第四章 电磁波的传播

1、在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。变化着的电场在迅变情况下，电磁场以波动形式存在。变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。和磁场互相激发，形成在空间中传播的电磁波。由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，由于在广播通讯、光学和其他科学技术中的广泛应用，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，电磁波的传播、辐射和激发问题已发展为独立的学科，具有十分丰富的内容。具有十分丰富的内容。本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论，下一章再本章只介绍关于电磁波传播的最基本的理论，下一章再讨论辐射和激发问题。讨论辐射和激发问题。第四章第四章 电磁波的传播电磁波的传播平面电磁波是交

2、变电磁场存在的一种最基本的形式。平面电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。1. 无界空间中平面电磁波传播的主要特性无界空间中平面电磁波传播的主要特性2. 电磁波在介质界面上的反射和折射电磁波在介质界面上的反射和折射 从电磁理论出发导出光学中的反射和折射定律从电磁理论出发导出光学中的反射和折射定律3. 有导体存在时的电磁波传播问题。有导体存在时的电磁波传播问题。说明电磁波在导体内有一定的穿透深度，在良导体内只说明电磁波在导体内有一定的穿透深度，在良导体内只有很小部分电磁能量透入，因而良导体成为电磁波存在有很小部分电磁能量透入，因而良导体成为电磁波存在的边界。的边界。4. 有界空间的电磁波有界

3、空间的电磁波微波技术中常用的谐振腔，传输线和波导都属于有界空微波技术中常用的谐振腔，传输线和波导都属于有界空间中的电磁波问题在这两节中我们以谐振腔和波导为间中的电磁波问题在这两节中我们以谐振腔和波导为例说明电磁波边值问题的解法例说明电磁波边值问题的解法*5. 在激光技术中有重要应用的电磁波狭窄波束的传播在激光技术中有重要应用的电磁波狭窄波束的传播*6. 等离子体的基本电磁现象等离子体的基本电磁现象在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中在没有电荷电流分布的自由空间（或均匀介质）中00BDDHBEtt这就是本章研究电磁波的传播所用的这就是本章研究电磁波的传播所用的麦克斯韦方麦克斯韦方程组。程

4、组。(1)(2)(3)(4)4.1 平面电磁波平面电磁波一、电磁波的波动方程一、电磁波的波动方程1. 真空中的波动方程真空中的波动方程: D=0E，B=0H2200ttEBE，取，取(1)式的旋度，得式的旋度，得EEE2)(0 E022002tEE同理可得同理可得022002t令令00/1c则则E和和B的方程可以写为的方程可以写为012222tcEE012222tcBB(5)(6)可见，真空中电场和磁场相互作用的结果是：电场分量和可见，真空中电场和磁场相互作用的结果是：电场分量和磁场分量均以波动形式传播，这就是电磁波。其波速为磁场分量均以波动形式传播，这就是电磁波。其波速为m/s100 . 3

5、/1800c2. 介质情形介质情形:当以一定角频率当以一定角频率作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，也以相同频率作正弦振动。质内的束缚电荷受电场作用，也以相同频率作正弦振动。在这频率下介质的极化率在这频率下介质的极化率e()为极化强度为极化强度P与与0E之比，由之比，由此可得到这频率下的电容率此可得到这频率下的电容率()。在线性介质中有关系在线性介质中有关系波动方程的解包括各种形式的电磁波，所以，真空中一切电波动方程的解包括各种形式的电磁波，所以，真空中一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波磁波（包括各种频率范围的电

6、磁波，如无线电波、光波X射线射线和和 射线等）都以速度射线等）都以速度c传播，传播，c是最基本的物理常量之一是最基本的物理常量之一)()()(ED)()()(HB由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的由介质的微观结构可以推论，对不同频率的电磁波，介质的电容率是不同的，即电容率是不同的，即和和是是的函数。的函数。)()( 和和 随频率而变的现象随频率而变的现象介质的色散。介质的色散。同样，同样，由于色散，对一般非正弦变化的电场由于色散，对一般非正弦变化的电场E(t)，关系式，关系式D(t)=E不成立。因此在介质内，不能够推出不成立。因此在介质内，不能够推出E和和B的一般波动方程。的

