第讲椭圆双曲线抛物线教师用

1、第一讲直线与圆知识结构框架52A.B.C.D.63632. 如果直线ax 2y0与直线x y -2 = 0互相垂直，那么a的值等于（12）A . 1B. - 丄C. 一2D. - 23 3题型二：直线与圆客观题1. 直线3x -4y -9 =0与圆x2 y2 = 4的位置关系是（）A.相交且过圆心B相切 C相离D.相交但不过圆心2. 动点在圆x2 y2 =1上移动时，它与定点B（3,0）连线的中点的轨迹方程是（)A. (x 3)2y2 =4B . (x-3)2y2 =1C. (2x_3)2 4y2 =1D . (x 3)2 y2 J2 23. 参数方程=3肿泸表示的图形是()y = 3 + 3

2、si n#A圆心为(-3,3)，半径为9的圆B圆心为(-3,3)，半径为3的圆C.圆心为（3,-3），半径为9的圆D圆心为（3,-3），半径为3的圆4. 设 m , n R，若直线(m 1)x+(n 1)y - 2=0 与圆(x - 1)2+(y -1)2=1 相切，则 m+n的取值范围是（）(A) 1 一、3,1 + ._3(B)(：，1、3J1+.3+：)C 2 一2、2,2+2.2 D (一：,2一2、22+2.2,+：)【答案】D【解析】T直线(m + l)x+(«十- 2=0与圆(1)+(y-1)1相切,A®心(11)到直线 的距离为十嵌+ 1)_岂=：所以郴二战

3、+科+ 1兰(竺2竺尸，设Q聊+力J(粘+1+3 + 1)了2则-t3去+1,解得上e (-伦2 -2J5U2+2強”乜).4【考点定竝】本试题主要着查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式.重要不等式, 元二谀不等式的解法，并惜助于直线与圆相切的几何性质求解閉能力.5. 已知圆C : x2 y2-4x =0 ,丨过点P(3,0)的直线，贝U()(A) l与C相交(B) l与C相切(C) l与C相离(D)以上三个选项均有可能6. 【2012高考浙江文17】定义：曲线C上的点到直线I的距离的最小值称为曲线C 到直线I的距离，已知曲线Ci： y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2： x2

4、+(y+4) 2=2 到直线l:y=x的距离，则实数a=.【解析】C2: x 2 + (y + 4)2 = 2,圆心(0， 4)，圆心到直线I : y = x的距离为：d = 0二匕4)=2 2，故曲线O到直线I : y= x的距离为d"=d_r=：d_ 2= 2 .V2另一方面：曲线 C： y = x2+ a，令 y，=2x = o，得：x=*，曲线 Ci： y=x2 + a到直线1 : y二x的距离的点为(1，厂)，+a47. 【2102高考北京文9】直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得弦长为【答案】2 28. 【2012高考江西文14】过直线x+y- " '

5、;=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线, 若两条切线的夹角是60 °，则点P的坐标是。【答案】( .2, . 2)【解析】如图：由题意可知.APB =60° ,由切线性质可知 OPB =30° ,在直角三角形OBP中,OP =2OB =2,又点P在直线x y -2,2=0上，所以不妨设点P(x,2、2-x)，则O x2 (2 2 - x)2 = 2 ,即 x2 (2.2 - x)2 = 4，整理得 X2 - 2.2x 2 = 0，即 (x-、2)2 = 0,所以x二、2，即点P的坐标为( . 2, .2)。9. 【2012高考江苏12】在平面直角坐标系xOy中，

6、圆C的方程为x2 y8x 10，若直线y二kx -2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有 公共点，则k的最大值是 .【解析】根据题意x2+y2-8x+15=0将此化成标准形式为：(x-4$ + y2 =1，得到,该圆的圆心为M 4,0半径为1，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为 圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M 4,0至U直线y二kx-2的距离d兰1+1，即可，所以有d4k_2l兰2，化简得k(3k-4)兰0解得0兰，所以3k的最大值是.310. (2012年高考浙江卷理科16)定义：曲线C上的点到直线I的距离的最小值称为曲线C到直线I的距离.已知曲

