(了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系)

1、(了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系)8.10 8.10 曲线与方程曲线与方程 在直角坐标系中，如果某曲线在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解的实数解 建立了如下关系：建立了如下关系： (1)曲线上的曲线上的 都是这个方程的解；都是这个方程的解；(纯粹性纯粹性) (2)以这个方程的解为以这个方程的解为 都在曲线上都在曲线上(完备性完备性) 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 1“曲线的方程曲线的方程”、“方程的曲线方程的曲线”的定义的

2、定义点的坐标点的坐标坐标的点坐标的点 根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质这根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质这 种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做种通过研究方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做 (就是借助就是借助 于坐标系研究几何图形的方法于坐标系研究几何图形的方法)2平面解析几何研究的主要问题平面解析几何研究的主要问题坐标法坐标法 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标； (2)写出适合条件写出适合条件P的点的点M的集合；的集合；

3、 (3)用坐标表示条件用坐标表示条件P(M)，列出方程，列出方程f(x，y)0； (4)化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 3求简单的曲线方程的一般步骤求简单的曲线方程的一般步骤 (1)定义法；定义法；(2)几何法；几何法；(3)代入法；代入法；(4)参数法参数法 4求简单的曲线方程的主要方法求简单的曲线方程的主要方法1方程方程y 表示的曲线是表示的曲线是() A抛物线的一部分抛物线的一部分 B双曲线的一部分双曲线的一部分 C圆圆 D半圆半圆 答案：答案：D 2已知已知ABC三边

4、三边AB、BC、CA的长成等差数列，且的长成等差数列，且|AB|CA|，点，点B、C的的 坐标为坐标为(1,0)、(1,0)，则动点，则动点A的轨迹方程是的轨迹方程是() 答案：答案：D 3过圆过圆x2y24上任意一点上任意一点P作作x轴的垂线轴的垂线PN，则线段，则线段PN中点中点M的轨迹方的轨迹方 程是程是_ 答案：答案： 4平面区域平面区域P：x2y212(|x|y|)的面积为的面积为_ 解析：解析：本题考查线性规划知识的迁移应用由已知得不等式表示的平面区本题考查线性规划知识的迁移应用由已知得不等式表示的平面区域成中心对称当域成中心对称当x0，y0时，原不等式等价于时，原不等式等价于(x

5、1)2(y1)21表示在表示在第一象限内以第一象限内以(1,1)为圆心以为圆心以1为半径的圆面，故如右图可得不等式表示的区为半径的圆面，故如右图可得不等式表示的区域，故其面积为域，故其面积为4124. 答案：答案：4如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求轨迹方程时可用直接法求出方程后，可通过研究方程进一步确定关系，求轨迹方程时可用直接法求出方程后，可通过研究方程进一步确定曲线的类型、形状和位置等曲线的类型、形状和位置等 【例【例1】 如如图，已知点图，已知点A在在x轴上，点轴上，点B在在y轴上

6、，且轴上，且|AB|2，点点M分有向线段分有向线段AB的比为的比为，求点求点M的轨迹方程，并说明曲线是什么的轨迹方程，并说明曲线是什么 解答：解答：设设M点坐标为点坐标为(x，y)，A、B两点的坐标分别为两点的坐标分别为(a,0)、(0，b)，则则a2b24，又又 (1)2x2 (1)若若1，则，则x2y21表示以原点为圆心半径为表示以原点为圆心半径为1的圆；的圆； (2)若若1，或，或1，则，则 1表示中心在原点，焦点在表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；轴上的椭圆； (3)若若01或或10，则，则 表示中心在原点，表示中心在原点，焦点在焦点在x轴上的椭圆；轴上的椭圆；(4)当当0，则，则

7、又又2a2，即，即y0，2x2，则则M点的轨迹表示线段点的轨迹表示线段.1. 如果轨迹与动点如果轨迹与动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用 时，可先考虑将时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法参数法中常选变角、变斜率等为参数为参数法参数法中常选变角、变斜率等为参数2注意参数的取值范围对方程的影响注意参数的取值范围对方程的影响 【例【例2】 已已知抛物线知抛物线y22x，原点原点O为顶点为顶点，A、B为抛物线上两动点，且满足为抛物线上两动点，且