7、一般波动方程。用用代替代替00所得到的方程只能用于单一频率的正弦电磁场，所得到的方程只能用于单一频率的正弦电磁场，这种单一频率的正弦电磁场称为时谐电磁场。这种单一频率的正弦电磁场称为时谐电磁场。二、时谐电磁场二、时谐电磁场 以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）。以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色波）。在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅在一般情况下，即使电磁波不是单色波，它也可以用傅里叶（里叶（Fourier）分析（频谱分析）方法分解为不同频率）分析（频谱分析）方法分解为不同频率的正弦波的叠加。因此，下面只讨论一定频率的电磁波。的正弦波的叠加。因此，下面只讨论

8、一定频率的电磁波。设电磁场只有一种频率设电磁场只有一种频率，电磁场对时间的依赖关系是，电磁场对时间的依赖关系是cos t，或用复数形式表为，或用复数形式表为tiet)(),(xExEtiet)(),(xBxB1. 场量的复数形式场量的复数形式:今后，在电磁波的问题中，用今后，在电磁波的问题中，用E表示抽出时间因子表示抽出时间因子e-i t以以后的电场强度后的电场强度E(x)，同样用，同样用B表示表示B(x)。2. 时谐情形下（时谐情形下（复数形式）复数形式）的麦氏方程组的麦氏方程组:在一定频率下，有在一定频率下，有D=0E, B=0H，把上式代入麦氏方程，把上式代入麦氏方程，消去共同因子消去共

9、同因子e-i t 后得后得00HEEHHEii注意：在注意：在 0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的（1）（2）（3）（4）（1）式取散度可以得出（）式取散度可以得出（4）式，同样由（）式，同样由（2）式可以得出）式可以得出（3）式，只有（）式，只有（1）（）（2）式是独立的。）式是独立的。取第一式旋度并用第二式得取第一式旋度并用第二式得EE2)(EEEE22)()(022EEk0 E（5）（6）k式中式中，（，（5）式即为）式即为亥姆霍兹方程。亥姆霍兹方程。但必须与（但必须与（6）式联立，才与麦克斯韦方程等价）式联立，才与麦克斯韦方程等价。解出解出E后，

10、磁场后，磁场B可由（可由（1）式求出，）式求出，EEBkii亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解亥姆霍兹方程是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模。称为一种波模。022EEk0 EEEBkii所以，一定频率条件下欲求解电磁场的方程为所以，一定频率条件下欲求解电磁场的方程为022BBk0 BBBEkii也可化为也可化为按照激发和传播条件的不同，亥姆霍兹方程的解可以有不按照激发和传播条件的不同，亥姆霍兹方程的解可以有不同的形式，即存在不同的波模。同的形式，即存在不同的波模。

11、 例如，广播天线发射球面波，传输线和波导传播定向波，例如，广播天线发射球面波，传输线和波导传播定向波，激光器激发的是狭窄的高斯光束等，其场强都是亥姆霍兹激光器激发的是狭窄的高斯光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解。方程的解。 三、平面电磁波三、平面电磁波1. 沿沿X轴方向传播的平面波轴方向传播的平面波设电磁波沿设电磁波沿X轴方向传播，其场强在与轴方向传播，其场强在与X轴正交的平轴正交的平面上各点具有相同的值，即面上各点具有相同的值，即E和和B仅与仅与x、t有关，而有关，而与与y、z无关这种电磁波就是沿无关这种电磁波就是沿X轴传播的平面波，轴传播的平面波，其波阵面（等相位点组成的面）为垂直于其波阵

12、面（等相位点组成的面）为垂直于X轴的平面。轴的平面。在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程0)()(dd222xExEkx它的一个解是它的一个解是ikxe0)(ExE场强的完整表示式为场强的完整表示式为tkxiet0),(ExEE0是电场的振幅，是电场的振幅，ei(kx- t) 代表波动的相位因子。代表波动的相位因子。由条件由条件E=0得得ikex E=0，因此，只要因此，只要E0与与x轴垂直，轴垂直，上式就代表一种可能的模式。上式就代表一种可能的模式。以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的场强应理以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存

13、在的场强应理解为只取上式的实数部分，即解为只取上式的实数部分，即tkxtcos),(0ExE2. 相位因子的意义相位因子的意义相速度相速度kx-t 表示某点表示某点x某时刻某时刻t的相位，对于任意常数的相位，对于任意常数， kx-t=就就给出了相位为给出了相位为的点的坐标与时间的关系。可以看出：的点的坐标与时间的关系。可以看出： 等相位的点都在同一个垂直于等相位的点都在同一个垂直于X轴的平面上，这就是波振面。轴的平面上，这就是波振面。 不同时刻，波振面处于不同位置，说明波振面在移动。不同时刻，波振面处于不同位置，说明波振面在移动。将将kx-t=对时间求导，得到对时间求导，得到0kv1kv真空中

