第四章 滤波器设计

1、第四章第四章 滤波器的设计滤波器的设计4.1 有限脉冲响应滤波器基础有限脉冲响应滤波器基础vFIR（有限脉冲响应）滤波器是非递归滤波器（有限脉冲响应）滤波器是非递归滤波器v由于不依赖以前的输出，所以非递归滤波器由于不依赖以前的输出，所以非递归滤波器的脉冲响应为有限项。的脉冲响应为有限项。2 1210MnxbnxbnxbnxbnyMMkkknbnh04.1 有限脉冲响应滤波器基础有限脉冲响应滤波器基础vFIR滤波器的滤波器的z变换表达示通过变换表达示通过z变换的时移特变换的时移特性得到：性得到：v可得到滤波器在可得到滤波器在z域的传输函数：域的传输函数：MkkkzXzbzY0)()(MMMkkk

2、zbzbzbbzXzbzXzYzH221100)()()()(4.1 有限脉冲响应滤波器基础有限脉冲响应滤波器基础v通常通过离散时间傅立叶变换求出滤波器频通常通过离散时间傅立叶变换求出滤波器频率响应的幅度可确定滤波器形状率响应的幅度可确定滤波器形状MkjkkebH0)(4.2 论滑动平均滤波器论滑动平均滤波器v以五项滑动平均滤波器例设计，此滤波器的以五项滑动平均滤波器例设计，此滤波器的差分方程为：差分方程为：v脉冲响应为：脉冲响应为：v传输函数为：传输函数为：)432 1(2 . 0nxnxnxnxnxny)432 1(2 . 0nnnnnnh)1 (2 . 0)(4321zzzzzH4.2

3、论滑动平均滤波器论滑动平均滤波器v频率响应为：频率响应为：)1 (2 . 0)(432jjjjeeeeH4.2 论滑动平均滤波器论滑动平均滤波器v例例1 设计滑动平均滤波器，要求他的设计滑动平均滤波器，要求他的-3dB频率为频率为480Hz，采样频率为，采样频率为10kHz。v解：解：数字滤波器数字滤波器-3dB点在点在480Hz处，采样频率为处，采样频率为10kHz。也就是数字频率。也就是数字频率弧度302. 01000048022sff4.2 论滑动平均滤波器论滑动平均滤波器对于对于M项滑动平均滤波器，项滑动平均滤波器，2/M处出现第一个零处出现第一个零点。点。-3dB点大约出现在此频率的

4、一半处，即点大约出现在此频率的一半处，即/M。因为因为-3dB点要在点要在0.302弧度处，所以可以确定弧度处，所以可以确定M：得：得：M=10.4302. 0M4.2 论滑动平均滤波器论滑动平均滤波器因此，十一项滑动平均滤波器的因此，十一项滑动平均滤波器的-3dB频率比要求频率比要求的稍低些。滤波器脉冲响应为：的稍低些。滤波器脉冲响应为：差分方程为：差分方程为：100111kknnh100111kknxny4.2 论滑动平均滤波器论滑动平均滤波器4.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器v对于对于n=0时，将脉时，将脉冲响应表示为冲响应表示为sinc函数，定义：函数，定义：)sin(111

5、nnnhxxxsincsin4.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器4.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器v其中其中sinc(0)=1，并且在，并且在x=n(n 0)时，函数时，函数为零。为零。v这样理想低通滤波器得脉冲响应可表示为：这样理想低通滤波器得脉冲响应可表示为：)sinc()sin()(1)sin(11111111nnnnnnnnhnnnh)sin(114.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器v 是滤波器得截止频率是滤波器得截止频率v下图得滤波器得截止频率为：下图得滤波器得截止频率为：125. 014.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器4.3 逼近理想低通滤波器逼