8、满足 OAOB，如果如果OMAB，垂足为垂足为M，求求M点的轨迹点的轨迹 解答：解答：解解法一法一：设直线设直线OA的方程为的方程为yk kx，则直线则直线OB的方程为的方程为y 得得k k2x22x，则则x0或或x A点坐标为点坐标为 将将A点坐标中的点坐标中的k k换为换为 可得可得B点坐标点坐标(2k k2，2k k)，则直线，则直线AB的方程为的方程为y2k k (x2k k2)，即，即y 又直线又直线OM的方程为的方程为y x整理得整理得(x1)2y21(x0)，所求轨迹为以所求轨迹为以C(1,0)为圆心半径为为圆心半径为1的圆的圆(去掉原点去掉原点) 解法二：由解法一知，直线解法二

9、：由解法一知，直线AB过过N(2,0)点，因此点，因此OMN为直角三角形，为直角三角形，点点M在以在以ON为直径的圆上运动，点为直径的圆上运动，点M的轨迹方程为的轨迹方程为(x1)2y2(x0) 变式变式2.过过抛物线抛物线y22x的顶点作互相垂直的二弦的顶点作互相垂直的二弦OA、OB，试求试求AB中点中点M的轨迹方程的轨迹方程 解答：解答：设直线设直线OA方程为方程为yk kx，则直线，则直线OB的方程为的方程为y 由由 可求出可求出A点坐标为点坐标为 则则B点坐标为点坐标为(2k k2，2k k)，设设M点坐点坐 标为标为(x，y) 则消去则消去k k可得可得y2x2，即所求轨迹方程为即所

10、求轨迹方程为y2x2. 求轨迹方程的主要方法有定义法、直接法、代入法和参数法等，可求轨迹方程的主要方法有定义法、直接法、代入法和参数法等，可通过所求方程明确曲线的类型、形状和位置，进一步解决与曲线的通过所求方程明确曲线的类型、形状和位置，进一步解决与曲线的相关问题相关问题【例【例3】 定长为定长为3的线段的线段AB的端点的端点A、B在抛物线在抛物线y2x上移动上移动(1)求求AB中点中点M的轨迹方程；的轨迹方程；(2)求求AB中点中点M到到y轴的最短距离轴的最短距离 解答：解答：解解法一：法一：(1)设设M点的坐标为点的坐标为(x，y)，A、B两点的坐标为两点的坐标为(y，y1)，(y，y2)

11、，根据已知条件根据已知条件 由由得得(y1y2)2(y1y2)219，即即(yy2y1y2)(y1y2)219222得得4y22x2y1y2 将将代入代入得得2x(4y22x)4y219， 整理得整理得x (2)x 当且仅当当且仅当 4y21，即，即y 时等号成立，时等号成立，因此因此M点到点到y轴的最短距离为轴的最短距离为 解法二：解法二：(1)设直线设直线AB的方程为的方程为yk kxb，A、B两点的坐标为两点的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，A、B中点中点M的坐标为的坐标为(x，y)，将将yk kxb代入代入y2x整理得整理得k k2x(2k kb1)xb20，由已知条件：由已知条

12、件：k k20，(2k kb1)24k k2b214k kb0， x yk k 又又|AB|3，即，即 由由得得2k kb12k k2x 由由得得k k 将将代入代入消去消去k k、b得得 整理得整理得x (2)同解法一同解法一 变式变式3.已已知知F为抛物线为抛物线x22py(p0)的焦点，过的焦点，过F作直线与抛物线交于作直线与抛物线交于A、B两两 点，以点，以A、B为切点分别作抛物线的切线为切点分别作抛物线的切线L1、L2，若若L1与与L2交于点交于点P，求：求：(1)点点P的轨迹方程；的轨迹方程；(2)若若PAB的面积的最小值为的面积的最小值为16，求抛物线的方程求抛物线的方程 解答：

