电位函数的通解为（0 ： x ： x°）1(x,y)= » An sin(n y

11、 )sinh( n x)n#bb(1)壬 nny nn（X。 ： x ： a）2(X,y)f Bnsin(T)sinhE(aX)由条件，有f Ansin(口)sinh(mn 1bboOBn si n(nn 二 y .T)sinhF(a x0)sin()coshd b bboO' Bnn 4n 二 n 二 y n 二sin( )cosh (a x0) b bb由式（1）,可得n 二 X。An si nh()-BnSi nh(a-x°)=0bb(3)sin（）将式（2）两边同乘以b ，并从0到b对y积分，有n%nn代 cosh(-) Bn cosh (a - x()=bb2qin

12、二；。bo"yO)Sin()d"丑 si nJ)n 二；。'由式（3）和( 4)解得Bn2qiAn2qisinh(n二 a b) n二；1 -sinh(a -x0)sin( °)0 bbsinh( n二 a b) n二；.inhdnl)0bb1(1)1(1)2q旳1"八nsinhgab)sinhE(ax0)1(1)1(1)sin(亍)sinh(閒()（0 ： x ： X。）on#nsinh(n二 ab)'b)1n 二 y0(X0 : x ： a)sin(-)si nh (ax)si n()bbb若以y = y。为界将场空间分割为0 y y

13、。和y。y b两个区域，则可类似地得到2q - -1n'""八 Ussinhgba)sinhFb y0)(0 ： yy。)sin(叱)sinh(口)sin(口X)aaa2小占nsinh爲a严呼）n4sin(°罔nh(b-y)sin() (y y . b)aaa(y0 ： y : b)4.8如题4.8图所示，在均匀电场E°二exEo中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位和电场E以及导体表面的感应电荷密度二。解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位'0与感应cp电荷的电位

14、 in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中,外电场的电位为o（r，）二-EoX= -巳cosC （常数C的值由参考点确定），而感应电荷的电位in（r- 应与0（r- 一样按co变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体,故圆柱外的电位为所以（r, J满足的边界条件为(a / >C®(r 尸E r coVC(t 旳)由此可设由条件,于是得到(r, ) - - E0r cosAr 二 cos C- E0acosA =a2E°Aa 4 cos c = c:(r, ) =( -r a2r 4)E0 cosC若选择导体圆柱表面为电位参考点，即（a

15、，J =Q，则C = °。导体圆柱外的电场则为E 二-；（r，）二-帶 耳-e二-er（V y）E° cose （-1）E°sin二° r = 2 ； cE °C 0 S导体圆柱表面的电荷面密度为汗 -4.9在介电常数为；的无限大的介质中， 沿Z轴方向开一个半径为 a的圆柱形空腔。沿X轴方向 外加一均匀电场 E°二exE°，求空腔内和空腔外的电位函数。解 在电场E°的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E°与极化电荷的电场 E p的叠加。外电场的电位为°（r，

16、） = -E°x = -E°rcos而感应电荷的电位 爲（，）应与°（r，一样按co变化，则空腔内、外的电位分别为1（r，和（，）的边界条件为 rT 氏时,®2（r冲）t E°rcos"； r =0时，i（r,）为有限值； r =a时，®i（a，°）=驾佝©），衣0 & 芯 dr由条件和，可设1（r, ） - -E°r cosA,r cos（r 乞 a）2（r, ） - -E°r cosA2r 4 cos（r - a）12带入条件，有Aa =A?a ，-E° + e&

17、#176;Ai =eE° _阳 A由此解得所以2名1(r,) E°rcos'：2(r, ) *1 -°(a)2E0rcos"気r(r - a)4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象4.10图所示。0题4.10图限分别保持电位 解Uo和一 Uo。求圆柱面内部的电位函数。由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为(0,)为有限值;由条件可知，圆柱面内部的电位函数的通解为0 ： ： r: / 27：/2 :字:二：:：3 二；2 3;2: 2二.；00:(