7、线 G： y = x 2 + a到直线I : y = x的距离等于q： x 2 + (y + 4)2 = 2到直线I : y= x的距离，则实数a=9【答案】-4解忻】J ”； +少+ 4-j & =二,圆心D 4j,圆心到直鮭/： y=x的距离为d - ! = 2-/2 > £故曲线Q到直线h y=x的距离为护*7“-炭=忑.另一方面；曲线5 y=x-+a,令得；x -i,曲线S 尸"+ 口到直线h卩2(I- Ct)=X 的距离的点为(1. -+ri > d'=2=>/=?.4 724第二讲椭圆双曲线抛物线自主学习导引真题感悟2 2x y

8、1. (2012 江西)椭圆g+計1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是Fi、F2，若|AF| , |FF , |FiB|成等比数列，贝吐匕椭圆的离心率为151-A4 B.牙 C. 2D. 5 2解析 利用等比中项性质确定a , c的关系.由题意知|AF| = a c , IF1F2I = 2c , |F1B| = a+ c,且三者成等比数列,则| F1F212= |AF| |RB| ,即 4c2= a2 c2 , a2= 5c2 ,所以 e2=1,所以 e5.5 522x y2. (2012 山东)已知双曲线C:孑一詁=1(a>0 , b>0)的

9、离心率为2.若抛物线C2： x2 = 2py(p>0)的焦点到双曲线C的渐近线的距离为2,则抛物线C2的 方程为A. X2二 833y B. x2 二号y C. X2二 8y D . x2二 16y解析 根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解.2 2x y双曲线G：孑一詁=1(a>0 , b>0)的离心率为2 ,ca2+ b2a=二 2 ,双曲线的渐近线方程为3x ± y二0 ,抛物线 G: x2 = 2py(p > 0)的焦点i0 , p到双曲线的渐近线的距离为3X 0土 22, p= 8.二所求的抛物线方程为x2= I6y.考题分析椭圆、双曲线、抛物线

10、的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容近几年命 题更加注意知识的融合创新，涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识，同 时注意思想方法的运用.网络构建高频考点突破 考点一：圆锥曲线的定义及应用2 2【例1】（2012 潍坊二模）已知双曲线C: X- y二1的左、右焦点分别为Fl、F2, p为c的右支上一点，且|P£|二I F1F2I，则pF PF2等于A. 24B. 48 C . 50D. 56审题导引据已知条件和双曲线的定义可以求出| PF|与| PE|的长，在PF1F2中利用余弦定理可求两向量夹角的余弦值，即得 pF Pft.| PF| = 10.在厶PFF2中，由余弦定理可得

11、,/_ |PFi|2+ |PB|2 吓冋2_ 102 + 62 62_ 5C0S Z 1 2_2|PF| |P同 _ 2X 10X6 _6.5A pFi P?2 = | PF| P?2|cos / FiPB = 10X 6X召=50.【规律总结】焦点三角形问题的求解技巧所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或 双曲线上的三角形.(2) 解决此类问题要注意应用三个方面的知识： 椭圆或双曲线的定义； 勾股定理或余弦定理； 基本不等式与三角形的面积公式.【变式训练】2 21. 已知双曲线m专=1,直线I过其左焦点Fl,交双曲线左支于A B两点,且|AB二4, F2为双曲线的

12、右焦点， ABF的周长为20,则m的值为A. 8B . 9C. 16D. 20解析 由双曲线的定义可知，| AF2| |Af|=厶/m| BB| I BF| = 2你所以(| AB| + | BFJ) (| AF| + | BF|) = 4血| AE| + | BE| | AB = 4 _| AE| + | BE| = 4+ 4 , m又|AB| + |BF + |AB = 20,即 4 +4= 20.所以m= 9.2 2x y2. (2012 四川)椭圆4 + 3 = 1的左焦点为F,直线x = m与椭圆相交于点A、B, 当厶FAB的周长最大时， FAB的面积是.解析 根据椭圆的定义结合其几

13、何性质求解.直线x = m过右焦点(1,0)时， FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为b2 2X 314a= 8,此时，| AB = 2X = -= 3,A Safab=：x2X 3= 3.a 22考点二：圆锥曲线的性质222 2【例2】(2012 咸阳二模)已知椭圆C :土 + - = 1与双曲线C2:-= IT+ 2 nm n1共焦点，则椭圆C的离心率e的取值范围为A* 吉，1丿B. J,专丿 C . (0,1) D. 0, 2丿审题导引根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置，进而求出m n的范围，可求离心率e的取值范围.规范解答由双曲线的方程知，椭圆与双曲线的焦点在 x轴,mH 2 n