14、电磁波的传播速度为真空中电磁波的传播速度为 00/1c介质中电磁波的传播速度为介质中电磁波的传播速度为rrcv/其中其中rrr就是光学中的折射率就是光学中的折射率n。因此，用光学的方法可以测量透明截止的电容率。因此，用光学的方法可以测量透明截止的电容率。3. 平面波的一般表达式平面波的一般表达式 其中其中x表示坐标原点到某等相位面的距离表示坐标原点到某等相位面的距离 ，kx即为即为tkxiet0),(ExE沿沿X轴方向传播的平面波轴方向传播的平面波传播这一距离所对应的相位差。传播这一距离所对应的相位差。对于任意方向传播的平面波对于任意方向传播的平面波令令k表示一个矢量，其大小为表示一个矢量，其

15、大小为k，方向沿平面波的传播方向。则任方向沿平面波的传播方向。则任意一点意一点P与原点之间的与原点之间的相位差应相位差应为为kx，即，即xkcoskxxktietxkEE(x0),|kk所以，一般情况下的平面表示式为所以，一般情况下的平面表示式为相位差为相位差为2的两个等相面之间的距离称为波长，用的两个等相面之间的距离称为波长，用表示，表示，可得可得/2k4. 平面电磁波的性质平面电磁波的性质EkEkEExkxkieietiti00 E可在垂直于可在垂直于k的任意方向上振荡。的任意方向上振荡。E的取向称为电磁波的偏的取向称为电磁波的偏振方向（极化方向），可以旋与振方向（极化方向），可以旋与k垂

16、直的任意两个互相垂直垂直的任意两个互相垂直的方向作为的方向作为E的两个独立的偏振方向，对于每一个的两个独立的偏振方向，对于每一个k，存在，存在两个独立的偏振波。两个独立的偏振波。（1）0Ek由于由于E=0，所以，所以, 表示电场波动是横波表示电场波动是横波,上式同时还说明，上式同时还说明，E、B、k两两垂直，两两垂直，EB沿沿k的方向。的方向。（2）kB 可见可见, 表示磁场波动是横波。表示磁场波动是横波。EkEiEnEkBk（3）E和和B同相，振幅比为同相，振幅比为 v1BE真空中真空中cBE /平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图所平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如

17、图所示随着时间的推移，整个波形向示随着时间的推移，整个波形向x轴方向的移动速度为轴方向的移动速度为rrcv1. 电磁场的能量密度电磁场的能量密度2212121BEwBHDE四、电磁波的能量和能流四、电磁波的能量和能流 221BE对于平面电磁波情形对于平面电磁波情形所以平面电磁波中，电场能量和磁场能量相等，所以平面电磁波中，电场能量和磁场能量相等，221BEw有有2. 电磁场的能流密度电磁场的能流密度nE2EnEHESvnnSwvww1平面电磁波的能流密度平面电磁波的能流密度v为电磁波在介质中的相速。为电磁波在介质中的相速。由于能量密度和能流密度是场强的二次式，不能把场强由于能量密度和能流密度是

18、场强的二次式，不能把场强的复数表示直接代入。的复数表示直接代入。计算计算 和和S的瞬时值时，应把实数表示代入，得的瞬时值时，应把实数表示代入，得txkEtxkEw2cos121 cos20220 和和S都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们都是随时间迅速脉动的量，实际上我们只需用到它们的时间平均值。的时间平均值。为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式设为了以后应用，这里给出二次式求平均值的一般公式设f(t)和和g(t)有复数表示有复数表示ititiegtgeftf00)()(， 是是f(t)和和 g(t)的相位差的相位差. fg对一周期的平均值为对一周期的平均值为 gfgftg