18、r, ) =、 rn(An sin nBn cosn )(亡b)代入条件，有由此得到CO' bn(An sin :亠 Bn cos = ) b (,)n Anb :(b, )sin n d0.nb :二 23二 2U°sinn d - U°sinn d H-U(cosn二)二0 :2U0n：bn.0，n =1,3,5，川n =2,4,6, HIBn -T1 b -2 二(b, )cos n d0二 23二 2U0cosn d _U0cosn d =(sinn二.3n二、sin ) 2 2(-1)；3JUxnbnn = 1,3,5,IHn =2,4,6,川(r, 2U

19、O00 、n i,3,5,|.i1 rAb)nsinn (-1)n 32 cosn Zb)(r, )nR|n r2 r；-2rr0 cos2o2阳0(1)为 r =a时，4.11如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为；，在距离轴线ro（ro V）处,有一与圆柱平行的线电荷qi，计算空间各部分的电位。解 在线电荷q作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位:（r，均为线电荷qi的电位 i（r，）与极化电荷的电位p（r, J的叠加，即;:（r, j：:p（r）。线电荷qi的电位而极化电荷的电位 1（rJ）满足拉普拉斯方程，且是 '的偶函数。 介质圆柱内外的电位1（r,

20、 和2（r, 满足的边界条件为分别为 1（°，为有限值；（，, （ , ）r0）(6)(6)由条件和可知，1（r,和2（r,的通解为cO1(r, ) = | (r,)亠二 Anrn cosnn =1(0_ r - a )：2（r, ） = i （r,）亠二 Bnr " cosnn =1将式（1）（3）带入条件，可得到（a _ r ：二）' Anan cos nBna cos nn吐n mcO' (An nan 4 Bn ona 占 4)cos n =(；n 1(2)(3)(4)(5)当r ： r0时，将ln R展开为级数，有lnR= 1圧一£ n

21、) cosn# n r0(6)（7）带入式（5）,得' （An ；n an，Bn；。na-）cos n =一（o）qin 4E （旦）n-Cosn©2 ；0 r0 nr0由式（4）和（7）,有nnAna 二 BnaAn ；nanlBn ；°na J1（呂一気）q2二；oGAn _由此解得故得到圆柱内、qi（；-；°）12二；°（ ；°） nrn°外的电位分别为B.2na2二；°C.亠-0）nr°ni（r,）二2 二；oIn r2 r； -2rr° cosq|（；o）,1（丄）ncosn2二；

22、76;C 亠-）心 nr°（8）2（r,）=qi2二；°in r2 r02-2rr0cos - qi（' 1（a）ncosn2兀+ %） n 二 n r°r（9）讨论：利用式（6）,可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为Q1 （匸）ncosn玺必（InR-ln r°）2二；o（） n吕 n r°2：；°e r°）2F：.n（）ncos"=q（InR-|nr）其中 R 二.r2 （a2 r°）2 -2r（a2 r°）cos 。因此可将 1（r，和2（r, J分别写成为i（r,）二12 旳

23、 in R q （； - ；0）2瓏0（十0）2二；-0In r°2（r,）二為1nR1-（； -2严 R/Tlnr2二；°由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（Ir°'o ）的线电荷。 的电位相同，而介质圆（7）（7）2d。）柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r°, o）的线电荷qi ；位于r° 的30.qi. qi线电荷-'0;位于r =0的线电荷-0。4.12将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位：（r，J均为线电荷qi的电位（r,）与感应电荷的电位J的叠加

24、，即 （r，J二l（r，>"（，）。线电荷qi的电位为,（r, ）InRln . r2 r-ZrroCOS2阳02兀e0而感应电荷的电位in（r，）满足拉普拉斯方程，且是的偶函数。（r，J满足的边界条件为 /, ）（ ,（0 > ：）； G,C。由于电位分布是的偶函数，并由条件可知，：（r，-）的通解为O0(r,)二 i(r,)二 Arcosn(2)n =S将式（1）和（2）带入条件，可得到0' Ana cos nn £=cqi2：；oIn a2 r02 -2ar0 cos(3)(5)(5)将1n . X r； _2aro cos展开为级数，有, od

