一、微分方程组

1、一、微分方程组一、微分方程组微分方程组微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组称为微分方程组注意：注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数个具有同一自变量的函数常系数线性微分方程组常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组性微分方程组第十三节第十三节 常系数线性微分方程组解法举例常系数线性微分方程组解法举例步骤步骤: : 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导从方程组中消去一些未知函数

2、及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程微分方程二、常系数线性微分方程组的解法二、常系数线性微分方程组的解法解此高阶微分方程解此高阶微分方程, ,求出满足该方程的未知求出满足该方程的未知函数函数. .把已求得的函数带入原方程组把已求得的函数带入原方程组, ,一般说来，一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数不必经过积分就可求出其余的未知函数例例1 1解微分方程组解微分方程组 )2(.2)1(,23zydxdzzydxdy 由由(2)式得式得)3(21 zdxdzy设法消去未知函数，设法消去未知函数，y解解两边求导得，两边求导得，

3、)4(,2122 dxdzdxzddxdy把把(3), (4)代入代入(1)式并化简式并化简, 得得0222 zdxdzdxzd解之得通解解之得通解)5(,)(21xexCCz )6(.)22(21221xexCCCy 再把再把(5)代入代入(3)式式, 得得原方程组的通解为原方程组的通解为,)()22(2121221 xxexCCzexCCCy用用D表示对自变量表示对自变量x求导的运算求导的运算,dxd)(1)1(1)(xfyayayaynnnn 例如，例如，D用记号用记号可表示为可表示为)()(111xfyaDaDaDnnnn 注意注意: :nnnnaDaDaD 111是是D的多项式的多项

4、式可进行相加和相乘的运算可进行相加和相乘的运算例例2 2 解微分方程组解微分方程组 . 02222ydtdxdtydexdtdydtxdt用用记记号号D表表示示dtd, ,则则方方程程组组可可记记作作解解类似解代数方程组消去一个未知数类似解代数方程组消去一个未知数,消去消去x 0)1()1(22yDDxeDyxDt()():)2()1(D ,3teyDx ():)3()2(D .)1(24tDeyDD ()teyDD )1(24()即即非齐线性方程非齐线性方程其特征方程为其特征方程为0124 rr解得特征根为解得特征根为,215,2514,32, 1 irr易求一个特解易求一个特解,tey 于是通解为于是通解为.sincos4321tttetCtCeCeCy ()将将()代入代入()得得.2sincos43332313tttetCtCeCeCx 方程组通解为方程组通解为 ttttttetCtCeCeCyetCtCeCeCxsincos2sincos432143332313注意：注意：