2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习--解题思维3高考中数列解答题的提分策略

1、2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习解题思维3高考中数列解答题的提分策略1.2022海口市名校联考,12分已知数列logkan(k为常数,k>0且k1)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)求证:数列an是等比数列.(2)当k=2时,设anbn=2n+14n2-1,求数列bn的前n项和Tn.2.2022惠州市一调,12分已知数列an中,a1=1,且an=an-1+n(n2且nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an(n+1)·2n-1,求证:b1+b2+bn<2.3.分类讨论,12分已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3=3,S7=28.若数列bn

2、满足bn=2an-1,其前n项和为Tn.(1)求bn的通项公式;(2)若cn=|Tn-15|,求数列cn的前n项和.4.数学探索,12分已知正项数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn2=an+12-Sn+1,其中为常数.(1)证明:Sn+1=2Sn+.(2)是否存在实数,使得数列an为等比数列?若存在,求出;若不存在,请说明理由.答 案解题思维3高考中数列解答题的提分策略1.(1)logkan是首项为4,公差为2的等差数列,logkan=4+(n-1)×2=2n+2,an=k2n+2,an+1=k2n+4,an+1an=k2.又a1=k2+2=k4,数列an是以k4为首项,k2为公

3、比的等比数列.(6分)(2)(裂项相消法)由(1)得an=k2n+2.k=2, an=2n+1.又anbn=2n+14n2-1,bn=14n2-1=12(12n-112n+1),Tn=b1+b2+bn=12(1-13+1315+12n-112n+1)=n2n+1.(12分)2.(1)(累加法)由已知得an-an-1=n(n2且nN*),(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=n+(n-1)+2,即an-a1=2+3+n,(3分)又a1=1,an=1+2+3+n=n(n+1)2,即an=n(n+1)2.(5分)(2)(错位相减法)由(1)可知,an=n(n+1)2,bn=an

4、(n+1)·2n-1=n2n.(6分)记Tn=b1+b2+bn,则Tn=12+222+323+n2n,(7分)12Tn=122+223+324+n-12n+n2n+1,(8分)-,得12Tn=12+122+123+12nn2n+1=1-12nn2n+1=1-n+22n+1,(9分)Tn=2-n+22n,(10分)又n+22n>0,Tn=2-n+22n<2,即b1+b2+bn<2.(12分)3.(1)设等差数列an的公差为d,由题意可知,a3=a1+2d=3,S7=7a1+21d=28,解得a1=d=1.(3分)所以an=n,所以bn=2an-1=2n-1.(5分)(

5、2)由(1)知,Tn=1-2n1-2=2n-1,则cn=|2n-16|=16-2n(1n4),2n-16(n>4).(7分) 设数列cn的前n项和为Pn,则当1n4时,Pn=(16-21)+(16-22)+(16-2n)=16n-(21+22+2n)=16n-2(1-2n)1-2=16n-2n+1+2; (9分)当n>4时,Pn=(16-21)+(16-22)+(16-24)+(25-16)+(26-16)+(27-16)+(2n-16)=2P4+(21+22+2n)-16n=2×34+2(1-2n)1-2-16n=2n+1-16n+66.(11分)综上,数列cn的前n项和Pn=16n-2n+1+2(1n4),2n+1-16n+66(n>4). (12分)4.(1)an+1=Sn+1-Sn,Sn2=an+12-Sn+1,Sn2=(Sn+1-Sn)2-Sn+1,(1分)Sn+1(Sn+1-2Sn-)=0.(3分)an>0,Sn+1>0,Sn+1-2Sn-=0,Sn+1=2Sn+.(5分)(2)Sn+1=2Sn+,Sn=2Sn-1+(n2),两式相减,得an+1=2an(n2).(8分)S2=2S1+,即a2+a1=2a1+,