14、 = mH nmH 2> 00n> 0mH 2> n"n= 1 e 02n1设椭圆Ci的离心率为e,.，. e = 1 = 1 .mH 2mH 2 m>0,. e2>2，e>¥，即离心率的范围是'2, 1【规律总结】离心率的求法双曲线与椭圆的离心率就是a的值，有些试题中可以直接求出a c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出 a、c的值，由于离心率是个比值，因此只c b或，利用公式ea a要能够找到一个关于a、c或a、b的方程，通过这个方程解出二a求出，对双曲线来说，e =、，对椭圆来说，e =b21 一 2.a【变式训练】2

15、2x y3. (2012 日照模拟)已知双曲线g 含=1(a>0, b>0)的离心率为2,个焦点与抛物线y2 = 16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为3A. y =± 2%解析抛物线B. y=± C . y =±D. y =± 3x232y= 16x 的焦点为(4,0)，二 c= 4,e =舌=舌=2,. a = 2, b= ：；c2一a = 16 4 = 2 3,故渐近线方程为y =±.3x考点三：求圆锥曲线的方程【例3】(1)(2012 湖南)已知双曲线C： 在C的渐近线上，则C的方程为(2 2x yB. = 15202 2

16、x yA = 1205)2xC.2x_ a2y=80 20=的焦距为10,点P(2,1)2 2x yD.一 = 120 80 设斜率为2的直线I过抛物线y2= ax(a0)的焦点F,且和y轴交于点A, 若厶OAFO为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为2 2 2 2A. y =± 4xB. y =± 8x C . y = 4xD. y = 8x审题导引(1)利用焦距为10与P(2,1)在双曲线的渐近线上可列出关于 a, b 的方程组，解出a与b,得双曲线的方程.(2)求出各点的坐标，就可以根据三角形的面积列出关于a的方程，解方程即得.2 2规范解答 扌一蒼=1的焦距为10,

17、b又双曲线渐近线方程为y =±?，且P(2,1)在渐近线上,a2ba=1,即a= 2b.由解得a=2 5, b= 5,故应选A.2la、抛物线y = ax(a0)的焦点F坐标为-,0 ,则直线I的方程为y= 2 x -,它与y轴的交点为Ap, I ,1 a a所以 OAF的面积为2 - 2 = 4,解得a=± 8.I所以抛物线方程为y2 =± 8x.故选B.【规律总结】求圆锥曲线方程的方法(1) 定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及 其上一点的坐标时常用此方法.(2) 待定系数法：顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2= 2ax

18、或x2= 2ay(a0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时 a不具有p的几 何意义.中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，2 2x y椭圆方程可设为+ n = 1(m>0, n>0),2 2双曲线方程可设为魚一n=1(mn> 0).这样可以避免繁琐的计算.利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程.(3) 代入法(相关点法)(4) 设参用参消参法。【变式训练】5.若点P(x, y)到点F(0,2)的距离比它到直线y + 4 = 0的距离小2,则点P(x, y)的轨迹方程为A. y2 = 8xB. y2= 8x C . x2= 8y D. x2= 8y解析 点P(X

19、,)到点F(0,2)的距离比它到直线y + 4 = 0的距离小2,说明点P(X, y)到点F(0,2)和到直线y + 2 = 0的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x2= 2py，其中p=4，故所求的轨迹方程为x2= 8y.名师押题咼考2 2【押题1】设Fi、F2分别是双曲线合一b2= 1(a>0, b>0)的左、右焦点，若4双曲线右支上存在一点 P满足| PFJ = | F1F2I，且cos Z PFF2 =-，则双曲线的渐5近线方程为A. 3x± 4y B . 3x± |y = 0 C . 4x ± 3y= 0 D . lx 

20、7; 4y= 0 解析 在厶PFF2中，由余弦定理得cos Z PFF = |PFi|2+ |FiF2|2-|PE|2cos / PEF2-2|PFi| | F1F2I| PF|2| PF| 4164c | PF| 4c又| PF| -1 PE| = 2a，即罟c - 2c= 2a，a = |c.代入 c2= a2 + b2 得£ =4±3'- |.所以 | PF| |c.押题依据对于圆锥曲线，定义是非常重要的，高考中常以选择题或填空题 的形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质.本题是典型的焦点三角形问题，突出了定义，同时考查了余弦定理，方法较灵活，故

