电容元件及电感元件

1、 描述动态电路的方程描述动态电路的方程 ?含动态元件的动态电路也属于含动态元件的动态电路也属于 分析动态电路的基本方法还是叠加分析动态电路的基本方法还是叠加 法、分割法；前面所学的法、分割法；前面所学的2b法，支路法、网孔电法，支路法、网孔电 流法、节点电压法、观察法仍然可用。流法、节点电压法、观察法仍然可用。 &本章先介绍两种储能元件本章先介绍两种储能元件 电容元件和电感元件电容元件和电感元件。 常用的几种电容器常用的几种电容器构成：由两个金属极，中间夹有绝缘材构成：由两个金属极，中间夹有绝缘材 料（介质）构成。料（介质）构成。 作用：隔断直流电，通过交流电的作用。作用：隔断直流电，

2、通过交流电的作用。 常用于级间耦合、滤波、去耦、常用于级间耦合、滤波、去耦、 旁路及信号调旁路及信号调 谐等。谐等。种类：从原理分：种类：从原理分： 无极性的、有极性的；固定电容、无极性的、有极性的；固定电容、 可调电容。可调电容。 从材料分：从材料分： CBBCBB电容（聚乙烯），涤纶电容、电容（聚乙烯），涤纶电容、 瓷片电容、云母电容、独石电容、瓷片电容、云母电容、独石电容、 电解电容（最常见）、钽电容等。电解电容（最常见）、钽电容等。 绝缘介质金金属属极极板板电容器电容器是一种能够是一种能够存储电荷乃至电场存储电荷乃至电场能量的器件。能量的器件。理想电容器理想电容器应该只应该只具有存储电

3、荷从而具有存储电荷从而在电容器中建立电在电容器中建立电场的作用。场的作用。充电充电 一种电荷与电压相约束的器件。一种电荷与电压相约束的器件。 电容元件的定义：电容元件的定义：如果一个二端元件在任一时如果一个二端元件在任一时刻，其电荷与电压之间的关系由刻，其电荷与电压之间的关系由u-q平面上一条曲线平面上一条曲线所确定，则称此二端元件为电容元件。所确定，则称此二端元件为电容元件。符号和特性曲线如下图符号和特性曲线如下图7(a)7(a)和和(b)(b)所示。所示。 通过坐标原点一条直线的电容元件称为通过坐标原点一条直线的电容元件称为线性电容线性电容元件元件，否则为非线性电容元件。，否则为非线性电容

4、元件。(a) (a) 电容元件的符号电容元件的符号 (c) (c) 线性时不变电容元件的符号线性时不变电容元件的符号 (b) (b) 电容元件的特性曲线电容元件的特性曲线 (d) (d) 线性时不变电容元件的特性曲线线性时不变电容元件的特性曲线在物理意义上：它只具有存储电荷、从而存储电场能量的在物理意义上：它只具有存储电荷、从而存储电场能量的作用。其参数为电容作用。其参数为电容C C：其：其数学表达式为：数学表达式为： qCu 式中的系数式中的系数C为常量，与直线的斜率成正比，称为为常量，与直线的斜率成正比，称为电电容容，单位是法，单位是法拉拉,用用F表示。表示。电容器其他几种模型电容器其他几

5、种模型 电容器的几种电路模型电容器的几种电路模型 电容元件的电容元件的 对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联对于线性时不变电容元件来说，在采用电压电流关联参考方向的情况下，可以得到以下关系式：参考方向的情况下，可以得到以下关系式：dd()d( )dddqCuui tCttt 此式表明电容中的此式表明电容中的电流与其电压对时间的变化率成正电流与其电压对时间的变化率成正比，比，它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不它与电阻元件的电压电流之间存在确定的约束关系不同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束同，电容电流与此时刻电压的数值之间并没有确定的约束关系。关系。 在直流电