13、解答：(1)F 设设直线直线AB的方程为的方程为y k kx 得得x22pk kxp20.设设A则则x1x22pk k，x1x2p2，由由y 所以以所以以A为切点的切线为切点的切线L1方程为方程为y 以以B为切点的切线为切点的切线L2方程为方程为y 设交点设交点P(x，y)，则可解得，则可解得 所以点所以点P的轨迹方程为的轨迹方程为y (2)|AB| 点点P到直线到直线AB的距离的距离h 所以所以SPAB |AB|hp2 (1k k2)的最小值为的最小值为p2，所以，所以p216，又又p0，p4.抛物线方程为抛物线方程为x28y. 【方法规律方法规律】求动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要问题

14、，求动点的轨迹和圆锥曲线的求动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义和性质有密切的联系另外在求轨迹时经常采用的方法有直接法、定义法、定义和性质有密切的联系另外在求轨迹时经常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法等代入法、参数法等(1)直接法：直接法是求轨迹方程最基本的方法直接通过建立直接法：直接法是求轨迹方程最基本的方法直接通过建立x、y之间的关系，之间的关系，构成构成F(x，y)0即是其具体步骤如下：即是其具体步骤如下：建立适当的直角坐标系，用建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；写出适合条件写出适合条件P的

15、点的点M的集合的集合PM|P(M)；用坐标表示条件用坐标表示条件P(M)，列出方程，列出方程f(x，y)0；化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；证明化简后的方程是所求曲线的方程证明化简后的方程是所求曲线的方程除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤可以不写，如有特殊可以不写，如有特殊情况，可适当予以说明，步骤情况，可适当予以说明，步骤可省略可省略 (2)定义法：圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆定义法：圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义判断所求轨迹的类型、位置和形状，可借助于圆锥曲

16、线的标锥曲线的定义判断所求轨迹的类型、位置和形状，可借助于圆锥曲线的标准方程，最大限度地减少直接法中化简和整理方程的运算量准方程，最大限度地减少直接法中化简和整理方程的运算量(3)代入法：又称相关点法，其特点是，动点代入法：又称相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线的坐标取决于已知曲线C上的上的点点(x，y)的坐标，可先用的坐标，可先用x，y来表示来表示x，y，再代入曲线，再代入曲线C的方程即得点的方程即得点M的轨迹方程的轨迹方程(4)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x，y.得出轨迹的参数方程，得出轨迹的参数方程，消

17、去参数，即得其普通方程选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，消去参数，即得其普通方程选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有角然后再选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有角度，直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等而代入法也是参数法的特殊情况，度，直线的斜率、点的横纵坐标、线段长度等而代入法也是参数法的特殊情况，利用参数法求轨迹方程的关键是要把握消参的时机和消参的方法，可通过例利用参数法求轨迹方程的关键是要把握消参的时机和消参的方法，可通过例2、例、例3及变式和一些练习去体会和把握及变式和一

18、些练习去体会和把握. (本小题满分本小题满分12分分)在平面直线坐标系在平面直线坐标系xOy中中，有一个以有一个以F1(0， )和和F2(0， )为焦点为焦点，离心率为离心率为 的椭圆的椭圆设椭圆在第一象限的部分为曲线设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点动点P在在C上上，C在点在点P处的切线与处的切线与x、y轴的交点分别为轴的交点分别为A、B，且向量且向量OMOAOB.求求：(1)点点M的轨迹方程的轨迹方程；(2)|OM|的最小值的最小值【答题模板答题模板】解答：解答：(1)椭椭圆方程可写为圆方程可写为其中其中ab0， 得得a24，b21.曲线曲线C的方程为的方程为x2 y2 (0 x1)，y 设设P(x0，y0)，因，因P在在C上，有上，有0 x01时，上式取等号时，上式取等号故故|OM|的最小值为的最小值为3. 【分析点评分析点评】由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一考查了求轨迹方