21、押此题.【押题2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点Fi, F2在x轴 上，离心率为过Fi的直线I交C于A、B两点，且 ABF的周长为16,那么C的方程为.解析可设椭圆方程为移+卷一i(a> b> 0)，：e-，二a=孑根据 ABF的周长为16得4a 16，2 2因此a4，b 2 ,2，a椭圆方程为 勒+ y 1.16 8押题依据椭圆的方程、几何性质与定义是解析几何的重要内容， 是高考的热 点问题，通常的考查方式是把椭圆的几何性质、 椭圆的定义相互综合.本题难度 较小，属基础题目，故押此题.第三讲直线与圆锥曲线自主学习导引真题感悟X AH | = V1 + 诫 |

22、© 工2 I =J1 +吉I yi 旳I （艮工0）-最值与范围问题 定点与定值问题高频考点突破考点一：圆锥曲线中的弦长问题21. (2012 陕西)已知椭圆G：y2二1,椭圆C2以C的长轴为短轴，且与Ci有相同的离心率.(1) 求椭圆C2的方程； 设O为坐标原点，点A、B分别在椭圆C和C2上, 註2OA求直线AB 的方程.解析(1)由已知可设椭圆C2的方程为2+ = 1(a>2)，其离心率为二3 故4=¥，解得a = 4.a 42a 22 2故椭圆C2的方程为16+ 4 = 1. 解法一 A, B两点的坐标分别记为(XA，y，(XB，yB)，由也2OAi(1)知，O

23、, A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线 AB的方程为y= kx.x242.将y = kx代入4 + y = 1中，得(1 + 4k )x = 4，所以Xa= 帀命2.y2 x216将 y = kx 代入 16+ 4 = 1 中，得(4 + k2)x2= 16，所以 xB= 4+k16 16又由 SB= 20A 得 xB= 4xA，即 4+k = 1 + 4k2，解得k =± 1.故直线AB的方程为y = x或y =- x.网络构建和交位置关系相切相离A< 0直线与圆锥曲线弦长问题2 2x y【例1】(2012 荆州模拟)已知椭圆孑+1(a>b>0)右顶

24、点与右焦点的距离为3- 1,短轴长为2 2.(1) 求椭圆的方程； 过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB勺面积为J", 求直线AB的方程.审题导引(1)利用相关的几何性质求得a、b、c,可求椭圆方程；(2) 设出直线的方程，利用弦长公式得到三角形 OAB面积的表达式并解出直线的 斜率，可得直线方程.a c = 3 1| ki,规范解答由题意，b= 2,_a所以三角形的面积S= q AB d = 2寸1+ k2= b2 + c2,2 24飞,解得a=3, c= 1.即椭圆方程为+号=1.当直线AB与x轴垂直时，| AB =此时 二意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时

25、， 设直线AB的方程为：y = k(x+ 1),代入消去 y 得：(2 + 3k2)x2 + 6k2x + (3k2 6) = 0. 设 A(x1, y1) , B(X2, y2),X1+ X2 =6k22+ 3k2X1X2 =3k2 62 + 3k2,所以| AB4 3 k2 +12+ 3k2原点到直线的AB距离d=|k|1 + k2，4 "3 k2 + 12 + 3k2由S=誓?4k2=2? k =±2,所以直线 I ab： . 2x y+”". 2= 0 或 I ab： J2x+ y + . 2= 0.【规律总结】弦长问题的解决方法(1) 弦长问题涉及直线与

26、二次曲线的两个交点坐标，此时一般不是求出两个 点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后的方程根 的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这是解决弦长问题以及其他直线与 二次曲线问题的最基本方法. 注意使用弦长公式 | AB| = 1 + k2| xi-X2I =1 + ；2| yi-y2|( k工0).【变式训练】口2 2x y1 设椭圆c：孑+弃=1(a>b>0)的右焦点为F,过F的直线I与椭圆C相交于A、B两点，直线I的倾斜角为60°,辰2FB(1) 求椭圆C的离心率；15(2) 如果|AB| =-4，求椭圆C的方程.解析 设 A(X1，y

