二次函数的图像与性质知识点及练习

1、a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上(0, 0)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随 x的增大而减小；x = 0时，y有最小值0 .问卜(0, 0)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随 x的增大而增大；x-0时，y有最大值0 .1. y=ax2的性质：2. y =ax2 +3. y =a (x-h)4. 性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上(0, k)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随 x的增大而减小；x = 0时，y有最小值k.问卜(0, k)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x&l

2、t;0时，y随 x的增大而增大；x - 0时，y有最大值k.第二节二次函数的图像与性质1,能够利用描点法做出函数y=ax2, y=a（x-h）2, y=a（x-h）2+k和y = ax2+bx + c图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质；2,理解二次函数 y = ax2+bx+c中a、b、c对函数图象的影响。一i、二次函数y =ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a（xh）2+k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、与y轴 的交点（。，c）、以及（0, c）关于对称

3、轴对称的点 （2h, c）、与x轴的交点（x1, 0）, （x2, 0）（若与x轴 没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y杷的交点.例1.在同一平面坐标系中分别画出二次函数y = x2 , y=-x2 , y=-2x2，一y= -2x2 , y=2 （x-1） 2的图像。、二次函数的基本形式k的性质：（k上加下减）（h左加右减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a的符号开口方向 顶点坐标 对称轴性质（增减性）向上(h, 0)直线x=hxh时，y随x的增大而增大；x<：h时，y随 x的增大而减小；x=h时，y有最小

4、值0.问卜(h, 0)直线x=hxh时，y随x的增大而减小；x<：h时，y随 x的增大而增大；x=h时，y有最大值0 .4. y= a (x h)2 + k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上(h, k)直线x=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随 x的增大而减小；x=h时，y有最小值k.问卜(h, k)直线x=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随 x的增大而增大；x=h时，y有最大值k .5. y= ax2+bx+c 的性质:a的符号开口方 向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上直线bx =-2ax-_b_时，y随x的增大而

5、增大； 2ax < -时，y随x的增大而减小； 2ax = B时，y有最小值-ac b- -2a4a问卜直线bx = 2ab .x >时，y随x的增大而减小；2ax<b-时，y随x的增大而增大；2ax =-时，y有最大值4ac b .2a4a:、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y=a（xhj+k,确定其顶点坐标（h, k ）； 保持抛物线y =ax2的形状不变，将其顶点平移到 （h, k ）处，具体平移方法如下：2 .平移规律在原有函数的基础上h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括成八个字“左加右减，上加下戈.方法二：y =ax2 +

6、bx+c沿y轴平移：向上（下）平移 m个单位，y = ax2+bx+c变成y=ax2 +bx+c+m (或 y = ax2 + bx 十 c _ m )22y =ax +bx+c沿x轴平移：向左(右)平移 m个单位， y=ax +bx + c变成y =a(x +m)2 +b(x +m) +c (或 y = a(x m)2 +b(x m) + c)四、二次函数y=a xh j +k 与 y =ax2 +bx +c的比较2 一.2从解析式上看，y =a(x -h j +k与y =ax +bx +c是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者, 22,., 2b 4ac -bb , 4ac -b

7、即 y =a x + +,其中 h = _-，k =.2a 4a2a 4a六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称22y = ax+ b叶美铲x轴对称后，得到的解析式是y=-ax - bx-c；22y =a (x -h ) +k关于x轴对称后，得到的解析式是y = -a (x h ) -k ；2.关于y轴对称22y = ax+ b叶关铲y轴对称后，得到的解析式是y=ax bx+c；2 2y =a (x -h ) +k关于y轴对称后，得到的解析式是y =a(x +h )+k ；3 .关于原点对称22y = a x , b x美铲原点对称后

8、，得到的解析式是y - -ax - bx -c ；22y = a( x- h +夫于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h) k ；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.例1、抛物线-2 .一y= 2x + 6x 1一 2 一,y=2x + 6x 1对称轴顶点坐标开口方向增减性最值例2、已知直线y=2x+3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且 A点坐标为(3, m).(1)求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3） x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数 y=ax2的顶点构成

9、的三角形的面积.例3、求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：(1)y=ax2 经过 1 1, 2)；(2)Q 1 Qy=ax与y= 2-x的开口大小相等，开口方向相反;(3)2 -1y=ax与直线y=x+3父于点(2, m).例4、试写出抛物线 y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。2 .（1）右移2个单位；（2）左移3个单位；（3）先左移1个单位，再右移 4个单位。3例5、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移 3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是 试求b、c的值。y=x2 3x+5,训练题：1.抛物线y=4x24的开口向时，y有最.值，y=2

10、.当m=时，y=（m1）xm2%3m是关于x的二次函数.3.抛物线 y=3x2 上两点 A (x, 27), B (2, y),则 x=4.而当m=时，抛物线y= （m+1） x m而+ 9开口向下，对称轴是 ;在对称轴右侧，y随x的增大而 .在对称轴左侧,y随x的增大5 .抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2, b）,则k=6 .已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，区经过点（一1, 2）,则抛物线的表达式为7.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（a. y=2x28. y=- ；x2C.-2y=- 2xD.2y= x8.抛物线，y=4x2, y= 2x2的图象，

11、开口最大的是（A. y=4x22B. y=4xC.-2 y=- 2xD.无法确定9.对于抛物线y=1x2和y=- 1x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ 33A.两条抛物线关于x轴对称B.两条抛物线关于原点对称C.两条抛物线关于 y轴对称D.两条抛物线的交点为原点10 .二次函数y=ax2与一次函数y=ax+ a在同一坐标系中的图象大致为（y=x在第一象限内的交点相同，则11 .已知函数y=ax2的图象与直线y=-x + 4在第一象限内的交点和它与直线 a的值为（A. 4B. 2C. !D. I2412.已知二次函数 y= - x2 x+6,当x=时，y最小=;当x 时，y随x的增大而

12、减小.42 13 .抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 14 .若二次函数 y=3x2+mx3的对称轴是直线 x= 1,则m =。15 .当n =, m =时，函数y=(m+n)xn+(m n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线 的开口 .16,已知二次函数 y=x2 2ax+2a+3,当a=时，该函数 y的最小值为 0.亿二次函数y=3x2-6x+5,当x>1时，y随x的增大而 ;当x<1时，y随x的增大而 ;当x=1时，函数有最 值是。18 .如果将抛物线y=2x21的图象向右平移 3个单位，所得到的抛物线的关系式为 o19 .将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移 1个单位，得到 y=2x2-4x-1则a=, b=,c=.2。将抛物线y = ax2向右平移2个单位，再向上平移 3个单位，移动后的抛物线经过点(3, 1),那么移动后的抛物线的关系式为 .221、右图是一次函数 y1=ax+bx+c和一次函数 y2=mx+n的图像，？观祭图像与出 y2>y1时，x的取值也围 .22、函数y=a. (aw 0)的图像与直线y=-2x-3交于点(1,b )(1)求a和b的值(2)求抛物