6、近理想低通滤波器v设计时设计时 的选择必须大于所要求的通带边缘频率的选择必须大于所要求的通带边缘频率14.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器v参数参数p定义了通带波纹：滤波器通带内偏离单位增定义了通带波纹：滤波器通带内偏离单位增益的最大值益的最大值通带边缘增益定义为通带边缘增益定义为1- pv参数参数s定义了阻带波纹：滤波器阻带内偏离零增益定义了阻带波纹：滤波器阻带内偏离零增益的最大值的最大值阻带边缘处，滤波器增益为阻带边缘处，滤波器增益为 sv过渡带宽度就是阻带和通带边缘之间的距离（过渡带宽度就是阻带和通带边缘之间的距离（Hz）过渡带宽度过渡带宽度=阻带边缘频率阻带边缘频率通带边缘频率

7、通带边缘频率4.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器4.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器v例例2 对下图所示的低通滤波器，确定通带波对下图所示的低通滤波器，确定通带波纹、通带边缘频率、阻带波纹、阻带边缘频纹、通带边缘频率、阻带波纹、阻带边缘频率、过渡带宽度、带宽、率、过渡带宽度、带宽、-3dB或截止频率。或截止频率。4.3 逼近理想低通滤波器逼近理想低通滤波器4.4 窗函数窗函数v窗函数的作用是从理想低通脉冲响应的无限窗函数的作用是从理想低通脉冲响应的无限个采样点中选取有限个采样点，这个重要的个采样点中选取有限个采样点，这个重要的步骤使脉冲响应采样值可步骤使脉冲响应采样值可实现实现

8、为一个实际滤为一个实际滤波器波器4.4.1 矩形窗矩形窗v矩形窗函数由理想脉冲响应与有限长矩形窗矩形窗函数由理想脉冲响应与有限长矩形窗相乘得到：相乘得到：vN项矩形窗为项矩形窗为v其他处为零其他处为零1nwnhnh2/ ) 1(1Nnn4.4.1 矩形窗矩形窗4.4.1 矩形窗矩形窗4.4.1 矩形窗矩形窗4.4.2 汉宁窗汉宁窗v长度为长度为N的汉宁窗定义为：的汉宁窗定义为：v 其他处为零其他处为零12cos5 . 05 . 0Nnnw2/ ) 1( nn4.4.2 汉宁窗汉宁窗4.4.2 汉宁窗汉宁窗4.4.3 哈明窗哈明窗v长度为长度为N的哈明窗定义为：的哈明窗定义为：v 其他处为零其他

9、处为零2/ ) 1( nn12cos46. 054. 0Nnnw4.4.3 哈明窗哈明窗4.4.3 哈明窗哈明窗4.4.4 布莱克曼窗布莱克曼窗v长度为长度为N的布莱克曼窗定义为：的布莱克曼窗定义为：v 其他处为零其他处为零2/ ) 1( nn14cos08. 012cos5 . 042. 0NnNnnw4.4.4 布莱克曼窗布莱克曼窗4.4.4 布莱克曼窗布莱克曼窗4.4.5 凯塞窗凯塞窗v长度为长度为N的凯塞窗定义为：的凯塞窗定义为：v 其他处为零其他处为零vI0(x)是零阶修正第一类贝塞尔函数是零阶修正第一类贝塞尔函数,定义为定义为:vA所期望的阻带衰减值所期望的阻带衰减值2/ ) 1(

10、 nn)12(1020INnInw120!)2/(1jjjxI9587. 01102. 0A4.4.5 凯塞窗凯塞窗4.4.5 凯塞窗凯塞窗4.5 低通低通FIR滤波器的设计滤波器的设计v窗函数法设计滤波器时，低通滤波器通带边缘窗函数法设计滤波器时，低通滤波器通带边缘频率频率1的选择必须考虑到所有项引起的模。的选择必须考虑到所有项引起的模。2/ )(过渡带宽度过渡带宽度要求的通带频率要求的通带频率设计的通带边缘频率设计的通带边缘频率4.5 低通低通FIR滤波器的设计滤波器的设计4.5 低通低通FIR滤波器的设计滤波器的设计.91. 0WTfs.32. 3WTfs.44. 3WTfs.98. 5