6、源激励的电路模型中，当各电压电流均不随在直流电源激励的电路模型中，当各电压电流均不随时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路时间变化的情况下，电容元件相当于一个开路(i=0)。 例：已知例：已知C=1 F 如如u(t)=10sin(5t)V，其波形如图，其波形如图7-3(a)所所示，则示，则 iC(t)为图为图7-3(b)所示。因为有：所示。因为有：A)5cos(50 A)5cos(1050 d)5sin(10d10 dd)(66 tttttuCti 图图7-3 电流总比电压慢半拍电流总比电压慢半拍例：例：已知电容的电压已知电容的电压 u(t)如图如图(a)所示，求电流所示，求电流iC(t),

7、 并画出波形并画出波形图。图。 解：根据图解：根据图7(a)波形，按照时间分波形，按照时间分 段段 来求解：来求解： 1.当当0 t 2s 时，时，uC(t)=10t， 根据式根据式72可以得到图可以得到图b0-2线段：线段： 2.当当2s t 4时，时，uC(t)=20， 根据式根据式72可以得到可以得到图图b2-4线段线段： 图图(a)(a)Ot/msi/mA1042-5865Ot/msu/V428620图（图（b）3.3.当当4s4s t t 8 8时，时， uC(t)= 5 5t t，根据式根据式7 72 2可以得到图可以得到图b4-8b4-8线段：线段：上述例子表明：上述例子表明：

8、（a a） u、i 波形不同。此为动态元件一般规律，（除正波形不同。此为动态元件一般规律，（除正弦波等少数例外。）特别是当弦波等少数例外。）特别是当u u为直流电压时为直流电压时i =0。（b b）尽管电流是不连续的，但电容电压却是连续的）尽管电流是不连续的，但电容电压却是连续的 电容电压的连续性质（电容电压的连续性质（continuity property）)t ()t (C-Cuu即即 利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，后一瞬间的电容电压值， 在已知电容电流在已知电容电流iC(t)的条件下，其电压的条件下，

9、其电压uC(t)为为 电容元件的电容元件的上式表明：上式表明： 更实用的形式：更实用的形式： 设初始时刻为t=0diCdiCtut00)(1)(1)( 某时刻某时刻t t的电容电压与从的电容电压与从-到该时刻所有电流有关到该时刻所有电流有关 电容电压的电容电压的记忆性质记忆性质（memory propertymemory property）0)(1)0()(0tdiCutut即即u(0)累计了累计了t=0以前所有时刻以前所有时刻i的作用的作用,称为电容的称为电容的初始电压初始电压。例例: 电路如图电路如图76(a)所示，已知电容电流波形如图所示，已知电容电流波形如图76(b)所示，试求电容电压

10、所示，试求电容电压uC(t)，并画波形图。，并画波形图。 图图7-6 根据以上计算结果，可根据以上计算结果，可以画出电容电压的波形如图以画出电容电压的波形如图(c)所示，由此可见任意时刻电所示，由此可见任意时刻电容电压的数值与此时刻以前容电压的数值与此时刻以前的全部电容电流均有关系。的全部电容电流均有关系。 例如，当例如，当1st3s时，电时，电容电流容电流iC(t)=0，但是电容电压，但是电容电压并不等于零，电容上的并不等于零，电容上的2V电电压是压是0t0某时刻电容电压某时刻电容电压uc(t)等于电容电压的初始等于电容电压的初始值值uc(0)加上加上t=0到到t时刻范围内电容电流在电容上积

11、累电荷时刻范围内电容电流在电容上积累电荷所产生电压之和，就端口特性而言，等效为一个直流电压所产生电压之和，就端口特性而言，等效为一个直流电压源源uc(0)和一个初始电压为零的电容的串联和一个初始电压为零的电容的串联 如下图所示。如下图所示。0)() 0()(1ttuutu电容的两个基本的性质电容的两个基本的性质 (1) 电容电压的记忆性。电容电压的记忆性。任意时刻任意时刻T电容电压的数值电容电压的数值uC(T)，要由从，要由从- 到时刻到时刻T之间之间的全部电流的全部电流iC(t)来确定。也就是说，此时刻以前流过电容来确定。也就是说，此时刻以前流过电容的任何电流对时刻的任何电流对时刻T 的电压