19、ttffg*002000Re21cos21 coscosd2式中式中f *表示表示f的复共轭，的复共轭，Re表示实数部分。表示实数部分。由此，能量密由此，能量密度和能流密度的平均值为度和能流密度的平均值为20202121BEwnHES20*2121E 电磁波入射到介质界面，发生反射和折射。反射和折电磁波入射到介质界面，发生反射和折射。反射和折射的规律包括两个方面：射的规律包括两个方面：(1) 入射角、反射角和折射角的关系入射角、反射角和折射角的关系(2) 入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位 任何波动在两个不同界面上的反射和折射现象属于边任何波动在两

20、个不同界面上的反射和折射现象属于边值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的，值问题，它是由波动的基本物理量在边界上的行为确定的，对电磁波来说，是由对电磁波来说，是由E和和B的边值关系确定的。因此，研究的边值关系确定的。因此，研究电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上电磁波反射折射问题的基础是电磁场在两个不同介质界面上的边值关系。的边值关系。4.2 电磁波在介质界面上的电磁波在介质界面上的反射和折射反射和折射一般情况下电磁场的边值关系一般情况下电磁场的边值关系0)()()(0)(12121212BBnDDnHHnEEn一、反射和折射定律一、反射和折射定律 式中式中和和 是

21、面自由电荷、电流密度。这组边值关系是面自由电荷、电流密度。这组边值关系是麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上的结果。在是麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上的结果。在绝缘介质界面上，绝缘介质界面上， =0， =0 。 因在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的，因在一定频率情形下，麦氏方程组不是完全独立的，由第一、二式可导出其他两式。与此相应，边值关系式也由第一、二式可导出其他两式。与此相应，边值关系式也不是完全独立的，由第一、二式可以导出其他两式。不是完全独立的，由第一、二式可以导出其他两式。0)(0)(1212HHnEEn 因此，在讨论时谐电磁波时因此，在讨论时谐电磁波时, 介质界面上的

22、边值关系只介质界面上的边值关系只需考虑以下两式：需考虑以下两式： 虽然介质中虽然介质中B是基本物理量，但由于是基本物理量，但由于H直接和自由电流直接和自由电流相关，而且边界条件也由相关，而且边界条件也由H表出，所以在研究电磁波传播问表出，所以在研究电磁波传播问题时，往往用题时，往往用H表示磁场较为方便。表示磁场较为方便。 设介质设介质1和介质和介质2的分界面为无穷大平面，且平面电磁波的分界面为无穷大平面，且平面电磁波从介质从介质1入射于界面上，在该处产生反射波和折射波。设反射入射于界面上，在该处产生反射波和折射波。设反射波和折射波也是平面波（由下面所得结果可知这假定是正确波和折射波也是平面波（

23、由下面所得结果可知这假定是正确的）。的）。)(0)(0)(0tititieee xkxkxkEEEEEE波矢量分别为波矢量分别为 k、k和和k”。它们的平。它们的平面波表示式分别为面波表示式分别为 设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为设入射波、反射波和折射波的电场强度分别为E、 E和和E” ， 应用边界条件时，注意介质应用边界条件时，注意介质1中的总场强为入射波与反中的总场强为入射波与反射波场强的叠加，而介质射波场强的叠加，而介质2中只有折射波，因此有边界条件中只有折射波，因此有边界条件EnEEn )(先求波矢量方向之间的关系：先求波矢量方向之间的关系：代入场表达式得代入场表达式得xkxk

24、xkEnEEn iiieee000)(此式必须对整个界面成立此式必须对整个界面成立选界面为平面选界面为平面z0，则上式应对，则上式应对z0和任意和任意x，y成立。因成立。因此三个指数因子必须在此平面上完全相等。此三个指数因子必须在此平面上完全相等。0 zxkxkxk由于由于x x和和y y是任意的，它们的系数应各自相等是任意的，它们的系数应各自相等yyyxxxkkk,kkk 如图，取入射波矢在如图，取入射波矢在xz平面上，有平面上，有ky=0,于是于是ky =ky”=0。因此，反射。因此，反射波矢和折射波矢都在同一平面上。波矢和折射波矢都在同一平面上。以以 ， 和和 分别代表入射分别代表入射角

25、，反射角和折射角，有角，反射角和折射角，有 sin,sin,sinkkkkkkxxx设设v1和和v2为电磁波在两介质中的相速，则为电磁波在两介质中的相速，则21,vkvkk 把波矢及它们的分量值代入它们之间的关系式，得把波矢及它们的分量值代入它们之间的关系式，得21sinsin,vv 对电磁波来说对电磁波来说这就是我们熟知的反射和折射定律。这就是我们熟知的反射和折射定律。1v211122sinsinn ，因此，因此n21为介质为介质2相对于介质相对于介质1的折射率。由于除铁磁质外，一的折射率。由于除铁磁质外，一般介质都有般介质都有0，因此通常可以认为，因此通常可以认为就是两介质的相对折射率。频