25、iIn a2 r02 -2ar0cos-In r0-()n cosn(4)心n r0带入式(3)，得OOOO A'二 Ana cosn =Cqln r0- ()n cosn n£2 二；0n 丘 n ro由此可得 故导体圆柱外的电为(r, )qj In r2 r0 -2rr0 cos2%(5)qlqi 芒 1 / a2、n 丄(Cin r0) -'() cosn2 隔2兀“7 n r°r(6)讨论：利用式(4),可将式(6)中的第二项写成为2也' -()n cos nq (l n R I nr)2二；0 n 4 n r0r2二；0其中R=(a2 r。

26、)2二2r(a2朋0厂。因此可将(r,)写成为(r,) 也 I nR也 I nR 也 I nr Cq I n r02o2兀g02兀名02兀s由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于(0,0)的线电荷qI ；2.a c、(,0)位于ro的线电荷qI ；位于r = 0的线电荷qI。4.13在均匀外电场E0二ezEo中放入半径为a的导体球，设(1)导体充电至Uo ； (2)导体上充有电荷Q。试分别计算两种情况下球外的电位分布。解 (1)这里导体充电至 Uo应理解为未加外电场 E0时导体球相对于无限远处的电位为U。，此时导体球面上的电荷密度二二，总电荷q=4：；0aU0。将导

27、体球放入均匀外电场 E0中后， 在E。的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。设®(r®/0(r®+%n(r,8)，其中0(r,r) - -E°z - -E°rcost是均匀外电场 E0的电位，in(rl)是导体球上的电荷产生的电位。电位：(r)满足的边界条件为rT 时,日尸-E°rcos日；甘)乂0=q其中C0为常数，若适当选择：（r）的参考点，可使 C0 =U0。由条件，可设（r,对=-E0r cost Ar cost B1r J C1代入条件，可得到Ai = 03E0 B1 =

28、aU° G =C° -U°3_2_1若使Co =Uo，可得到 半亿日）=E°rcos日+a E°r cos日+aU°r（2）导体上充电荷Q时，令Q =goaUo，有UoQ4 二；oa（r, " - -Eor cost a3E0r * cos利用（1）的结果，得到4 二；or其中C0为常数，若适当选择：（r）的参考点，可使 C0 =U0。其中C0为常数，若适当选择：（r）的参考点，可使 C0 =U0。4.14如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0 =ezEo，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和

29、空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为；）。解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场E p的叠加。设空腔内、外的电位分别为I（r）和匕（门），则边界条件为r：时,2（r,）； E0rcos）；r =0 时，1（L）为有限值；r =a 时，:- : 2由条件和，可设；（，）= -E0rcos" A cos"2（rF） _ _E0rcos寸 A2r cos -带入条件，有23Aa=Aa心E° 中A = yE° 2名a A2由此解得E0r cost所以2（rCT j（a）3Eorcos，空腔

30、内、外的电场为Eii(“十 EoE2；（r,R 二 E0（o）Eo（a）3 e r2cosvsi"空腔表面的极化电荷面密度为十-n P2r £ = _（三三0 ）er EHIeoCOS d4.15如题4.15图所示，空心导体球壳的内、 外半径分别为r1和2，球的中心放置一个电偶极子p，球壳上的电荷量为 Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子P在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。球壳外的场可由高斯定理求得为QE 2（厂 eror22(r)吩外表

31、面上的电荷面密度为Qcy =24-r22设球内的电位为I(r,Np(re)2in(re)，其中pcosp 2R（COS日）:（r r =p（，） 4二;0r24二;0r是电偶极子p的电位，in(r户)是球壳内表面上的感应电荷的电位。：in （户）满足的边界条件为 5 （°门）为有限值;咒（1，日）=黄（2），即®in（r,）Zp（r,）沁2（2），所以也'°）=4囂_4；严0沏e （r 口、心£ Aj P”（cOs ）由条件可知in（，-的通解为n卫ouC送 ArinPn（COS 日yP（COS 日）由条件，有nz04 O2 4Ml比较两端Pn（

32、COSR的系数，得到An =0 （n 一2）耳（，日）（丄 一"os 日最后得到4二"45 rri球壳内表面上的感应电荷面密度为3p;r4 r；COST感应电荷的总量为q = 口；1 d S =S-卫气 COST 2r12sin讣-04 ri3 o4.16 欲在一个半径为耳 乂 H2 r=a + e©HOsin&er2题 4.16图a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密 度）？解设球内的均匀场为H1二ezHo（r：a），球外的场为H2（r a），如 题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为JS = n （H 2 一 H1

