人教版2024-2025学年八年级数学专题14.7整式的乘法与因式分解(压轴题综合测试卷)专题特训(学生版+解析)

专题14.7整式乘法与因式分解（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022春•丹徒区月考）下列运算正确的是（）A．x2×x3＝x5 B．（−12xy2）3=−12xC．（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝0 D．（x﹣y）2＝x2﹣y22．（真题•齐河县期末）下列变形属于因式分解的是（）A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝（x+2）（x+3）3．（真题•仁怀市期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．a2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）4．（真题•绵阳期末）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝（）A．﹣27 B．﹣27或27 C．27或−13 5．（2022春•牡丹区月考）已知a＝344，b＝433，c＝522，则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a6．（2022•安徽模拟）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则ab可表示为（）A．c2−12 B．2c2﹣1 C．c27．（真题•仓山区校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2020）的值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．38．（2022春•电白区月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1化简的结果为（）A．21010 B．21010+1 C．22020 D．22020+19．（真题•龙泉市期末）把五张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个大长方形（长为m，宽为n）内（如图②），大长方形未被卡片覆盖的部分用阴影表示．当m不变，n变长时，阴影部分的面积差总保持不变，则a，b应满足的关系为（）A．a＝5b B．a＝3b C．a＝2b D．a=10．（2020•田家庵区校级自主招生）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2017，且a、b、c互不相等，对c2（a+b）﹣2016＝（）A．0 B．1 C．2016 D．2017评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（真题•原阳县期末）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，则△ABC的形状为三角形．12．（2022•德城区校级开学）请看图（1）杨辉三角，并观察图（2）中等式，根据图（2）各式的规律，则（a+b）6＝．13．（真题•昌江区校级期末）若a3+2a2+2a+1＝0，则a2021+a2022+a2023＝．14．（真题•虹口区校级月考）若，x+1x=3，则15．（真题•潮安区期末）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是，最大值是．评卷人得分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（8分）（真题•昌江区校级期末）分解因式：（1）3a（b2+9）2﹣108ab2；（2）2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；（3）x3﹣6x2+11x﹣6；（4）计算：(217．（4分）（真题•东坡区期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2x），其中x=−12，18．（4分）（真题•温江区校级期末）已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x3项和x项，求关于x的方程a+2ba19．（6分）（2022春•驻马店月考）（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝；…（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝．（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．20．（6分）（真题•西城区校级期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为；（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为．21．（9分）（真题•长沙县期末）方法探究：已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．22．（9分）（2021春•丹阳市期末）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（m＞n），边长为m的正方形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为S1，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为S2．（1）S1＝，S2＝；（用含m、n的代数式表示）（2）若S1+S2＝18，则图3中阴影部分的面积S3＝；（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求图4中阴影部分的面积S4．23．（9分）（真题•乐昌市期末）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式＝x²+2x﹣3＝（x²+2x+1）﹣4＝（x+1）²﹣2²＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例如．求代数式2x²+4x﹣1的最小值．原式＝2x²+4x﹣1＝2（x²+2x+1﹣1）﹣1＝2（x+1）²﹣3．可知当x＝﹣1时，2x²+4x﹣1有最小值，最小值是﹣3．（1）分解因式：a²﹣2a﹣3＝．（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式x²+y²﹣4x+2y+6的值总为正数．（3）当m，n为何值时，多项式m²﹣2mn+2n²﹣4m﹣4n+25有最小值，并求出这个最小值．专题14.7整式的乘法与因式分解（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022春•丹徒区月考）下列运算正确的是（）A．