11、WTfs12cos5 . 05 . 0Nn12cos46. 054. 0Nn14cos08. 012cos5 . 042. 0NnNn)12(1020INnI)6(.33. 4WTfs)8(.25. 5WTfs)10(.36. 6WTfs)(1log(20dBp4.5 低通低通FIR滤波器的设计滤波器的设计v例例3 要求滤波器阻带衰减为要求滤波器阻带衰减为75dB，过渡带宽，过渡带宽度为度为1kHz。采样频率为。采样频率为16kHz。选择什么窗。选择什么窗函数，长度为多少？函数，长度为多少？4.5 低通低通FIR滤波器的设计滤波器的设计v解解由表可知有两个窗函数最符合阻带要求，即布莱由表可知有

12、两个窗函数最符合阻带要求，即布莱克曼和克曼和=8的凯塞窗。的凯塞窗。布莱克曼窗需要的项数为：布莱克曼窗需要的项数为：=8的凯塞窗需要的项数为：的凯塞窗需要的项数为：9568.9510001600098. 5858410001600025. 54.5 低通低通FIR滤波器的设计滤波器的设计v注：注：如果向上近似，滤波器性能略高于设计要求；如果向上近似，滤波器性能略高于设计要求；如果向下近似，滤波器性能将低于设计要求如果向下近似，滤波器性能将低于设计要求4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤v加窗低通加窗低通FIR滤波器的设计步骤：滤波器的设计步骤：1、在过渡带宽度的中间，选择通带

13、边缘频率、在过渡带宽度的中间，选择通带边缘频率（Hz）2、计算、计算1=2f1/fs，并将此值代入理想低通滤波，并将此值代入理想低通滤波器的脉冲响应器的脉冲响应h1n中：中：2/ )(1过过渡渡带带宽宽度度要要求求的的通通带带频频率率 fnnnh)sin(114.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤3、从表中选择满足阻带衰减及其他滤波器要求、从表中选择满足阻带衰减及其他滤波器要求的窗函数，用表中的窗函数，用表中N的公式计算所需窗的非零项的公式计算所需窗的非零项数目。选择奇函数，计算窗函数数目。选择奇函数，计算窗函数n4、对于、对于 ，从式，从式 计计算脉冲响应，对于其他算脉冲响应

14、，对于其他n值值hn=0，此脉冲响应，此脉冲响应是非因果的是非因果的将脉冲响应右移将脉冲响应右移(N-1)/2,确保第一个非零值在确保第一个非零值在n=0处处,使此低通滤波器为因果使此低通滤波器为因果2/ ) 1( Nn1nnhnh4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤v例例4 根据下列指标设计低通滤波器根据下列指标设计低通滤波器通带边缘频率通带边缘频率2kHz阻带边缘频率阻带边缘频率3kHz阻带衰减阻带衰减 40dB采样频率采样频率 10kHz4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤v解解第一步第一步:计算过渡带宽度计算过渡带宽度v过渡带宽度过渡带宽度=3000

15、-2000=1000Hz第二步第二步:Hzf250021000200015 . 01000025002211sffnnnnnh)5 . 0sin()sin(114.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤第三步第三步,选择窗函数选择窗函数.因为阻带衰减因为阻带衰减40dB,在表中在表中选择汉宁窗选择汉宁窗,并且并且:选择选择N=33.窗函数变成窗函数变成:其中其中2 .3310001000032. 3.32. 3WTfNs322cos5 . 05 . 012cos5 . 05 . 0nNnnw1616n4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤第四步计算滤波器的脉冲响应第