27、87;，B(X2，y2)，由题意知 屮<0，y2>0.(1)设直线I的方程为y= 3(x c)，f y=羽 xc其中c = a2 b2.联立x y21孑+ b2 =1得(3 a2+ b2) y2+ 2 3b2cy 3b4 = 0，3b c + 2a 3b c 2a解得 y 1 =3?+?，y2 =3a2+ b2因为 AF= 2Ffe,所以一 y1= 2y2, 即 F+2a = 2亠只 2-23a + b2 . 23a + bc 2 a.得离心率(2)因为 |AB =124 3ab2151 + 3|y2刈，所以 3, 3a2+ b2=N得b二于a.所以汗乎，得a= 3， b= 5.2

28、2椭圆c的方程为9+*=1.考点二：圆锥曲线中的最值与范围问题2 2x y【例2】(2012 大连模拟)已知椭圆孑+二1(a>b>0)经过点A(2,1)，离 心率为¥，过点B(3,0)的直线I与椭圆交于不同的两点 M N(1)求椭圆的方程；求bM-勺取值范围.审题导引(1)根据所给条件利用椭圆的几何性质求出a2、b2；(2) 设出直线的斜率与椭圆方程联立，根据韦达定理利用直线的斜率表示BM- BN,并求其范围.规范解答由离心率为 乎，可设c 2t , a 2t,2 2lx y则b 2t.因为孑+含一1(a>b>0)经过点A(2,1),412 3所以4p+ 2p

29、 1，解得t 2,2 222x y所以a2=6, b2= 3,椭圆方程为6 +刍二1. 由题意可知直线I的斜率存在，设直线I的方程为y = k(x 3),直线I与椭圆的交点坐标为Mxi, yi), NX2, y2),消元整理得,j-y = k x 3 由 X2 y26 + 3 二 1(1 + 2k2) x2 12k2x + 18k2 6 0,XiX2 = (12k2)2 4(1 + 2k2)(18 k2 6) >0, 得 0< k2v 1, 12k218k2 6X1 + X22, X1X22 ,1 + 2k '1 + 2k 'bM- bN= (Xi 3, yi) (

30、X2 3, y2)= (Xi 3)(X2 3) + yiy23(1 + k) X1X2 3( X1 + X2) + 9 = (1 + k ) X 1 + 2r23f=3严11+ 2k2 .因为 Ow k2v 1,所以 2v 2j + 1+ 2k23,所以BM- BN的取值范围是(2,3.【规律总结】最值或范围问题的解决方法解析几何中的最值问题涉及的知识面较广， 解法灵活多样，但最常用的方法 有以下几种： 利用函数，尤其是二次函数求最值;(2) 利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；(3) 利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4) 利用判别式求最值；(5) 利用数形结合，尤其是切线的

31、性质求最值.【变式训练】2 2x y2已知椭圆孑+ b2= l(a>b>0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.(1)若，求椭圆的方程； 设直线y二kx与椭圆相交于A、B两点，M N分别为线段AF2, BE的中 点.若坐标原点0在以MN为直径的圆上，且-2v，求k的取值范围.c = 3解析由题意得c仝 ，得2 3,la= 2所以a = 12，结合a = b + c，解得b = 3.2 2x y所以，椭圆的方程为12+ 3 = 1.2 2x y得(b2+ a2k2) x2 a2b2 = 0.2+ 2= 1由a by = kx设 AX1，y1)，B(X2, y2).所以 x1 + X

32、2= 0,X1X2 =a2b2b2 + a2k2，依题意知,OMON易知，四边形OMIN为矩形，所以AFa BE,因为SA= (X1 3, y» , F2B= (X2 3, y2),所以RB= (X1 3)( X2 3) + 林 =(1 + k) X1X2+ 9= 0.2 2 2即誓+ a2 9+ 9= 0,将其整理为k2 =a4 18a2 土 81a4+ 18a281 1 a4 18a2.因为¥v ew#，所以 2 3< av3 2, 12< a v 18.,.2 1所以k2>，即k8考点三：圆锥曲线中的定点、定值与探索性问题【例3】在平面直角坐标系xO

33、y中，过定点qp, 0)作直线m与抛物线y2=2px(p>0)相交于A、B两点.(1) 设N p, 0)，求NA- NB勺最小值；(2) 是否存在垂直于x轴的直线I，使得I被以AC为直径的圆截得的弦长恒 为定值？若存在，求出I的方程；若不存在，请说明理由.审题导引(1)求出nA-曲勺表达式，并求最小值；(2)是探索性问题，假设存在，以此为条件，求出弦长的表达式.若能为定值，则存在；反之，则不存在.y+y2= 2pm, y - y2= 2p2.规范解答(1)依题意，可设A(X1，y”，B(X2，y2)，直线AB的方程为x my+ p.my+ p，222? y 2pmy- 2p = 0.二

