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文档简介

1、引例:正方体ABCD-ABCD (1)找平面AC的斜线BD在平面AC上的射影; (2)BD与AC的位置关系如何? ABCDABCDOD射影射影斜线斜线平面平面的垂的垂线线去掉多余线段后去掉多余线段后的模型的模型平面内平面内的直线的直线线段扩展后线段扩展后的模型的模型OAPa三垂线定理：在平面内的一条直线，如果三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。么它也和这条斜线垂直。平面内平面内斜线斜线直线直线射影射影 证明证明: PO ，a PO a，又又 a 平面平面POA，POOA=OAP 已知已知:PO,PA分

2、别是平面分别是平面的垂线的垂线,斜线斜线,OA是是PA 在在内的射影内的射影,a ,且且a OA.求证求证: a PA.若将若将aOA与与aAP交交换会怎样换会怎样?a O A, a PA.OA 平面平面POA，POAP=P这就是三垂这就是三垂线定理的逆线定理的逆定理定理OAPa三垂线定理的三垂线定理的逆逆定理：在平面内的一条直定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 a三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：三垂线定理及逆定理涉及的几何元素：(1)(1)一个平面一个平面

3、; ;a (2)(2)四条直线四条直线: : 平面的垂线平面的垂线; ; 平面的斜线平面的斜线; ; 斜线在平面内的射影斜线在平面内的射影; ; 平面内的一条直线平面内的一条直线. . (3) (3)三个垂直三个垂直: : 直线与平面垂直直线与平面垂直; ; 平面内的一条直线与斜线在平面内的平面内的一条直线与斜线在平面内的 射影垂直射影垂直; ; 平面内的一条直线与斜线垂直平面内的一条直线与斜线垂直. .直线直线a 在一定要在在一定要在平面内，如果平面内，如果 a 不在平面内，定理不在平面内，定理就不一定成立。就不一定成立。PAOa注意注意：如果将定理中如果将定理中“在平面内在平面内”的条件的

4、条件 去掉，结论仍然成立吗？去掉，结论仍然成立吗？b解题回顾解题回顾三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂么，它也和这条斜线的射影垂直。直。三垂线定理三垂线定理： 在平面在平面内的一条直线，如果和这个平内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。么，它就和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直定定理理逆逆定定理理例例4 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：已知：BAC在平面在平面 内，点内，点P

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