数值分析习题-李庆杨 第二章习题ppt课件

1、第二章 插值法习题1、当.)(, 4 , 3, 0)(2 , 1, 1的二次插值的项式求时，xfxfx1用单项式基底 2用Lagrange插值基底 3用Newton基底解：设多项式为 2210)(xaxaaxp所以 6421111111111222211200 xxxxxxA376/424113110/)()()(2222211120000Axxxfxxxfxxxfa2369/)(1)(1)(12222112001Axxfxxfxxfa6565/)(1)(1)(12211002Axfxxfxxfxa所以f(x)的二次插值多项式为2652337)(xxxp)21)(11 ()2)(1()()()

2、(2010210 xxxxxxxxxxxl)21)(11()2)(1()()()(2101201xxxxxxxxxxxl) 12)(12() 1)(1()()()(1202102xxxxxxxxxxxl2 Lagrange插值多项式为)()()()()()()(2211002xlxfxlxfxlxfxl) 1)(1(314)2)(1(61)3(0 xxxx3723652xx3均差表如下：kx)(kxf 一阶均差二阶均差1 01 33/22 47/35/6Newton插值多项式为372365) 1)(1(65) 1(230)(,)()()(21021001002xxxxxxxxxxxxfxxxx

3、fxfxN由以上计算可知三种方法得到的多项式是一样的。2、给出)ln()(xxf数值表如下x0.40.50.60.70.8Ln(x)0.9162910.6931470.5108260.3566750.223144用线性插值和二次插值计算54. 0ln解：根据插值误差估计式选间隔0.54较近的点为插值节点，并建立差商表，的近似值。X0=0.50.693147X1=0.60.5108261.823210X2=0.40.9162912.0273250.204115)6 . 0)(5 . 0(204115. 0)5 . 0(823210. 1693147. 0)()5 . 0(823210. 1693

4、147. 0)(11xxxxNxxN6202186. 0)54. 0(1N616839. 0)54. 0(1N近似计算得 4、设 njjx0为互异节点，求证： 1), 1 , 0()(0nkxxlxkjnjkj 2), 1 , 0(0)()(0nkxlxxjnjkj 及kx)(0 xlxjnjkj证明1函数 均为被插值函数kx 的至于互异节点 njjx0的不超越n次的插值多项式，利用插值多项式的独一性知两者相恒等。该结论也可用插值多项式的误差估计证明。njkiikijjjnjkjxxikxlxlxx000)()()()(njjikijkikijikijnjxlxxikxlxxik0000)()

5、()()(0)()()()(000injiikkijnjijikxxxxikxlxxik2 bacxf,)(20)()(bfaf5、设且，求证)(max)(81)(max02xfabxfbxbxa ax bx 证明：以 和 为插值节点建立)(xf 的不超越一 次的插值多项式。0)()()(1abaxbfbabxafxL运用插值余项公式有 )()(! 21)()(1bxaxfxLxf )(max)(max21bxaxfbxabxa )(max)(812fabbxa , 13)(47xxxxf7102,2 ,2f。8102,2 ,2f8、求及解：利用)!()(,)(10nfxxxfnn 1)(!

6、712,2 ,2)7(710ff0)(! 812,2 ,2)8(810ff9、证明kkkkkkfggfgf1)(证明： kkkkkkkkkkkkkkgfgfgfgfgfgfgf111111)(kkkkkkkkkkgffgggfgff1111)()(10、证明 knkknnnnkkkfggfgfgf101010由于 )(11010110kkknkkknkknkkkfggffggf00110110)()(gfgfgfgfgfnnkkknkkknkk 0102yyynjnj011010102)()(yyyyyynjjnjjnjjnj11、证明12、假设nnxaxaaxf10)( 有n个不同实根,21

7、nxxx试证明：证证:由于由于 是是n次多项式且有次多项式且有n个不同实根个不同实根 知知1-nk 1)!1()(1 2-nk0 0)()1(1nnnnjjkjangaxfx)(xf,21nxxx)()()()(21xaxxxxxxaxfnnnnnjjnkjnnjjkjxwxaxfx11)(1)(12、假设nnxaxaaxf10)( 有n个不同实根,21nxxx试证明：njjnkjnnjjnnkjnjjkjxwxaxwaxxfx111)(1)()(证由证由于是于是n次次多项多项式且式且有有n个不个不同实同实根根知，：知，：记,)(kxxg并利用差商的函数表达式有 nnnjjnjnnjjkjxx

8、xgaxwxgaxfx,1)()(1)(2111再商差与函数关系知 1-nk 1)!1()(1 2-nk0 0)()1(1nnnnjjkjangaxfx16、求一个次数不高于4次的多项式),(xp, 0)0()0( pp, 1) 1 () 1 ( pp使它满足 1)2(p解法一：待定系数法满足 , 0)0()0(33 HH1) 1 () 1 (33 HH， 的Hermite插值多项式为 1, 110 xx10333)()()()()(jjjjjxxHxxHxH32222010) 1(01001121xxxxxx 223) 1()()(xAxxHxp1)2(p41A设 得于是222232)3(41) 1(412)(xxxxxxxp法2：建立如下差商表0000011111110-1210-1-1/21/4这样牛顿插值公式为2222) 1()0(41) 1()0( 1)0( 1)0(00)(xxxxxxxp2222) 1(41) 1(xxxxx22)3