26、率不同时，折射率亦不同，就是两介质的相对折射率。频率不同时，折射率亦不同，这是色散现象在折射问题中的表现。这是色散现象在折射问题中的表现。12/ 现在应用边值关系式求入射、反射和折射波的振幅关系：现在应用边值关系式求入射、反射和折射波的振幅关系：二、振幅关系二、振幅关系 菲涅耳公式菲涅耳公式 由于对每一波矢由于对每一波矢k有两有两个独立的偏振波，它们在边个独立的偏振波，它们在边界上的行为不同，所以需要界上的行为不同，所以需要分别讨论分别讨论E垂直于人射面和垂直于人射面和E平行于入射面两种情形。平行于入射面两种情形。 coscoscosHHH(1) E 入射面入射面边值关系式为边值关系式为EEE

27、 coscos)(21EEEEH = 0 sin)sin(coscoscoscos2121EE利用已经推得的折射定律得：利用已经推得的折射定律得： sinsincos2coscoscos2211EE边值关系式为边值关系式为 coscoscosEEEHHH (2) E/入射面入射面EEE 21EH = 0并利用并利用已经推得的已经推得的折射定律得：折射定律得： tgtgEE cossinsincos2EE 上述公式称为菲涅耳公式，表示反射波、折射波与上述公式称为菲涅耳公式，表示反射波、折射波与入射波场强的比值。入射波场强的比值。 由这些公式看出，垂直于入射面偏振的波与平行于由这些公式看出，垂直于

28、入射面偏振的波与平行于入射面偏振的波的反射和折射行为不同。如果入射波为入射面偏振的波的反射和折射行为不同。如果入射波为自然光（即两种偏振光的等量混合），经过反射或折射自然光（即两种偏振光的等量混合），经过反射或折射后，由于两个偏振分量的反射和折射波强度不同，因而后，由于两个偏振分量的反射和折射波强度不同，因而反射波和折射波都变为部分偏振光。反射波和折射波都变为部分偏振光。对于对于E/入射面，在入射面，在 + =90的特殊情形下，的特殊情形下，E平行于入平行于入射面的分量没有反射波，因而反射光变为垂直于入射面偏射面的分量没有反射波，因而反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光。这是光学中的布儒斯特

29、（振的完全偏振光。这是光学中的布儒斯特（Brewster）定）定律，这情形下的入射角为布儒斯特角。律，这情形下的入射角为布儒斯特角。 tgtgEE cossinsincos2EE菲涅尔公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关菲涅尔公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在系。在 E 入射面情形，当入射面情形，当 2 1时时 ”，因此，因此E/E为负数，为负数，即反射波电场与入射波电场反相，这现象称为反射过程中即反射波电场与入射波电场反相，这现象称为反射过程中的半波损失。的半波损失。 三、全反射三、全反射 ，若，若1 2 ，则，则n211。当电磁波当电磁波211122sinsinn

30、根据根据时，时，”变为变为90 ，这时折射，这时折射波沿界面波沿界面1221sin n当当从介质从介质1入射时，折射角入射时，折射角 大于入射角大于入射角。掠过。若入射角再增大，使掠过。若入射角再增大，使 sin n21，这时不能定义实数，这时不能定义实数的折射角，因而将出现不同于一般反射折射的物理现象。的折射角，因而将出现不同于一般反射折射的物理现象。现在我们研究这种情况下的电磁波解。现在我们研究这种情况下的电磁波解。假设在假设在 sin n21情形下两介质中的电场形式上仍然不变，情形下两介质中的电场形式上仍然不变，边值关系形式上仍然成立，即仍有边值关系形式上仍然成立，即仍有2121sink

31、nvvkkkkkxx ，在在sin n21情形下有情形下有kx”k” ，因而，因而221222sinnikkkkxz 为虚数为虚数变为变为tizxeeEE xk02212sin ,nkikz 令令上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质上式仍然是亥姆霍兹方程的解，因此代表在介质2中传播的中传播的一种可能波模。在上一节中我们不考虑这种波，是因为当一种可能波模。在上一节中我们不考虑这种波，是因为当z- 时时E” ，因而上式所表示的波不能在全空间中存在。，因而上式所表示的波不能在全空间中存在。但是这里所研究的折射波只存在于但是这里所研究的折射波只存在于z0的半空间中，因此，的半空间中，因此，上式是

