比较二次根式大小的巧妙方法

1、比拟二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的根底知识 ,也是初中数学学习中的重点内容;而比拟二次根式的大小又是二次根式知识中的难点 ,也是中考和数学竞赛中常见的题型 ,经常会考到不查表、不求二次根式的值 ,来比拟几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比拟二次根式大小的几种根本方法 ,如求近似值法、比拟被开方数法等 ,尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差、“做商、“有理化、“取倒数、“平方等方法 ,但许多学生在考试中仍显得力不从心 ,并不清楚到底什么时候用哪种方法最适宜?解答这类题目时缺少方法与对策 ,以至于无从下手。下面就举例介绍几种比拟二次根式大小的有效方法。一、移动因

2、式法此法好学 ,适用。就是将根号外的正因式移入根号内 ,从而转化为比拟被开方数的大小。例1：比拟的大小。解：>∴>二、运用平方法两边同时平方,转化为比拟幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数 ,平方大的数就大;两个负数的平方也是正数 ,平方大的数反而小。例2：比拟与的大小。解： ,>0 ,>0∴<三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化 ,再进行比拟。例3：比拟与的大小。解：∴>四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化 ,再比拟大小。例

3、4：比拟与的大小解：>∴>五、求差或求商法求差法的根本思路是：设为任意两个实数 ,先求出与的差 ,再根据“当<0时 ,<当时 ,;当>0时 ,>来比拟与的大小。求商法的根本思路是：设为任意两个实数 ,先求出与的商 ,再根据“同号：当>1时 ,>=1时 ,;<1时 ,<。异号：正数大于负数 来比拟与的大小。例5：比拟的大小。解：<∴<例6：比拟的大小。解：>1&th

4、ere4;>六、求倒数法先求两数的倒数 ,而后再进行比拟。例7：比拟的大小。解：>∴<七、运用媒介法此法是借助中间量(定量或变量)巧妙转换到达直观比拟的方法 ,类似于解方程中的换元法。例8： , ,试比拟的大小。解：设 ,那么 ,< ,∴< ,即<八、设特定值法如果要比拟的二次根式中含有字母 ,为了快速比拟 ,解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比拟。例9：比拟与的大小。解：设 ,那么：=1 ,=<1 ,∴>九、局部

5、缩放法如果要比拟的二次根式一眼看不出有什么特点 ,又不准求近似值 ,可采取局部缩放法 ,以确定它们的取值范围 ,从而到达比拟大小的目的。例10：比拟的大小。解：设 , ,7<<8 ,即7<<8 ,8<<9 ,即8<<9∴< ,即<例11：比拟与的大小。解：>∴>十、“结论推理法通过二次根式的不断学习 ,不难得出这样的结论：“>(>>0) ,利用

6、此结论也可以比拟一些二次根式的大小(结论证明见文末)。例12：比拟1与的大小。解： ,由>(>>0)可知：>即>又>∴> ,即1>总的来说 ,比拟二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种 ,除此之外诸如移项、拆项法 ,类比推理法 ,数形结合法 ,数轴法 ,还有假设推理法等等 ,但不管使用哪种方法 ,都必须在掌握二次根式的根本性质和运算法那么上进行 ,要根据问题的特征 ,二次根式的结构特点 ,多角度地探索思考 ,做到具体问题具体分析 ,针对不同问题采取不同的策略 ,

7、另外还应多做这方面的训练 ,方能到达熟练而又快捷 ,运用自如的程度。附：“>(>>0)的证明。证明： , ,>∴>(>>0)【典题新练】：1、比拟与的大小;2、比拟与的大小;3、比拟与的大小;4、比拟与的大小;5、比拟与的大小;6、比拟与的大小(其中为正整数)7、设 , ,试比拟它们的大小;8、比拟与的大小;9、比拟与的大小;10、 比拟与的大小;11、比拟与的大小;12、比拟的大小;13、比拟与的大小;14、 比拟与的大小;15、假设为正整数 ,试比拟的大小;16、比拟的大

8、小;17、比拟与的大小。【典题新练参考答案】：1、提示： , ,∴<2、提示：平方后再进行比拟。∴>3、提示：可利用>(>>0)。> ,即>4、提示：分母有理化后再进行比拟。 , ,< ,∴<5、提示：分子有理化后再进行比拟。> ,∴< ,即<6、提示： ,其中为正整数 , ∴>故<7、提示：

9、设 ,那么： ,<∴< ,∴<8、平方后再进行比拟。又> ,∴>∴< ,∴<9、提示：2<<3 ,7<<8 ,∴<5<∴<10、提示：分子有理化后再进行比拟。因为 , ,而>所以< ,故<11、提示：分别求其

10、倒数后 ,再进行比拟。> ,∴<12、提示： ,而7<<8 ,∴的整数局部为7 。同样可得的整数局部为8 ,∴<13、提示：>∴>14、提示：平方后再比拟大小。∴<15、提示：由偶次根式的定义得 ,∴<2009 ,∴<0 ,∴>0 ,<0 ,&th

11、ere4;>16、提示：由 ,设> ,那么>4 ,两边平方得：>16 ,∴>4 ,这与<=4相矛盾 ,宋以后 ,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末 ,学堂兴起 ,各科教师仍沿用“教习一称。其实“教谕在明清时还有学官一意 ,即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者那么谓“教授和“学正。“教授“学正和“教谕的副手一律称“训导。于民间 ,特别是汉代以后 ,对于在“校或“学中传授经学者也称为“经师。在一些

12、特定的讲学场合 ,比方书院、皇室 ,也称教师为“院长、西席、讲席等。∴假设不成立 ,故<。其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记之后会“活用。不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的成效。17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。 ,例如如下列图： , ,;。由图可知：&