33、）p y （H 2 一ezH。）心二若令e汉H2虫=0，则得到球面上的电流面密度为J s 二 e Hos i n这表明球面上的绕线密度正比于si nr，则将在球内产生均匀场。4.17 个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。（1）证明：球内的电场是均匀的，等于；0 ；4兀R3T =（2 ）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P 产生的电场相同，3解（1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、 外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。建立如题4.17图所示的坐标系，则

34、介质球面上的极化电荷面密度为；p = P n = P er = P cos vcp cp介质球内、外的电位 1和2满足的边界条件为 门）为有限值； Hr, R > 0 （r > ：）； 】（RJ）-2（RJ） / 严）*Pcose:r:r因此，可设球内、外电位的通解为：2（r,二）=geos -r由条件，有解得于是得到球内的电位i(r)二rcos z3冼3 ；oEi I故球内的电场为P_ez -3 -o 3 -oPR3 cos.（2）介质球外的电位为4. R PPt2cosT = cos。4 二；0r34 二；0r4 R3T =其中3 为介质球的体积。故介质球外的电场为1尸半E2血

35、小r e7r =P3 (er2cos vsin v)4二；0r可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子P产生的电场相同。4.18半径为a的接地导体球，离球心几a）处放置一个点电荷q，如题4.18图所示。用分离 变量法求电位分布。解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。设® （,0）=%（,8）+歸（,8）其中%亿日）= q =f=2=r=4话oR 4兀S Jr2-2rni cos是点电荷q的电位，in （r门）是导体球上感应电荷产

36、生的电位。 电位"匚可满足的边界条件为 匚时，（D > 0 ； r 二a时，（aj） =°。题4.18图由条件，可得in（r）的通解为ln(rc)八 AnrPn(cosr)n=0为了确定系数 代，利用1 R的球坐标展开式r O0 rn无 pPn（cosG） （r 刃）1n 0 A巨十r忆-Pn（cosT） （r 沙）In卫rq 00 an（A）%（ae）= q 瓦 Pn（cosB）将o（r，在球面上展开为4.；0“卫1代入条件，有oO'、代aZPn(cosr) qn卫F n4"静 Pn(co"0比较 Pn(coSFAn的系数，得到2n 1q

37、an 14 二；01故得到球外的电位为： 2n 1a百巳（cost）4 二；°R 4 二；。.出仲）讨论：将"J）的第二项与1 R的球坐标展开式比较，可得到Zn £2n 1（吋）Pn(COS V)二a.®,r2 (a2 r1)2 -2r(a2 rjcos寸由此可见，（r户）的第二项是位于r =a=r1的一个点电荷q =-qa r1所产生的电位，此电荷 正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。4.19 一根密度为qi、长为2a的线电荷沿Z轴放置，中心在原点上。 证明：对于r a的点，有/35、%日）旦 +禽P2（cosT） + *P4（cosT）+H|2哗

38、° j 3r5r丿解线电荷产生的电位为a xa/®（r,e）=丄 *dz'丄 J ,1=dz，4% 弋 R4叭-Jr2 +z"2 -2rz"cos。对于r a的点，有1: (z)n22kR (COST)Jr +z" -2rz"cos日7 r故得到(z)nq4 二；oazn =01 an1 4-a)n1n 1 rn1R(cosRq2二；o/35a aa.-+ 3P2(cos日)+ 5 P4(COST) +11! j 3r5r4.20 一个半径为a的细导线圆环，环与xy平面重合，中心在原点上，环上总电荷量为Q，如题4.20图所示。

39、证明：空间任意点电位为Q 1 fr 23 f r V1% =_|1 - I ；P2(cos 日)+ I Jp4(cosB)+|(4哗 °a -2 la 丿8 (a 丿Q4 二；0r3P2(COS V)-8P4(cos"a)(r - a)解 以细导线圆环所在的球面 r二a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r=a上的电荷面密度题4.20 图Q2- a23T(cos ： - cos 5)Q2 a2、(cos j再根据边界条件确定系数。设球面r = a内、外的电位分别为1(r)和2(r，巧，条件为：1(0)为有限值；则边界根据条件和