x2×x3＝x5 B．（−12xy2）3=−12xC．（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝0 D．（x﹣y）2＝x2﹣y2【思路点拨】根据同底数幂的乘法的运算法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法的运算法则、完全平方公式进行解答即可．【解题过程】解：A、x2×x3＝x5，原计算正确，故本选项符合题意；B、（−12xy2）3=−18xC、（x﹣y）6÷（x﹣y）6＝1，原计算错误，故本选项不符合题意；D、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意．故选：C．2．（真题•齐河县期末）下列变形属于因式分解的是（）A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6 B．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6 D．x2﹣5x+6＝（x+2）（x+3）【思路点拨】依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式判断即可．【解题过程】解：A、x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6，右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；B、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）是因式分解，故此选项符合题意；C、（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6，从左边到右边的变形属于整式的乘法，故此选项不符合题意；D、x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．3．（真题•仁怀市期末）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（）A．a2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【思路点拨】用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可．【解题过程】解：左图，涂色部分的面积为a2﹣b2，拼成右图的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．4．（真题•绵阳期末）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝（）A．﹣27 B．﹣27或27 C．27或−13 【思路点拨】根据完全平方公式计算，注意分情况讨论．【解题过程】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，∴2（b﹣1）＝±4，解得b1＝3或b2＝﹣1，∴ab＝﹣27或−1故选：D．5．（2022春•牡丹区月考）已知a＝344，b＝433，c＝522，则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a【思路点拨】根据幂的乘方法则，a＝344＝（34）11＝8111，b＝433＝（43）11＝6411，c＝522＝（52）11＝2511，再比较底数，即可得出答案．【解题过程】解：∵a＝344＝（34）11＝8111，b＝433＝（43）11＝6411，c＝522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，∴a＞b＞c，故选：B．6．（2022•安徽模拟）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则ab可表示为（）A．c2−12 B．2c2﹣1 C．c2【思路点拨】把第一个式子中的c移项到等号的右侧，等式两边同时平方，经过变形为2ab＝c2﹣a2﹣b2，再结合第二个式子即可．【解题过程】解：∵a+b+c＝0，∴﹣c＝a+b，两边同时平方得：c2＝a2+b2+2ab，移项得：2ab＝c2﹣（a2+b2），又∵a2+b2+c2＝1，∴a2+b2＝1﹣c2，∴2ab＝2c2﹣1，∴ab=c故选：C．7．（真题•仓山区校级期末）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，则代数式（2021﹣a）（a﹣2020）的值是（）A．2 B．1 C．﹣3 D．3【思路点拨】设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝7，先求出xy＝﹣3，再求（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣3即可．【解题过程】解：设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，∴x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝7，∴x2+y2＝7，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣7＝﹣6，解得：xy＝﹣3，∴（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣3．故选：C．8．（2022春•电白区月考）式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1化简的结果为（）A．21010 B．21010+1 C．22020 D．22020+1【思路点拨】利用添项法，构造平方差公式计算即可．【解题过程】解：设S＝（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）∴（2﹣1）S＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21010+1）＝（21010﹣1）（21010+1）＝22020﹣1，∴（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21010+1）+1＝S+1＝22020﹣1+1＝22020．故选：C．9．（真题•龙泉市期末）把五张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个大长方形（长为m，宽为n）内（如图②），大长方形未被卡片覆盖的部分用阴影表示．当m不变，n变长时，阴影部分的面积差总保持不变，则a，b应满足的关系为（）A．a＝5b B．a＝3b C．a＝2b D．a=【思路点拨】先用字母a、b、m、n表示出阴影部分的面积差，再由阴影部分的面积差总保持不变，得出字母n的系数为0，进而即可得出a，b应满足的关系．