16、四步计算滤波器的脉冲响应,并移位并移位310002. 029002. 0270064. 0250142. 0230272. 0210495. 0190972. 0173153. 0165 . 0153153. 0130972. 0110495. 090272. 070142. 050064. 03002. 0 10002. 0nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxny4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤v例例5 根据下列指标设计低通滤波器根据下列指标设计低通滤波器通带边缘频率通带边缘频率10k

17、Hz阻带边缘频率阻带边缘频率22kHz阻带衰减阻带衰减 75dB采样频率采样频率 50kHz4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤v解解第一步第一步,计算过渡带宽度计算过渡带宽度过渡带宽度过渡带宽度=22 000-10 000=12 000Hz第二步第二步.Hzf160021200010000164. 050000160002211sffnnnnnh)64. 0sin()sin(114.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤第三步第三步,选择窗函数选择窗函数.因为阻带衰减因为阻带衰减75dB,在表中在表中选择布莱克曼窗选择布莱克曼窗(可以避免复杂的计算可以避免复杂的

18、计算),并且并且:选择选择N=25.窗函数变成窗函数变成:其中其中9 .24125098. 5.98. 5WTfNs244cos08. 0242cos5 . 042. 0nnnw1212n4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤n第四步计算滤波器的脉冲响应第四步计算滤波器的脉冲响应,并移位并移位22001. 021002. 020002. 019010. 018009. 017018. 016049. 015020. 014110. 01328012640. 011280. 010110. 09020. 08049. 07018. 06009. 05010. 04002. 0 3

19、002. 02001. 0nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxny4.5.1 低通低通FIR滤波器设计步骤滤波器设计步骤4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器v带通和高通滤波器可以先设计低通滤波器带通和高通滤波器可以先设计低通滤波器,再再进行频率移位来获得待求的滤波器进行频率移位来获得待求的滤波器.4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器v由低通滤波器转换为高通或带通滤波器由低通滤波器转换为高通或带通滤波器,低通低通滤波器的脉冲响应必须与余弦

20、函数相乘滤波器的脉冲响应必须与余弦函数相乘:v得到得到:v0为双边滤波器形状的待求中心频率为双边滤波器形状的待求中心频率)cos(0nnq)cos(01nnnhnh4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器v低通滤波器的设计过程做两个修改低通滤波器的设计过程做两个修改1、在第三步和第四步之间，数字频率、在第三步和第四步之间，数字频率f0是待求滤波器的中心频率是待求滤波器的中心频率对于带通滤波器对于带通滤波器,这个频率将介于这个频率将介于0到到fs/2之间之间对于高通滤波器对于高通滤波器,此中心频率应等于奈奎肆特界此中心频率应等于奈奎肆特界限限fs/2sff0024.6 带通和高通带通和高通

21、FIR滤波器滤波器2、第四步中必须包含因子、第四步中必须包含因子这时高通滤波器的脉冲响应为这时高通滤波器的脉冲响应为:)cos(0n) 1()cos(nhnhnnhn低低低低高高4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器v例例6 为采样频率为采样频率22kHz的系统设计的系统设计FIR带通滤带通滤波器波器,带通滤波器如图所示带通滤波器如图所示,中心频率中心频率4kHz,带带通边缘在通边缘在3.5和和4.5kHz处处.过渡带宽度过渡带宽度500Hz,阻带衰减阻带衰减50dB4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器v解解:由于采样频率为由于采

22、样频率为22kHz,所以只画出所以只画出0到到11kHz这这段频率段频率.带通滤波器的通带边缘频率为带通滤波器的通带边缘频率为3.5和和4.5kHz,中心中心4kHz,所以低通滤波器的通带边缘必须在所以低通滤波器的通带边缘必须在500Hz.由于带通滤波器过渡带宽度为由于带通滤波器过渡带宽度为500Hz,所以低通滤所以低通滤波器的过渡带宽度也为波器的过渡带宽度也为500Hz,得通带边缘频率和得通带边缘频率和等效数字频率为等效数字频率为:4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器脉冲响应为脉冲响应为Hzf7502500500106818. 0220007502211sffnnnnnh)0681

