江苏省七市高三第二次调研考试数学试题

1、南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港2019届高三第二次调研测试数学试题你有能力拿到的分数113，1517，18（1）（2），19（1），(2)20.(1)(2),共计 133分 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1、已知集合，若，则实数a的值为 【答案】4【解析】因为，所以，则a4.2、复数（为虚数单位）的实部为 【答案】【解析】，所以实部为3、某单位普通职工和行政人员共280人为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为 【答案】35【解析】抽取的比例为：

2、，所以普通职工的人数为：495245，则行政人员的人数为：280245354、从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为 【答案】【解析】随机选派2人，共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种，甲、乙两人中恰有1人被选中的有：甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，4种所以所求事件的概率为P=5、执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为 【答案】30【解析】第1步：；第2步：S6，i3+2=5；第3步：S30，i5+2=7，退出循环，所以输出S30.【解后总结】处理流程图问题，关键在于遵循按部就班的原则，写出每次循环时的S和i值，同时要注意对循环条件的判定

3、.6、函数的定义域为 【答案】【解析】由160，得1642，解得x2，所以函数的定义域为.7、将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的值为 【答案】【解析1原解称为解析1】由题意可知：，所以。【解析2】根据图象平移前后的关系，的值应和中时值相等，所以此处增加解析2误区警示：图象的平移变换要按照“左加右减”的原则，若x前面有系数，需要提取系数.而解析2则可能避开可能在这方面犯的错误误区警示增加一话8、在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，则b的值为 【答案】【解析】因为双曲线的右顶点为A（2,0），所以a2，双曲线的渐近线的方程为，即，因为右顶点到渐近线的距离为，则有，即

4、，解得：b2.9、 在ABC中，已知C 120，sinB 2 sinA，且ABC的面积为，则AB的长为 【答案】【解析】设角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为sinB 2 sinA，由正弦定理得b2a，因为ABC的面积为，所以S，解得：a2，所以b4，则ABc.10、设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，则球O的表面积为 m2【答案】【解析】根据题意，可知三棱锥P-ABC是长方体的一个角，如图所示，该长方体的外接球就是经过P，A，B，C四点的球，因为此处由符号必为汉字PA2，PB3，PC4，所以此处由符号改为

5、汉字，长方体的体对角线的长为即外接球的直径2R，可得R，因此外接球的表面积为S4R2429【解后反思】几何体的内接球问题，关键要找到球心所在的位置，进而确定半径的值，本题，抓住PA，PB，PC两两垂直，将其补形成一个长方体，从而转化为长方体的外接球的问题，这一类题在各类考题中常有出现，同学们一定要掌握其方法.11、定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为 【答案】5【解析】因为，可得是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间上的图象，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图象，由0，得，分别画出和的图象，如下图，由f(5)=f(1)=1,而,而可以得到两个图象有5个交

6、点，所以零点的个数为5.【解后反思】本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图象的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图象并能灵活地运用图象，找到临界问题是解题的关键也是难点.12已知关于的不等式( a，b，cR ) 的解集为 x | 3 x 4，则的最小值为 【思路分析】先根据一元二次不等式的解集，确定a0,以及a,b,c的关系，再将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值.【答案】【解析】依题意得：，且3和4方程的两根，即：，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为.【误区警

7、示】运用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，这里a0，要转化为正数，再求最值.13在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆上，且，点P（3，-1），设的中点M的横坐标为x0，则x0的所有值为 【思路分析】设出M坐标为（x0，y0）,由弦长求得OM，条件通过向量的线性运算转化为，通过上述两个条件，建立方程组，解得x0的值.【答案】【解析】设M（x0，y0），由AB2，得：，又，所以，由，解得：x01或.所以x0的所有值为【解后反思】1.直线与圆相交的问题，要能充分利用好圆的几何性质，垂径定理是最常见的性质；圆心距是核心问题，通过圆心距可以求出弦长，而给出弦长，要能第一时间求出圆心距.