【解题过程】解：阴影部分的面积差为：（m﹣3b）（n﹣2b）﹣（m﹣a）（n﹣a）＝mn﹣2mb﹣3bn+6b2﹣（mn﹣ma﹣an+a2）＝mn﹣2mb﹣3bn+6b2﹣mn+ma+an﹣a2＝m（a﹣2b）+n（a﹣3b）+a2+6b2，∵当m不变，n变长时，阴影部分的面积差总保持不变，∴a﹣3b＝0，∴a＝3b，故选：B．10．（2020•田家庵区校级自主招生）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2017，且a、b、c互不相等，对c2（a+b）﹣2016＝（）A．0 B．1 C．2016 D．2017【思路点拨】先对已知条件进行变形和因式分解，得到ab+ac+bc＝0，然后再将2016看成是2017﹣1，即看成a2（b+c）﹣1代入即可求解．【解题过程】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c），∴a2b+a2c﹣ab2﹣cb2＝0，∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0，即：（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0，∵a，b，c互不相等，∴ab+ac+bc＝0，∴c2（a+b）﹣2016＝c2（a+b）﹣[a2（b+c）﹣1]＝ac2+bc2﹣a2b﹣a2c+1＝ac（c﹣a）+b（a+c）（c﹣a）+1＝（c﹣a）（ac+ab+bc）+1＝（c﹣a）×0+1＝0+1＝1．故选：B．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（真题•原阳县期末）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，则△ABC的形状为等边三角形．【思路点拨】运用完全平方公式将等式化简，可求a＝b＝c，则△ABC是等边三角形．【解题过程】解：∵2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0且a﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC的形状为等边三角形．故答案为：等边．12．（2022•德城区校级开学）请看图（1）杨辉三角，并观察图（2）中等式，根据图（2）各式的规律，则（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．【思路点拨】第五行系数规律依次是：1，5，10，10，5，1；第六行系数规律依次是：1，6，15，20，15，6，1，（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，由此解答即可．【解题过程】解：根据题意，第五行系数规律依次是：1，5，10，10，5，1；第六行系数规律依次是：1，6，15，20，15，6，1，∴（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．13．（真题•昌江区校级期末）若a3+2a2+2a+1＝0，则a2021+a2022+a2023＝﹣1或0．【思路点拨】根据已知等式得到（a+1）（a2+a+1）＝0，再整体代入所求式子，求值即可．【解题过程】解：∵a3+2a2+2a+1＝0，∴（a+1）（a2+a+1）＝0，∴a+1＝0或a2+a+1＝0，当a+1＝0时，a2021+a2022+a2023＝﹣1+1+（﹣1）＝﹣1；当a2+a+1＝0时，a2021+a2022+a2023＝a2021（1+a+a2）＝0．故答案为：﹣1或0．14．（真题•虹口区校级月考）若，x+1x=3，则x3【思路点拨】在x+1x=3的基础上，两次利完全平方公式，可得到x4+1x4=47，同样在【解题过程】解：∵x+1∴（x+1x）即x2+1∴（x2+1x2∴x4+1（x+1x）∴x3+1x3+3（x2•即x3+1∴x3故答案为：1215．（真题•潮安区期末）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是10，最大值是53．【思路点拨】由已知abc＝ab+50可化为ab（c﹣1）＝50，因为a、b、c都是正整数，a只能取5的倍数且最大值只能取50，即可得出b、c的值，计算即可得出答案．【解题过程】解：因为abc＝ab+50，所以abc﹣ab＝50，即ab（c﹣1）＝50，因为a、b、c都是正整数，所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝28，当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，所以则a+b+c的最小值是10，最大值是53．故答案为：10，53．评卷人得分三．解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（真题•昌江区校级期末）分解因式：（1）3a（b2+9）2﹣108ab2；（2）2b3﹣b2﹣6b+5a﹣10ab+3；（3）x3﹣6x2+11x﹣6；（4）计算：(2【思路点拨】（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可；（2）利用分组分解法进行因式分解可得；（3）首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案；（4）先利用公式法将x4【解题过程】解：（1）原式＝3a[（b2+9）﹣36b2]＝3a（b2+9+6b）（b2+9﹣6b）＝3a（b+3）2（b﹣3）2；（2）原式＝（2b3﹣b2）+（﹣6b+3）+（﹣10ab+5a）＝b2（2b﹣1）﹣3（2b﹣1）﹣5a（2b﹣1）＝（2b﹣1）（b2﹣3﹣5a）；（3）原式＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）；（4）∵x=x=(x=(x∴原式==13=85＝85．17．（真题•东坡区期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2x），其中x=−12，【思路点拨】先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式算括号里面的，再合并同类项，算除法，再代入求出答案即可．【解题过程】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（﹣2x）＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷（﹣2x）＝（﹣2x2﹣2xy）÷（﹣2x）＝x+y，当x=−12，y＝1时，原式=−118．（真题•温江区校级期末）已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x3项和x项，求关于x的方程a+2ba【思路点拨】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令三次项与一次项系数为0，即可求出a与b的值，然后代入方程解方程即可．