12、都有一定的贡献。这与电阻元的电压都有一定的贡献。这与电阻元件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，件的电压或电流仅仅取决于此时刻的电流或电压完全不同，我们说电容是一种记忆元件。我们说电容是一种记忆元件。 图图77(a)所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记所示的峰值检波器电路，就是利用电容的记忆性，使输出电压波形忆性，使输出电压波形如图如图(b)中实线所示中实线所示保持输入电压保持输入电压uin(t)波形波形如图如图(b)中虚线所示中虚线所示中的峰值。中的峰值。 图图77 峰值检波器电路的输入输出波形峰值检波器电路的输入输出波形 (2) 电容电压的连续性电容电压的连续性 电流的波形

13、可以是不连续的，但电容电压的波形是连续电流的波形可以是不连续的，但电容电压的波形是连续的。即电容电流在闭区间的。即电容电流在闭区间t1,t2有界时，电容电压在开区间有界时，电容电压在开区间(t1,t2)内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中内是连续的。这可以从电容电压、电流的积分关系式中得到证明（从略）。得到证明（从略）。 电容电压不能突变的性质，常用下式表示：电容电压不能突变的性质，常用下式表示： )()(CC tutu对于初始时刻对于初始时刻t=t=0 0来说，上式表示来说，上式表示为：为：)46()0()0(CC uu 利用电容电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后利用电容

14、电压的连续性，可以确定电路中开关发生作用后一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。一瞬间的电容电压值，下面举例加以说明。 试求：(1) u(0)； (2) u(t)、t0； (3) u(1)和u ( 0.5)； (4) 作出t0时该电容的等效电路。已知电容已知电容C=4F，对所有，对所有t、i(t)波形如图所示，波形如图所示，电容电压电容电压u(t)与与i(t)参考方向关联。参考方向关联。 （1 1）根据已知条件，）根据已知条件，t00时时 仅在仅在11t00时，时，i( (t t)=2A)=2A。 01V5 . 0422410dtuu(0)记忆了记忆了t=0以前所有电流的充电作用。以前所有电流

15、的充电作用。 例题例题解解: 电流发生跃变时可以看作电路中开关发生作用电流发生跃变时可以看作电路中开关发生作用（换路）（换路） ，其后一瞬间（其后一瞬间（t=0+）时的电容电压值叫初始值。）时的电容电压值叫初始值。（2） Vtdtutut75.05.034100t0时，不能忽略初始电压时，不能忽略初始电压u(0)，它反映了它反映了t0电流对电流对t 0时时u（t）的影响。）的影响。t 0时时（3） V25.1V175.05 .01, 01utst故故得得属属V25.02415.0,0s5.05.01dtutt故故得得属属u(0+) = u(0-) = 0.5V（4）t 0时时的等效电路的等效电

16、路i1(t) i(t)在在t0时的部分；时的部分；t0的部分已不必再考虑。的部分已不必再考虑。例例73 图图78所示电路的开关闭合已久，求开关在所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0时刻时刻 断开瞬间电容电压的初始值断开瞬间电容电压的初始值uC(0+)。解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定解：开关闭合已久，各电压电流均为不随时间变化的恒定 值，造成电容电流等于零，即值，造成电容电流等于零，即 0dd)(CC tuCti图图78 电容相当于开路。此时电容电压为电容相当于开路。此时电容电压为 S212C)0(URRRu 当开关断开时，在电阻当开关断开时，在电阻R2和和R3不为零的情况

17、下，电容不为零的情况下，电容电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到电流为有限值，电容电压不能跃变，由此得到 S212CC)0()0(URRRuu 图图78 )()(titutp 若电压和电流都是随时间变化的，则算得的功率也是随若电压和电流都是随时间变化的，则算得的功率也是随 时间变化的。则每一瞬间的功率叫时间变化的。则每一瞬间的功率叫瞬时功率。瞬时功率。d( )dCuptu Ct 电容的瞬时功率电容的瞬时功率: :功率波形图：功率波形图： 功率随时间变化的曲线（见下页）。功率随时间变化的曲线（见下页）。结论结论： 电容的功率有正有负，说明电容有时吸收功率，有电容的功率有正有负，说明电容有时吸