32、一种可能的解。上式是一种可能的解。上式是沿上式是沿z轴方向传播的电磁波，它轴方向传播的电磁波，它的场强沿的场强沿z轴方向指数衰减。轴方向指数衰减。则折射波电场表示式则折射波电场表示式因此，这种电磁波只存在于界面附近一薄层内，该层厚度因此，这种电磁波只存在于界面附近一薄层内，该层厚度2212122121sin2sin1nnk1为介质为介质1中的波长一般来说，透入第二介质中的薄层厚中的波长一般来说，透入第二介质中的薄层厚度与波长同数量级。度与波长同数量级。折射波磁场：折射波磁场：EnEkBk212222sinnEEkkHyxz Hz”与与E”同相，同相，但但Hx”与与E”有有90 相位差。相位差。

33、考虑考虑 E”垂直入射面情况垂直入射面情况(E”=Ey”),1sin21222222 nEiEkkHyzx折射波平均能流密度：折射波平均能流密度：2122022*sin21)Re(21neEHESzzyx 由此，折射波平均能流密度只有由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿分量，沿z轴方向透入轴方向透入第二介质的平均能流密度为零第二介质的平均能流密度为零.0)Re(21* xyzHES本节推导出的有关反射和折射的公式在本节推导出的有关反射和折射的公式在 sinn21情形下形情形下形式上仍然成立。只要作对应式上仍然成立。只要作对应1sincos,sinsin212221 nikknkkzx则由菲涅

34、耳公式可以求出反射波和折射波的振幅和相位。则由菲涅耳公式可以求出反射波和折射波的振幅和相位。ieniniEE222122212sincossincos此式表示反射波与入射波具有相同振幅，但有一定的相位差。此式表示反射波与入射波具有相同振幅，但有一定的相位差。反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等，因反射波平均能流密度数值上和入射波平均能流密度相等，因此电磁能量被全部反射出去。这就是全反射。此电磁能量被全部反射出去。这就是全反射。cossin2212ntg例如在例如在E垂直入射面情形，垂直入射面情形，可见可见E和和E振幅相等，但相位不同，因此反射波与入射波的振幅相等，但相位不同，因此反

35、射波与入射波的瞬时能流值是不同的。只是瞬时能流值是不同的。只是 Sz 的平均值为零，其瞬时值不的平均值为零，其瞬时值不为零。由此可见，在全反射过程中第二介质是起作用的。在为零。由此可见，在全反射过程中第二介质是起作用的。在半周内，电磁能量透入第二介质，在界面附近薄层内储存起半周内，电磁能量透入第二介质，在界面附近薄层内储存起来，在另一半周内，该能量释放出来变为反射波能量。来，在另一半周内，该能量释放出来变为反射波能量。 在真空和理想绝缘介质内部，没有能量损耗，电磁波可在真空和理想绝缘介质内部，没有能量损耗，电磁波可以无衰减地传播。以无衰减地传播。 导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子

36、运导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，产生焦耳热，使电磁波能量不断消耗。动形成传导电流，产生焦耳热，使电磁波能量不断消耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波。在传播过程中，因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波。在传播过程中，电磁能量转化为热能。电磁能量转化为热能。4.3 有导体存在时电磁波的传播有导体存在时电磁波的传播 导体内电磁波的传播过程是交变电磁场与自由电子运动导体内电磁波的传播过程是交变电磁场与自由电子运动互相制约的过程，这种相互作用决定导体内电磁波的存在互相制约的过程，这种相互作用决定导体内电磁波的存在形式。所以，先研究导体内自由电荷分布的特点，然后在形

37、式。所以，先研究导体内自由电荷分布的特点，然后在有传导电流分布的情形下解麦克斯韦方程组，分析导体内有传导电流分布的情形下解麦克斯韦方程组，分析导体内的电磁波以及在导体表面上电磁波的反射和折射问题。的电磁波以及在导体表面上电磁波的反射和折射问题。在静电情形下，导体内部不带电，自由电荷只能分布于在静电情形下，导体内部不带电，自由电荷只能分布于导体表面上。在迅变场中情况如何？导体表面上。在迅变场中情况如何？一、导体内的自由电荷分布一、导体内的自由电荷分布 E设导体内部某区域内有自由电荷分布，其密度为设导体内部某区域内有自由电荷分布，其密度为 。这电。这电荷分布激发电场为荷分布激发电场为E，则，则在电

