第三节 分块矩阵

1、1第三节第三节2对于规模较大对于规模较大, ,零较多或局部比较特殊的矩零较多或局部比较特殊的矩阵阵, 为了简化运算，经常采用为了简化运算，经常采用分块法分块法，把大矩阵，把大矩阵分割成小矩阵分割成小矩阵. .在运算时在运算时, , 把这些小矩阵当作元把这些小矩阵当作元素一样来处理素一样来处理. . 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的的子块子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵. .3 bbaaA110101000001,321 BBB例例 A

2、001aba110000b110 1B2B3B即即4 bbaaA110101000001,4321 CCCC A1a1C002C10010a3Cbb11004C即即5 bbaaA110101000001 bbaaA110101000001, BEOA ,4321AAAA aaA01其中其中 bbB11 1001E 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA10046分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则那那末末列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA srsrsrsrBBBBBAAAAA1111

3、1111,(1) 分块矩阵分块矩阵A与与B的行数相同的行数相同,列数相同列数相同, 采用相同采用相同的分块法的分块法, 有有7那那末末为为数数设设, (2)1111 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需用分块计算。分块计算。 8分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设, )3(nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121j tjjt iiiBBBAAA srsrCCCCAB1111.), 1;, 1(1rjsiB

4、ACkjtkikij 其其中中9,1011012100100001 A例例1 设设,0211140110210101 B.AB求求解解分分块块成成把把BA,1 EAOEA,222111 BBEBB则则 2221111BBEBEAOEAB.2212111111 BABBAEB10.2212111111 BABBAEBAB又又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 11于是于是 2212111111BABBAEBAB.1311334210410101 21111BBA ,1142 02141121221BA,1333 12,)4

5、(11 srAAA设设rA11sA.11 TsrTTAAA则则TsA1TrA113 sAAAA21O 形如形如的分块矩阵的分块矩阵, ,称为称为准上三角阵准上三角阵, ,.), 2 , 1(都都是是方方阵阵其其中中siAi 类似有类似有准下三角阵准下三角阵.,1011012103100002 A准下三角阵准下三角阵14(2).21sAAAA 准三角矩阵有如下性质准三角矩阵有如下性质: :(1) 设设A、B两个同类型的两个同类型的准三角矩阵，则准三角矩阵，则ABABA, 均为同类型的均为同类型的准三角矩阵。准三角矩阵。 sAAAA21O sAAAA21O 15 sAAAA21OO特别特别,称为称

6、为准对角矩阵准对角矩阵. . 120130005 120001300000210005300000316准对角矩阵除了具有准三角阵的性质以外准对角矩阵除了具有准三角阵的性质以外, ,还有还有: :(1) ssBBBAAA2121OOOO.2211 ssBABABAOO.21 kskkkAAAAOO特别，特别，17.21sAAAA 则则，设设 sAAAA21 OO且且有有均均可可逆逆可可逆逆当当且且仅仅当当,), 2 , 1(siAAi (2).112111 sAAAAOO18例例2 设设,120130005 A.1 A求求解解 120130005A,21 AOOA;321112 A 12111

7、AOOAA.3201100051 19例例3 设设,1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解,321 AAAA 2322212AAAA,3800041100000950002514000009 20例例3 设设,1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解321AAAA 1312111AAAA,32000110000031000520000031 ,3 5A5A ,243 21例例3 设设,1200013000002100053000003 A.,152TAAAAA 求求解解 TTTTAAAA321.1100023000002500013000003 22例例4解解,0都都是是可可逆逆方方阵阵和和其其中中设设BABCAP .,1 PP并并求求可可逆逆证证明明,可可逆逆由由BA,0 BAP有有.可逆可逆得得P,1 YWZXP设设 YWZXBCAPP01于于是是 BYBWCYAZCWAX, EOOE23 .,EBYOBWOCYAZECWAX BYBWCYAZCWAX, EOOE,1 BY,OW ,1 AX,1 YWZXP,OCYAZ ,CYAZ ,11 CBAZ.111111 B