8、2.解析几何中的向量问题，往往是向量的坐标运算来处理，但往往需要先通过线性运算后转化，再通过向量坐标运算来处理。14已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为若，则的最大值为 【解后反思】由于，要使足够大，则A要取第1项到第m项，B中要取第1项到第n项，从而得到,再运用基本不等式求最值.【答案】44【解析】由于，则要使足够大，则A要取第1项到第m项，B中要取第1项到第n项，则有=1+3+5+（2m-1）+0+8+8（n-1）=,即，根据基本不等式可得，此时,等号当且仅当，此时n不是整数，故不成立，由于m,n为正整数，当m=22,n=11时，满足题意，此时m+2

9、n=44,故的最小值为44.【解后反思】1. 本题得到m，n的不等式关系式后配方得到，运用基本不等式得到m+2n-1的最小值为44，进而得到m+2n的最小值为45，但等号验证不成立，由于m,n为正整数，可以考虑m+2n能否取到44，通过验证不难得到结论.2. 运用基本不等式求最值，不仅要掌握课本上的基本不等式，对其变形式，也要能灵活运用，本题正是运用了该不等式，才使得问题得以解决，值得注意的是一定要验证等号成否成立,否则会导致错误.二、解答题：本大题共6小题，共计90分15. (本小题满分14分)在平面直角坐标系中，设向量a =，b = ，其中（1）若ab，求的值；（2）若，求的值【解】（1）

10、因为ab，所以，2分所以 4分因为，所以于是 解得 6分（2）因为，所以，又，故因为，所以，又，解得10分因此， 12分 14分16. (本小题满分14分)ABCA1B1C1ED（第16题）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1B1C1设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E求证：（1）DE平面ABB1A1； （2）BC1平面A1B1C【证明】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 所以侧面ACC1 A1为平行四边形又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点所以DEAB3分又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB

11、1 A1，所以DE平面ABB1A1 6分（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1A1B1 8分又A1B1B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1B1C1 = B1，所以A1B1平面BCC1B1 10分又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1BC112分又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1B1C又A1B1B1C = B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C14分17. (本小题满分14分) 图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡

12、屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH = （1）求屋顶面积S关于的函数关系式； （2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？ 17.【思路分析】（1）先通过线面垂直得到FHHM,放在直角RtFHM中，求出FM,根据三角形的面积公式求出FBC的面积，根据已知条件就可以得到所求S关于的

13、函数关系式;(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于的函数的关系式，再通过导数法求函数的最小值.ABCDEFHM【解】（1）由题意FH平面ABCD，FMBC，又因为HM 平面ABCD，得FHHM 2分在RtFHM中，HM = 5，所以4分因此FBC的面积为从而屋顶面积所以S关于的函数关系式为() 6分（2）在RtFHM中，所以主体高度为 8分所以别墅总造价为 10分记，所以，令，得，又，所以12分-0+列表：所以当时，有最小值答：当为时该别墅总造价最低 14分【解后反思】理解题意，建立出函数的关系式，是处理最优解类型应用问题的关键，第（1）问，抓住条件”梯形ABFE的面积是FBC面积的

14、2.2倍”,只要用表示FBC面积，即可得到屋顶面积；第（2）问，需要先设出总造价为y元，抓住已知条件，求出主体高度并结合第（1）问中求得的屋顶面积，就可以建立函数关系式.18（本小题满分16分）PAB（第18题）xyO如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为1，离心率相同（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值； 过点作两条斜率分别为的直线，且直线与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：为定值【思路分析】（1） 根据已知条件，求出a,b的值，得到椭圆C2的标准方程；（2） 对直线OP斜率分不存在和存

15、在两种情况讨论，当OP斜率存在时，设直线OP的方程为，并与椭圆C1的方程联立，解得P点横坐标，同理求得A点横坐标，再通过弦长公式，求出的表达式，化简整理得到定值；设，写出直线的方程，并与椭圆C1联立，得到x的一元二次方程，根据直线与椭圆C1有且只有一个公共点，得到方程只有一解，即，整理得，同理得到，从而说明是一元二次方程的两个根，运用韦达定理，证得定值.【解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，解得，因此椭圆C2的标准方程为 3分（2）1当直线OP斜率不存在时，则 4分2当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，代入椭圆C1的方程，消去y，得，所以，同理6分所以，由题意，同号，所以，从而所以

16、为定值 8分设，所以直线的方程为，即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程，消去y，得，因为直线与椭圆C1有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得， 12分同理可得，所以为关于k的方程的两根，从而14分又点在椭圆C2：上，所以，所以为定值 16分【解后反思】（1） 求时，只要计算横坐标之差即可，把斜线段之比转化为平行于x轴的线段之比，体现了化斜为直的思想.从变换的角度看，本题是两个同心圆压缩成椭圆得到，压缩前后对应线段比值不变，放在圆中很容易得到答案.增加解后反思（2） 证明为定值，运用了方程的思想，得到的一元二次方程的两个根，巧妙地运用了韦达定理。值得注意的是本题变量比较多，计算也比较