38、场在电场E作用下，导体内引起传导电流作用下，导体内引起传导电流J。由欧姆定律：。由欧姆定律：EJ得到得到 J就有电流从该处向外流出。从物理上看这是很明显的。因就有电流从该处向外流出。从物理上看这是很明显的。因为假如某区域内有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必为假如某区域内有电荷积聚的话，电荷之间相互排斥，必然引起向外发散的电流。由于电荷外流，每一体元内的电然引起向外发散的电流。由于电荷外流，每一体元内的电荷密度减小。由电荷守恒定律得到：荷密度减小。由电荷守恒定律得到：0t解此方程得：解此方程得：tet0)( J说明，当导体内某处有电荷密度说明，当导体内某处有电荷密度 出现时，出现时，式中式中

39、0 为为t=0时的电荷密度。由上式，电荷密度随时间时的电荷密度。由上式，电荷密度随时间指数衰减，衰减的特征时间指数衰减，衰减的特征时间 为为 因此，只要电磁波的频率满足因此，只要电磁波的频率满足1，因而，因而k2的实部可以忽略的实部可以忽略ik 2ieiki4/2iik22222对于良导体情形，这些公式还可以简化。对于良导体情形，这些公式还可以简化。21可见穿透深度不仅与电导率有关，还与频率有关。例如对可见穿透深度不仅与电导率有关，还与频率有关。例如对铜来说，铜来说， 5 107S m-1，当频率为，当频率为 50Hz时，时， 0.9cm；当频率为当频率为 100MHz时，时， 0.7 10-

40、3cm由此可见，对于由此可见，对于高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于高频电磁波，电磁场以及和它相作用的高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应 。zeEE0 波幅波幅 降至原值降至原值1/e的传播距离称为穿透深度，用的传播距离称为穿透深度，用 表示表示 。由由EnEkHi11EnH4ie磁场相位比电场相位滞后磁场相位比电场相位滞后45 。而且由于。而且由于1EHn为指向导体内部的法线。对于为指向导体内部的法线。对于良导体，有良导体，有HEi可以得到：可以得到：金属内部磁场远比电场重要，金属内电磁波的能量主要是磁金属内部磁场远比电场

41、重要，金属内电磁波的能量主要是磁场能量。场能量。 和绝缘介质情形一样，反射问题应从边值关系入手。和绝缘介质情形一样，反射问题应从边值关系入手。在一般入射角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂。在一般入射角下，由于导体内电磁波的特点使计算比较复杂。垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以显示出导体反射垂直入射情形计算较为简单，而且已经可以显示出导体反射的特点。因此这里只讨论垂直入射情形。的特点。因此这里只讨论垂直入射情形。四、导体表面上的反射四、导体表面上的反射 设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射波和透设电磁波由真空入射于导体表面，在界面上产生反射波和透入导体内的折射波。垂直入射情

42、形，电磁场边值关系为：入导体内的折射波。垂直入射情形，电磁场边值关系为：HHHEEE ，EiEE 120按良导体计算，取按良导体计算，取=0，则，则 与第一式联立，得与第一式联立，得所以，边值关系第二式变为：所以，边值关系第二式变为：，EH00，EH00)1 (20iEH 002121iiEE020202221121121iEER 反射系数：反射系数： 由此可见，导体的导电性越好，反射系数越高。理想由此可见，导体的导电性越好，反射系数越高。理想导体的反射系数为导体的反射系数为1，即理想导体内部没有电磁波，这就是，即理想导体内部没有电磁波，这就是理想导体对电磁波的屏蔽作用。所以，理想导体表面是电