18、收功率，有时放出功率。电阻的时放出功率。电阻的p恒为正。恒为正。求电容元件的瞬时功率和储能。求电容元件的瞬时功率和储能。 F1C（a a）+ +- -)(tu)(ti解：如右图所示：解：如右图所示：例：已知电容例：已知电容u波形波形如如(b)所示，所示，u、i关关联参考方向时的联参考方向时的iC(t)、 pC(t)、 wC(t)的波形的波形图。图。 二、电容的储能二、电容的储能( )( )dtCWtp tt 时无储能时无储能 tdd dtuCutt)()(d tuuuuC21( )2Cu t结论结论： 电容电容将电能转换为电场能储存在其中。其将电能转换为电场能储存在其中。其能量总为正。能量总为

19、正。某时刻电容的储能取决于该时刻的某时刻电容的储能取决于该时刻的 ，与其电流值无关，与其电流值无关。 电容是无源元件；某一时刻电容是无源元件；某一时刻t t 的电容电压反映同时刻储的电容电压反映同时刻储能状况。能状况。 （储能元件）（储能元件） 电容电压的连续性和记忆性均来自电容的储能本性。电容电压的连续性和记忆性均来自电容的储能本性。 cut电容在电容在t1 t2期间储存或释放的能量：期间储存或释放的能量：2112( , )( )dtCtWt tp ddd21ttuuC)()(21d tutuuuC)()(211222tutuC结论：结论：t1 t2 期间电容储存或释放的能量只与初始时刻和终

20、期间电容储存或释放的能量只与初始时刻和终了时刻的电压值有关，而与此期间内的其他电压值无关。了时刻的电压值有关，而与此期间内的其他电压值无关。21( )( )CCw tw t d( )( )dCw tp tt 0 电容从外电路吸取能量电容从外电路吸取能量0 电容向外电路释放能量电容向外电路释放能量 由于电容电压确定了电容的储能状态，由于电容电压确定了电容的储能状态，在动态电路在动态电路分析中分析中称电容电压称电容电压为为状态（状态（statestate）变量）变量。它满足：它满足：（a）给定初始状态）给定初始状态即即uc(0)和所有和所有t0的输入的输入即即i(t)就能就能确定在确定在t0时的状

21、态时的状态即即uc(t)。见。见VCR的积分形式，。的积分形式，。（b b）由状态变量可确定电路中任一变量。见下章。作为状）由状态变量可确定电路中任一变量。见下章。作为状态变量，态变量，uc是分析含电容动态电路时的主要对象。是分析含电容动态电路时的主要对象。三、状态变量三、状态变量 为为状状态态变变量量为为状状态态变变量量LCLLCCtLLLtCCCLLCCiuLiwCuwduLiidiCuudtdiLudtduCi220021211010LLCCuiLiuC习题课习题课 习题习题1 15-12已知已知u(0)=4V，则该电容，则该电容t0时的时的VCR为为d iCuDd iCuCd iCuB

22、d iCuAtttt000014.14.14.14. 与教案中例题不同，此处与教案中例题不同，此处u(0)的成因不详，的成因不详，也无需且不可能追究。其极性已如图中所示，也无需且不可能追究。其极性已如图中所示，其值为其值为4V，已成定局。但，已成定局。但t0时，时，i、u的参考的参考方向为非关联的，故应选方向为非关联的，故应选B项。项。 5-13 解解 t0的等效电路如图，的等效电路如图， 代表初始电压源的极性、代表初始电压源的极性、 数值是已知的，与数值是已知的，与i无关。无关。 C部分的部分的u1和和i的参考方向的参考方向 是非关联的。是非关联的。习题课习题课 习题习题2 25-14 已知已知2H电感的电流波形如图所示，电感的电流波形如图所示，试求电压波形。设试求电压波形。设u、i为关联参考方向。为关联参考方向。i波形图上波形图上 t=6s 时，时，i=3.5A。5-15 解解 V5, s5;0, s5s3;V10, s3s2;0, s2s1;V6, s10tuttutututu 利用利用 分段作出波形图：分段作出波形图：dtdiLu习题课习题课 习题习题3 35-16 与直流电源接通已久的电路如图所示，与直流电源接通已久的电路如图所示，试求每一电阻所消耗的功率；电路所储存的试求每一电阻所消耗的功率；电路所储存的能量；每一电源所提供的功率并校核电路的能量；每一电源所提供的