23、8. 0sin()sin(114.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器查表知查表知,所需得阻带衰减要求用哈明窗所需得阻带衰减要求用哈明窗:最近奇整数为最近奇整数为N=151,所以窗函数为所以窗函数为:4 .1515002200044. 3.44. 3WTfNs1502cos46. 054. 0nnw4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器因为带通滤波器得中心频率要求为因为带通滤波器得中心频率要求为4kHz,故余弦故余弦函数得中心频率函数得中心频率0,必须位于必须位于最后脉冲响应下式得最后脉冲响应下式得:363. 02200040002200sff)cos(01nnnhnh4.6 带

24、通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器v例例7 需要一个通带边缘需要一个通带边缘8kHz,阻带边缘为阻带边缘为6kHz得高通滤波器得高通滤波器,阻带增益至少比带通增益阻带增益至少比带通增益低低40dB.采样频率为采样频率为22kHz,设计滤波器并给设计滤波器并给出他得脉冲响应出他得脉冲响应4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器设计第一步是求出高通滤波器得低通等效。高通设计第一步是求出高通滤波器得低通等效。高通滤波器得中心频率滤波器得中心频率f0选在选在1/2采样频率处采样频率处,即即11kHz.高

25、通滤波器的通带处在高通滤波器的通带处在8kHz到到11kHz之间之间.过渡带宽度为过渡带宽度为8-6=2kHz,所以低通滤波器的通带所以低通滤波器的通带边缘在边缘在3kHz,阻带边缘在阻带边缘在5kHz4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器低通滤波器通带边缘频率及相应得数字频率为低通滤波器通带边缘频率及相应得数字频率为脉冲响应为脉冲响应为Hzf400022000300013636. 02200040002211sffnnnnnh)3636. 0sin()sin(114.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器查表知查表知,所需得阻带衰减要求用汉宁窗所需得阻带衰减要求用汉宁窗:最近奇整

26、数为最近奇整数为N=37,所以窗函数为所以窗函数为:5 .3620002200032. 3.32. 3WTfNs362cos5 . 05 . 0nnw4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器因为带通滤波器得中心频率要求为因为带通滤波器得中心频率要求为11kHz,故余故余弦函数得中心频率弦函数得中心频率0,必须位于必须位于最后脉冲响应下式得最后脉冲响应下式得:22000110002200sff)cos(01nnnhnh4.6 带通和高通带通和高通FIR滤波器滤波器4.7 带阻带阻FIR滤波器滤波器v带阻滤波器抑制了一个范围得频率，而其他带阻滤波器抑制了一个范围得频率，而其他部分可以通过部分

27、可以通过.v设计方法设计方法:正确选择通带边缘频率正确选择通带边缘频率,通过把低通通过把低通和高通滤波器结合起来和高通滤波器结合起来,来构造出带阻滤波器来构造出带阻滤波器4.7 带阻带阻FIR滤波器滤波器4.7 带阻带阻FIR滤波器滤波器v两种滤波器的脉冲响应两种滤波器的脉冲响应h低低n和和h高高nh低低nh高高nXzYz)()()()()(zXzHzXzHzY高高低低4.7 带阻带阻FIR滤波器滤波器v总传输函数为总传输函数为v滤波器的脉冲响应为滤波器的脉冲响应为)()()(zHzHzH高高低低带带阻阻zhzhzh高高低低带带阻阻4.8 无限脉冲响应滤波器基础无限脉冲响应滤波器基础MkkNk

