高考数学探索性问题

1、第十七专题 探索性问题考情动态分析：常规的解答题或证明题，其条件或结论都明确给出，解题过程实际上就是由因导果或由果索因，是一个展示思维走向的过程.由给定的题设条件探求相应的结论，或由给定的题断追溯应具备的条件，或变更题设、题断的某个部分使命题也相应变化等等.这一类问题称之为开放探索型命题.探索性（开放性）问题是以考查学生的创新意识、创新精神为目标的一种题型，这类问题常以新颖的形式出现，解题入口宽，而且往往有比较隐蔽的条件，解这类问题必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索等多种思维形式去寻求解题途径.探索性问题从探索方法上看有归纳探索、类比探索、结构探索、存在性探索、综合性探索等.在高考

2、中探索性问题多为综合题，在2005年高考试题中，湖北等省市命题中，都出现了探索性问题，该类问题将在2006年的命题中成为新的增长点.第一课时 条件探索和结论探索型一、考点核心整合探索性问题往往需要由给定的题设条件去探索相应的结论（结论探索），或由题断结果反溯相应的条件（条件探索），即在解决问题之前先要求学生透过题目所给信息，去发现规律的东西.解探索性问题应注意三个基本问题：认真审题，确定目标；要注意挖掘隐含条件，注意准确性，即做到不漏条件、判断准确、运算合理；开阔思路，因题定法.CBAC1B1A1解决此类问题，涉及知识面广，可供使用的方法多，并且常常用到数学思想，具有较强的选拔功能，自然也成为

3、高考的热点之一.二、典例精讲： 例1 在直三棱柱中，当底面满足条件_时，有.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 例2 设函数，给出以下四个论断：的图象关于直线对称；的图象关于点对称；的周期为；在上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断为结论，写出你认为正确的两个命题，并对其中一个命题加以证明.MBAOP 例3 过点的直线交抛物线于两点，为原点，以为邻边作平行四边形. （）求顶点的轨迹方程； （）在所求轨迹上是否存在点，使四边形为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 例4 集合A是由适合以下性质的函数构成的：对于任意的，且，都有. （）试判断及是否在

4、集合A中？并说明理由； （）设，且定义域是，值域是，写出一个满足以上条件的的解析式；并证明你写出的函数.三、提高训练：（一）选择题： 1甲：“一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面”，乙：“两个二面角相等或互补”，则甲是乙的（ ） A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件 2斜四棱柱的四个侧面中，矩形的个数最多是（ ） A、1B、2C、3D、4 3设函数存在反函数，把的图象在直角坐标平面上绕原点按顺时针方向旋转后得到图象，对应的函数是（ ） A、B、C、D、 4设为非零向量，且，则以下命题：；中与等价的个数有（ ） A、1个B、2个C、3个D、4个 5过圆

5、内点有条弦，这条弦的长度成等差数列，如果过点的圆的最短的弦长为，最长的弦长为，且公差，那么的取值集合为（ ） A、B、C、D、（二）填空题： 6一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水（如右图），任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：三角形；菱形；矩形；正方形；正六边形.其中正确的是_.（把你认为正确的都填上） 7老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于，都有；乙：在上函数递减；丙：在上函数递增；丁：不是函数的最小值.如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数_.（三）解答题： 8已知，其中均为锐角，问满足什么条件时，有. 9已知点

6、的序列，其中，是线段的中点，是线段的中点，是线段的中点，. （）写出与之间的关系式； （）设，计算、，由此推测数列的通项公式，并加以证明； （）求. 10有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人应用数学知识作了如下设计：如图（1），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（2）.（1）（2） （）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积； （）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积.第二课时 存在性探索型一、考点核心整合在

7、存在性探索型问题中，常以“存在”“不存在”“是否存在”等形式出现.“存在”问题无论用什么方法，只要找到一个，就说明存在.“不存在”就是无论用什么方法都找不到，或假设存在，导出矛盾（即用反证法证明）.“是否存在”结果有两种可能存在或不存在，若存在，需找出来；若不存在，说明理由.此类问题的解决方法是：假设存在，若求出，即解决；若导出矛盾，说明不存在.二、典例精讲： 例1 观察.请写出一个与以上两式规律相同的一个等式：_. 例2 已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径的圆在轴的上方与该抛物线交于点. （）求证：点在以为焦点且过的椭圆上； （）设是的中点，是否存在这样的正实数，使得是和的等差中项？若存在

8、，求出的值；如不存在，请说明理由. 例3 已知数列的前项的和，数列中的，且.是否存在正实数，使得对于为一常数？若存在，求出和；若不存在，请说明理由.深化拓展（2004年湖北高考题）：直线与双曲线的右支交于不同的两点. （）求实数的取值范围； （）是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过双曲线的右焦点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例4 是否存在这样的实数，使得函数的图象恰好和直线相切？若存在，求出满足条件的的值；若不存在，请说明理由.三、提高训练：（一）选择题： 1设为全集，是的三个非空子集，且，则下面论断正确的是（ ） A、B、 C、D、 2已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其

9、斜率的取值范围是（ ） A、B、C、D、FEDCBA 3如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形，则该多面体的体积为（ ） A、B、C、D、 4在中，已知，给出以下四个论断：；.其中正确的是（ ） A、B、C、D、 5集合是的一个子集，当时，若有，且，则称为的一个“孤立元素”，那么中无“孤立元素”的四元子集的个数是（ ） A、4B、5C、6D、7（二）填空题： 6边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为_；推广到空间，棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和为_. 7取棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：有12个顶点；有24条棱；有12个面；表面积为；体积为.以上结论正确的是_.（要求填上所有正确结论的序号）（三）解答题： 8已知是的三内角，. （）若任意交换两个角的位置，的值是否变化？试证明你的结论； （）求的最小值. 9已知定点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，且成等比数列. （）求抛物线的方程； （）在（）中的抛