40、，可得'(户)和'(J)的通解为 (r/1) >0( ：)1(a,二)=2 (a J):r):rQ2-a2、(cos J)根据条件和，可得'(户)和'(J)的通解为(1)(3)QOi(r,对=' AnrnR(cosRn=02(r,R 八 BLFn(cosRn虽代入条件，有Anan =Bna00Q'代 nan JBn(n 1)a Pn(co)2、(cos)n：e25a(2)(4)将式（4）两端同乘以Pm（co）sin?1，并从0到二对二进行积分，得n _1AnnaBn( n 1)a皿 (2n 1)Q、(cosRPn(cosRsin二=4 阳

41、°a 0(2n 1)Q4 二;°a2Pn(0)(5)其中0斤(0) = n2 1 3 5lt(n 一1)(T)n =1,3,5，川2 4 61 Inn =2,4,6,川由式（代入式An和（ 5），解得（1）和（2），即得到13）QfR(0)4 ；°aB 4殆0Pn(0)P2(cos 二)P4(cos = )丨1(心a)Q4：；°r1 - 1 1 a I P2(COS 日)十 3 I 旦 I P4 (cos日)十川 2lr丿8匕丿2lr丿(r -a)4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到qToX无穷远处，需要作多少功？解利用镜像法求解

42、。当点电荷q移动到距离导体平面为x的点p处时，其像电荷q = -q，与导体平面相距为x = -x，如题4.21图题4.21图所示。像电荷q在点p处产生的电场为E（X）弋石亦7所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功为% = d qE (x) dr 二旳_q22dx =d 4二 0(2x)2q16二；0dWo2-Weq外力所作的功为16 二；0 d4.22如题4.22图所示，一个点电荷 q放在60的接地导体角域内的点（1, 1, °）处。求：（1 ）所 有镜像电荷的位置和大小；（2）点x = 2, y = 1处的电位。解（1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷q到

43、角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于q，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为ly,5q4题 4.22图,x； = x 2 cos 75 =0.366q _ q,“！ H f ,0M i 2sin 75 =1.366rx； = J2cos165、-1.366q? =q， .y；=J2s in 165 =0.366”x；=中 2 cos195 =-1.366q3 q, *i 一ly3=J2s in 195 =-0.366”x； =®'2cos285 =0.366q4 =q,厂*ly；=2si n 285 =-1.366,x5" = v

44、'2 cos315 = 1q5 = -q, 1厂°ly5=J2si n315 =-1（2）点x =2,y =1处电位lRRlR?R3R4Rj -(1 -0.597 0.292 -0.275 0.348 -0.477) = 0321 q =2.88 109q (V)4二；04二；04.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设 m = 2 10"kg，h = 0.02m）。解 将小带电体视为点电荷q,导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q对q的作用力。根据镜像法可知，镜

45、像电荷为q = q，位于导体平面上方为h处，则小带电体q受到的静电力为fe2q24二；° (0 )令fe的大小与重力mg相等，即2q4二；0（ h 2）题 4.24 图（a）于是得到q =4h .二；°mg =5.9 10* C4.24如题4.24（ a）图所示，在z ： 0的下半空间是介电常数为；的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q，求：（1） z 0和z 0的两个半空间内的电位；（2）介 质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q。4.24 图（b ）、（ c）所示）解（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用

46、镜像电荷替代介质分界面 上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题qq； ；0，位于 z = -h，位于z二h上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即4%R 4%R" 4%1琴So2 (z-h)2；o . r2 (z h)2下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为2 二q q 二 24 R 2二(；o) . r2 (z - h)2极化电荷总电量为Zf = 0(Eiz -E2z)2 -®)hq2二(；o)(r2 h2)32°° / °°r2 2、324.25 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。（ 1）R求点电荷q与导体球之间的静电力；（2）证明：当q与Q同号，且q （D? - r2） D成立时，F表现为吸引力。解（1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电| Q qdj qo q荷。根据镜像法,图所示）像电荷q和q的大小和位置分别为（如题4.25题 4.