28、kknxbknya002 12 12102101MnxbnxbnxbnxbNnyanyanyaknxbknyanyMNMkkNkk4.8 无限脉冲响应滤波器基础无限脉冲响应滤波器基础v例例8 求递归滤波器求递归滤波器的脉冲响应的脉冲响应v解：解：用用hnhn代替代替yn,nyn,n代替代替xn,xn,则得到脉冲响则得到脉冲响应应: : 18 . 0nxnyny 18 . 0nnhnh4.8 无限脉冲响应滤波器基础无限脉冲响应滤波器基础v递归滤波器的传输函数递归滤波器的传输函数v假定假定NM,且每项乘以且每项乘以zN,有有:NNMMzazazazbzbzbbzXzYzH2211221101)()

29、()(NNNNMNMNNNazazazzbzbzbzbzXzYzH221122110)()()(4.9 低通模拟滤波器低通模拟滤波器v在连续域中在连续域中,滤波器用滤波器用s s表示而不用表示而不用z表示表示.简单简单的低通模拟滤波器的传输函数为的低通模拟滤波器的传输函数为:v模拟滤波器的频率响应为模拟滤波器的频率响应为:v幅度响应为幅度响应为11)(ssH11)(jH11)(2H4.9 低通模拟滤波器低通模拟滤波器v若若很大很大, 趋于趋于0; 很小很小, 就趋近于就趋近于1.若若=1, 等于等于)(H)(H)(H2/14.9 低通模拟滤波器低通模拟滤波器v可以改变传输函数使可以改变传输函数

30、使-3dB频率变为不是频率变为不是=1,而是其他频率而是其他频率v对这个模拟传输函数进行傅立叶变换为对这个模拟传输函数进行傅立叶变换为:11)(ppssH11)(111pppjjH4.9 低通模拟滤波器低通模拟滤波器v幅度为幅度为:v这仍然是一个低通滤波器这仍然是一个低通滤波器.但但-3dB的频率在的频率在1)(1)(21pH1p4.9 低通模拟滤波器低通模拟滤波器4.9 低通模拟滤波器低通模拟滤波器v通常模拟滤波器包括巴特沃斯、切比雪夫通常模拟滤波器包括巴特沃斯、切比雪夫型、型、切比雪夫切比雪夫型和椭圆滤波器等。型和椭圆滤波器等。v区别区别:巴特沃斯滤波器在通带和阻带巴特沃斯滤波器在通带和阻

31、带都单调都单调的的,意味着意味着他们在一个方向上平滑变化他们在一个方向上平滑变化;切比雪夫切比雪夫型在型在阻带阻带内是内是单调单调的的,但在通带内是有但在通带内是有波纹的波纹的切比雪夫切比雪夫型滤波器在型滤波器在通带通带内是内是单调单调的的,但在阻但在阻带内是波纹的带内是波纹的椭圆滤波器在通带和阻带内椭圆滤波器在通带和阻带内都有波纹都有波纹4.9.1 双线性变换双线性变换v双线性变换为模拟滤波器和数字滤波器之间双线性变换为模拟滤波器和数字滤波器之间的转换提供了一种方法的转换提供了一种方法,定义定义:vfs是采样频率是采样频率,用用ej代替代替z112zzfss22222222222)()(21

32、12jjjjsjjjjjjsjjseeeefeeeeeefeef4.9.1 双线性变换双线性变换v运用欧拉等式运用欧拉等式v进一步简化为进一步简化为:2cos2sinjjjjeejee和)2tan(2)2cos(2)2sin(22ssfjjf4.9.1 双线性变换双线性变换带回原式带回原式,s变为变为j,然后将然后将j消去消去.得得:此方程称为预扭曲方程此方程称为预扭曲方程注意模拟频率和数字频率的范围注意模拟频率和数字频率的范围)2tan(2sf4.9.1 双线性变换双线性变换4.9.1 双线性变换双线性变换v例例:9下列习题说明这样把下列习题说明这样把z域复平面上的点通过双域复平面上的点通过