【解题过程】根据题意列得：（ax2+bx+1）（2x2﹣3x+1）＝2ax4+（2b﹣3a）x3+（a+2﹣3b）x2+（b﹣3）x+1，∵不含x3的项，也不含x的项，∴2b﹣3a＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3，将a＝2，b＝3代入a+2ba得4x+1＝0，解得x=−119．（2022春•驻马店月考）（1）填空：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4；…（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝a2023﹣b2023．（2）猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．（3）利用（2）中猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．【思路点拨】（1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算前面简单的式子，观察规律可得结论；（2）利用（1）中的规律直接得出结论即可；（3）将式子乘以13【解题过程】解：（1）∵（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4，•••∴（a﹣b）（a2022+a2021b+…+ab2021+b2022）＝a2023﹣b2023，故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4，a2023﹣b2023；（2）由（1）的运算结论猜想：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．故答案为：an﹣bn；（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=13[2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣2=13[2﹣（﹣1）]（29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）=13[2﹣（﹣1）][29+28×（﹣1）+27×（﹣1）2…+23×（﹣1）6+22×（﹣1）7+2×（﹣1）8+（﹣1）=13[210﹣（﹣1）=1＝341+1＝342．20．（真题•西城区校级期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1）；（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3﹣10x2﹣x+2，直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为﹣6．【思路点拨】（1）根据特征系数对的定义即可解答；（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案．【解题过程】解：（1）关于x的二次多项式3x2+2x﹣1的特征系数对为（3，2，﹣1），故答案为：（3，2，﹣1）；（2）∵有序实数对（1，4，4）的特征多项式为：x2+4x+4，有序实数对（1，﹣4，4）的特征多项式为：x2﹣4x+4，∴（x2+4x+4）（x2﹣4x+4）＝x4﹣4x3+4x2+4x3﹣16x2+16x+4x2﹣16x+16＝x4﹣8x2+16；（3）根据题意得（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣10x2﹣x+2，令x＝﹣2，则（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣10×4+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣40+2+2，∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝﹣12，∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝﹣6，故答案为：﹣6．21．（真题•长沙县期末）方法探究：已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．问题解决：（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝±2代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．【思路点拨】（1）将x＝±2代入即可；（2）由题意得x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，再由系数关系求a、b即可；（3）多项式有因式（x﹣2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，再由系数关系求a、b即可．【解题过程】解：（1）当x＝±2时，x2﹣4＝0，故答案为：±2；（2）由题意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，∴1﹣a＝1，b＝﹣3，∴a＝0，b＝﹣3；（3）当x＝2时，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，∴多项式有因式（x﹣2），设另一个因式为（x2+ax+b），∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，∴a﹣2＝4，2b＝18，∴a＝6，b＝9，∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．22．（2021春•丹阳市期末）如图，有长为m，宽为n的长方形卡片A（m＞n），边长为m的正方形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为S1，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为S2．（1）S1＝mn﹣n²，S2＝m²﹣mn；（用含m、n的代数式表示）（2）若S1+S2＝18，则图3中阴影部分的面积S3＝18；（3）若m﹣n＝6，mn＝10，求图4中阴影部分的面积S4．【思路点拨】（1）如图1，阴影面积S1＝卡面A面积﹣卡片C面积；如图2，阴影面积S2＝卡片B面积﹣卡片A面积；（2）如图3，阴影面积S3＝卡片B面积﹣卡片C面积＝m²﹣n²，而由已知S1+S2＝18，可解出18＝S1+S2＝m²﹣n²，即可依此解答；（3）由于已知若m﹣n＝6，mn＝10，有代数式m﹣n，mn，所以在运算S4过程中出现：12（m²+n²+mn）=12[（m﹣n）²+3mn]，要转化成m﹣n【解题过程】解：卡片A面积＝mn