34、Jy = 2px NANB=(X1 + p, y” (X2+ p, y2)=(X1+ p)(血 + p) + yy = (my+ 2p)(my + 2p) + yy2= (m+ 1) y2+ 2pm(y1 + y?) + 4p2= 2p2m+ 2p2.当m= 0时，NA- NB勺最小值为2p2.(2)假设满足条件的直线I存在，其方程为x= a，AC的中点为O' , I与以 AC为直径的圆相交于 P, Q两点，PQ的中点为H,贝U O' H± PQ O'的坐标为 'X1 + p y！ 丁，刃=2|ac=2、x1p| O P|2 Q H 2-1 2! a

35、X1 p)=2+y2= 2 図2+ p2, I O' P|I PH2=12 2 1=4(X1+p) 4(2|PQ2= (2| PH) 2二 41 1令a 2P= 0,得a= ?p，此时| PQ = p为定值.1故满足条件的直线I存在，其方程为x=2卩.1 f 2p X1 + a( p a).1 a 2p X1 + a p a .【规律总结】1 化解探索性问题的方法首先假设所探求的问题结论成立、 存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得 到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一 个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答.在这个解题思路指导下解决 探索性问

36、题与解决具有明确结论的问题没有什么差别.2求定值问题的方法定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问 题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题.【变式训练】3. (2012 北京东城11校联考)已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的 抛物线上有一点a2，m，A点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程； 设Mx。，yo)为抛物线上的一个定点，过 M作抛物线的两条互相垂直的弦MP MQ求证：PQ恒过定点(Xo+ 2，- yo);(3) 直线x+ my+ 1 = 0与抛物线交于E、F

37、两点，在抛物线上是否存在点 N, 使得 NEF为以EF为斜边的直角三角形？2p 1解析(1)由题意可设抛物线的方程为y= 2px,则由抛物线的定义可得专+ =1，即p= 1,所以抛物线的方程为y屮 y2+ (y1 + y2)yo+ yo+ 4= 0,(2n) + 2my+ 2xo+ 4= 0, 即卩 n = myo+Xo+ 2.所以直线PQ的方程为x= my+ myo+xo+ 2, 即 x= my + yo) + Xo+ 2,它一定过定点(xo + 2, yo).(3) 假设N(xo, yo)为满足条件的点，则由 知，点(xo+ 2, yo)在直线x+ my+ 1 = 0 上, 广 2 、 y

38、 = 2x,2所以Xo+ 2 my+ 1 = 0, (xo, yo)是方程'的解，消去x得y m什 3= 02my+ 6 = 0, = 4卅24>0,所以存在点N满足条件.名师押题咼考= 2x.证明 由题意知直线PQ与 x轴不平行，设PQ所在直线方程为2 2x = my+ n，代入 y = 2x 中，得 y 2my-2n= 0.所以 y1 + y2= 2m, y1y = 2n，其中y1，y2分别是p, Q的纵坐标，因为 MPLMQ 所以 kMP- kM= 1. yo y2 yo一即xx xV = 1，所以(y1+yo)( y2+yo) = 4.x1 xo x2 xo2 2【押题1

39、】过双曲线£ b = 1(a>0, b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A,与另一条渐近线交于点B.若吐2FA,则此双曲线的渐近线的斜率是.b解析 双曲线的渐近线方程是y=± -x,设过右焦点F(c, 0)的直线I与渐近线yaa=-x垂直，则直线I的方程即y =-a(x c)，两直线方程联立，解得点 A的纵 a坐标yi =abc ；ababc把方程y = -(x c)与方程y = x联立，解得点B的纵坐标y2=b由于 fB= 2FA,即(X2 c， y2) 2(xi c， yi)，由此得y2= 2yi,abc 2ab此即2(b2 a2) c2 a2 + b2, 即卩b 3a,故其渐近线的斜率是土3.押题依据本题以向量为背景，综合考查双曲线的几何性质，既考查了通性 通法，又可考查考生的应变能力，新颖别致、难度适中，故押此题.3【押题2】(2012 济南三模)已知直线I : y x + 1,圆O x2 + y2，直线2 2x yI被圆截得的弦长与椭圆c： g+書一1(a>b>0)的短轴长