33、双线性变换映射到线性变换映射到s域复平面上域复平面上a、 进行双线性变换进行双线性变换2121jz2222224222)2121)(2121(2212121211212112jfjfjjjjfjjfjjfzzfsssssss4.9.1 双线性变换双线性变换vb、z=0进行双线性变换进行双线性变换vC、z=2+j进行双线性变换进行双线性变换ssfzzfs21125254102423331231212122112sssssssfjfjfjjjjfjjfjjfzzfs4.9.1 双线性变换双线性变换v例例 10 一阶模拟低通滤波器的传输函数一阶模拟低通滤波器的传输函数滤波器的滤波器的-3dB频率是频

34、率是2000弧度弧度/秒秒(或或2000/2= 318.31Hz).求出此滤波器相对应的数字滤波器的传输函数求出此滤波器相对应的数字滤波器的传输函数H(z),采样率为采样率为1500Hz11)(ppssH4.9.1 双线性变换双线性变换v解解模拟域原传输函数模拟域原传输函数H(s)为为:滤波器形状为滤波器形状为20002000)(ssH1)2000(1)(2H4.9.1 双线性变换双线性变换要设计的数字滤波器必须与该模拟滤波器相匹配要设计的数字滤波器必须与该模拟滤波器相匹配.采样频率采样频率1500Hz,双线性变换要求模拟传输函数双线性变换要求模拟传输函数中的每个中的每个s都要用都要用 来代替

35、来代替.数字域的数字域的传输函数为传输函数为:) 1() 1(2zzfs112 . 01)1 (4 . 02 . 0) 1(4 . 010005000) 1(2000) 1(2000) 1(3000) 1(200020001130002000)(zzzzzzzzzzzzH4.9.1 双线性变换双线性变换v滤波器的频率响应为滤波器的频率响应为:jjeeH2 . 01)1 (4 . 0)(4.9.1 双线性变换双线性变换4.9.1 双线性变换双线性变换v例例11 模拟传输函数所表示的简单模拟低通滤波器模拟传输函数所表示的简单模拟低通滤波器要转换为数字滤波器要转换为数字滤波器, ,数字滤波器的数字滤

36、波器的-3dB-3dB频率为频率为318.3Hz,318.3Hz,采样频率为采样频率为1500Hz.1500Hz.求数字滤波器的传输求数字滤波器的传输函数和频率响应表达示函数和频率响应表达示. .v解解: :-3dB-3dB频率频率fp1=318.3Hz,Hz,采样频率采样频率1500Hz,1500Hz,数字截止数字截止频率为频率为: :弧度4244. 015003 .3182211sppff4.9.1 双线性变换双线性变换考虑到双线性变换的扭曲考虑到双线性变换的扭曲, ,预扭曲模拟频率预扭曲模拟频率: :用这个频率代替未扭曲的用这个频率代替未扭曲的原型模拟滤波器的传输函数为原型模拟滤波器的传

37、输函数为: :秒秒弧弧度度/4 .2360)24244. 0tan(2)2tan(211spspff秒秒弧弧度度/2000)31.318(21p4 .23604 .2360)(11sssHpp4.9.1 双线性变换双线性变换用双线性变换用双线性变换 ,转换为数字滤转换为数字滤波器，得到传输函数波器，得到传输函数:该扭曲的数字滤波器的频率响应为该扭曲的数字滤波器的频率响应为:) 1() 1(3000zzs111193. 01)1 (4403. 0)(zzzHjjeeH1193. 01)1 (4403. 0)(4.9.1 双线性变换双线性变换4.9.1 双线性变换双线性变换v例例12 在例在例11

38、11中中, ,预扭曲的模拟滤波器转换成预扭曲的模拟滤波器转换成1500Hz1500Hz采样系统的数字滤波器采样系统的数字滤波器. .用预扭曲的模拟滤波器形用预扭曲的模拟滤波器形状表达示求出数字滤波器的形状状表达示求出数字滤波器的形状v解解模拟滤波器的形状为模拟滤波器的形状为1)4 .2360(11)(1)(221pH4.9.1 双线性变换双线性变换将将 连同连同1500Hz1500Hz的采样频率代入模的采样频率代入模拟滤波器形状表达示拟滤波器形状表达示, ,得到数字滤波器形状得到数字滤波器形状: :)2tan(2sf1)4 .2360)2/tan(3000(1)(2H4.10.1 巴特沃斯滤波