17、复杂，这里我们通过换元，令，代入计算，最后再回代，大大简化了计算的过程.同样，如果将椭圆拉伸为圆，不难看出，原两条切线就是互相垂直的直线，压缩成椭圆后斜率之积变为定值了.增加解后反思19（本小题满分16分）已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上的单调增函数，求的值；（3） 是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由 【思路分析】（1） 求导后通分，令，得到函数的的极值点，通过列表，得到函数的单调性，进而确定函数的极值;（2）先求出函数f(x)在处的切线方程，将是上的单调增函数转化为导数大于或等于0恒成立，通过两种方法处理恒成立问题，方法一：转

18、化为一元二次不等式恒成立，结合函数图象，得到，确定的值；方法二：分离出变量，转化求函数的最值问题，运用基本不等式求得函数的最小值，从而得到的不等式，解得的值。（3）假设存在，设出两个切点坐标，根据导数的几何意义以及同一切线，得到的方程组，消去得到的方程，从而将问题转化为方程有两解的问题，通过导数法得到函数单调递增，否定两个解，从而得到所求切线不存在.【解】（1）当时，函数的定义域为则，令得，或 2分12+0-0+极大值极小值列表：所以函数的极大值为；极小值为 4分（2）依题意，切线方程为，从而，记，则在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立 8分法一：变形得在上恒成立 ，所以，又，所以

19、10分法二：变形得在上恒成立 ，因为（当且仅当时，等号成立），所以，从而，所以10分法3：此处增加法3由在上恒成立知在时取最小值，而，其导函数，所以当时，为减函数，当时，为增函数，所以当时，取得极小值也是最小值，所以. 10分（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，不妨，则处切线的方程为：，处切线的方程为：因为，为同一直线，所以12分即整理得，上一个式子中多了一个逗号，已删除 14分消去得， 令，由与，得，记，则，所以为上的单调减函数，所以从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点 16分【解后反思】第3问的论证运用了反证法，假设存在两个不同的

20、切点，解题的难点在于导出矛盾，根据已知条件，得到方程解的问题，通过构造函数，研究函数的单调性，得到方程最多一解，从而与假设矛盾，证得结论.20（本小题满分16分）已知数列的各项均不为零设数列的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且 （1）求的值；原稿此处有错误 （2）证明：数列是等比数列；（3）若原稿这里有错误对任意的恒成立，求实数的所有值【思路分析】（1） 对令n=1,2得到方程，解得的值；（2） 对n赋值，作差消去Tn，再对n赋值作差，消去，从而得到，证得数列是等比数列；（3） 先求出，由恒成立，确定适合,再运用反证法证明和不成立.【解】（1）因为，令，得，因为，所以令，得，即，因为，所

21、以3分（2）解法1：原解称为“解法1”因为， 所以， 得，因为，所以， 5分所以， 当时，得，即，因为，所以又由（1）知，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列 8分解法2：此处增加解法2因为， 所以， 得，因为，所以， 所以，5分整理为，又，所以，得，当时，而也适合此式，所以，所以所以数列是以为公比的等比数列 8分（3）解法1：原解称为解法1由（2）知，因为对任意的，恒成立，所以的值介于和之间因为对任意的恒成立，所以适合 10分若，当为奇数时，恒成立，从而有记，因为，所以，即，所以（*），从而当时，有，所以不符 13分若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立由（*）式知，当时，有，所以不符

22、综上，实数的所有值为0 16分解法2：此处增加解法2由（2）知，故，所以当时，即，对任意的成立，符合题意； 10分因为对任意的，恒成立，所以对任意的大于3的偶数，即成立，亦即对任意的大于3的偶数，成立，13分先证，当时，记，因为，所以，即，所以（*），所以对任意的大于3的偶数，成立，但若，当时，所以不合题意，综上，实数的所有值为0 16分【解后反思】（1） 对于和的递推关系式，通常运用赋值作差法，消去，从而得到的递推关系式，也可消去，得到的关系式，此处增加解题反思特别要注意下标n的范围的确定.（2） 第（3）问中，根据极限的理论可知当,由不等式恒成立，不难得到,但由于是解答题需要进行严格论证，

23、当时，构造数列，通过作差法研究p(n)的单调性，得到不等式，从而得到当时，有，导出矛盾，否定，同理可证不成立；而解法2，则是对解法1的改进，若对任意的恒成立的必要条件是对任意的大于3的偶数，成立，这样避开了对实数符号的讨论.增加解后反思21【选做题】A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知m，nR，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值【解】由题意得，即所以即矩阵. 5分矩阵的特征多项式，解得矩阵的另一个特征值为.10分B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为( t为参数)，椭圆C的参数方程为.设直线与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长【解】法1：原