39、器设计巴特沃斯滤波器设计v传输函数为传输函数为:v特性为特性为:v这是一阶的巴特沃斯滤波器这是一阶的巴特沃斯滤波器.11)(ppssH1)(1)(21pH4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计vn阶的巴特沃斯滤波器的滤波器形状为阶的巴特沃斯滤波器的滤波器形状为:v该滤波器具有低通特性该滤波器具有低通特性,而且阶数越高，他的而且阶数越高，他的滚降越陡峭滚降越陡峭. .1)(1)(21npH4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设

40、计v滤波器设计通带从选择满足要求的模拟滤波滤波器设计通带从选择满足要求的模拟滤波器阶数开始器阶数开始,对于对于n n阶模拟阶模拟巴特沃斯滤波器巴特沃斯滤波器,满满足通带和阻带设计要求所需的阶数为足通带和阻带设计要求所需的阶数为:v 是模拟滤波器预扭曲的通带边缘频率是模拟滤波器预扭曲的通带边缘频率,v 是模拟滤波器预扭曲的阻带边缘频率是模拟滤波器预扭曲的阻带边缘频率)log(2) 11log(112pssn1p1s4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计v传输函数为传输函数为:nnnnzazazazbzbzbbzH2211221101)(4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设

41、计v低通巴特沃斯滤波器的设计步骤低通巴特沃斯滤波器的设计步骤:1、确定待求通带边缘频率、确定待求通带边缘频率 、待求阻带边缘频、待求阻带边缘频率率 和待求阻带衰减和待求阻带衰减 ,通带边缘频通带边缘频率必须对应率必须对应-3dB2、用式、用式 把由把由Hz表示的待求边缘频率表示的待求边缘频率转换成由弧度表示的数字频率转换成由弧度表示的数字频率 和和3、计算预扭曲模拟频率以避免双线性变换带来、计算预扭曲模拟频率以避免双线性变换带来的失真。由的失真。由 求得求得 和和 ,单位单位弧度弧度/秒秒1pf1sfdBslog20sff /21p1s)2/tan(2sf1p1s4.10.1 巴特沃斯滤波器设

42、计巴特沃斯滤波器设计4、由已定得阻带衰减、由已定得阻带衰减 确定阻带边确定阻带边缘增益缘增益5、用下式计算所需滤波器的阶数、用下式计算所需滤波器的阶数:dBslog20s)log(2) 11log(112pssn4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计6 6、把、把 代入代入n n阶模拟阶模拟巴特沃斯滤波器传输函数巴特沃斯滤波器传输函数H(s)H(s)中中, ,并对并对H(s)H(s)进行双线性变换得到进行双线性变换得到n n阶数字传阶数字传输函数输函数H(z).H(z).滤波器实现所需的差分方程可直接滤波器实现所需的差分方程可直接从传输函数从传输函数H(z)H(z)求出求出, ,把把 代入代入: :即可得到滤波器形状即可得到滤波器形状)2/tan(2sf1p1)(1)(21npH4.10.1 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计v例例13 设计具有巴特沃斯特性的低通设计具有巴特沃斯特性的低通IIRIIR滤波器滤波器,-,-3dB3dB频率为频率为1200Hz.1200Hz.在在1500Hz1500Hz处增益降到处增益降到-25dB.-25dB.采样采样速率为速率为8000Hz.8000Hz.选择合适的滤波器阶数并画出滤波选择合适的滤波器阶数并画出滤波器形状器形状v解解: :由于仅仅由于仅仅300Hz300Hz以内就要使滤波器增益