43、理想导体对电磁波的屏蔽作用。所以，理想导体表面是电磁场的边界。磁场的边界。由于趋肤效应，高频下仅在导体表面薄层内有电流通过。由于趋肤效应，高频下仅在导体表面薄层内有电流通过。取取z轴沿指向导体内部的法线方向。导体内体电流密度为轴沿指向导体内部的法线方向。导体内体电流密度为 tizizeytt,0 xExExJ解：解：单位横截线的电流单位横截线的电流zf0dJzeziz-f00dE，E0为表面上的电场值。为表面上的电场值。tg其中其中iei2200EE例例2 计算高频下良导体的表面电阻。计算高频下良导体的表面电阻。导体内平均损耗功率密度为导体内平均损耗功率密度为zeE220*21Re21EJ这一

44、电流虽然是积分到无穷远，单实际上只分布于表这一电流虽然是积分到无穷远，单实际上只分布于表面附近厚度约为面附近厚度约为 -1的薄层内。所以通常把它电流看作的薄层内。所以通常把它电流看作面电流。式中面电流。式中E0为表面上的电场强度。为表面上的电场强度。导体表面单位面积平均损耗功率为导体表面单位面积平均损耗功率为4d21200220EzeEPzLf02224f0为面电流密度的峰值为面电流密度的峰值f0221LP导体在高频下的电阻相当于厚度为导体在高频下的电阻相当于厚度为的薄层的直流电阻的薄层的直流电阻把把 1/ 代入得代入得 第一节我们研究了无界空间中的电磁波。在无界空间中，第一节我们研究了无界空

45、间中的电磁波。在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，这种波的电场和磁电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡。这种类型的波称为横电磁（场都作横向振荡。这种类型的波称为横电磁（TEM）波。）波。 一、有界空间中的电磁波一、有界空间中的电磁波4.4 谐振腔谐振腔 对于理想导体（电导率对于理想导体（电导率 ）,电磁波全部被导体反射，电磁波全部被导体反射，穿透深度趋于零，因此，导体表面自然构成电磁波存在的边穿透深度趋于零，因此，导体表面自然构成电磁波存在的边界。界。 从电磁波与导体的相互作用可知，电磁波主要是在导从电磁波与导体的相互作用可知，电磁波主要是在导体以外

46、的空间或绝缘介质内传播的，只有很小部分电磁能量体以外的空间或绝缘介质内传播的，只有很小部分电磁能量透入导体表层内。透入导体表层内。 这种有界空间中传播的电磁波有其本身的特点，而且广这种有界空间中传播的电磁波有其本身的特点，而且广泛应用在许多无线电技术的实际问题中。泛应用在许多无线电技术的实际问题中。例如例如: 在微波技术中，常用波导来传输电磁能量。波导是中在微波技术中，常用波导来传输电磁能量。波导是中空的金属管，电磁波在波导管内空间中传播，而金属管壁作空的金属管，电磁波在波导管内空间中传播，而金属管壁作为电磁场存在的边界制约着管内电磁波的存在形式。为电磁场存在的边界制约着管内电磁波的存在形式。

47、又如：在高频技术中常用谐振腔来产生一定频率的电磁振荡。又如：在高频技术中常用谐振腔来产生一定频率的电磁振荡。谐振腔是中空的金属腔，电磁波在腔内以某些特定频率振荡。谐振腔是中空的金属腔，电磁波在腔内以某些特定频率振荡。 这类有界空间中的电磁波传播问题属于边值问题，在这类有界空间中的电磁波传播问题属于边值问题，在这类问题中导体表面边界条件起着重要作用。因此下面先对这类问题中导体表面边界条件起着重要作用。因此下面先对导体界面边界条件作一般讨论。导体界面边界条件作一般讨论。 实际导体虽然不是理想导体，但是对于大多数金属导实际导体虽然不是理想导体，但是对于大多数金属导体而言，无线电波透入其内而损耗的电磁

48、能量很小，接近体而言，无线电波透入其内而损耗的电磁能量很小，接近于理想导体。因此，分析实际问题时，在第一级近似下，于理想导体。因此，分析实际问题时，在第一级近似下，把金属看作理想导体，把问题解出来，然后在第二级近似把金属看作理想导体，把问题解出来，然后在第二级近似下，再考虑有限电导率引起的能量损失。下，再考虑有限电导率引起的能量损失。二、理想导体边界条件二、理想导体边界条件 对于一定频率的电磁波，两不同介质（包括导体）界对于一定频率的电磁波，两不同介质（包括导体）界面上的边值关系可以归结为：面上的边值关系可以归结为：0)(12EEnHHn)(12)(12DDn0)(12BBn式中式中n为由介质

49、为由介质1指向介质指向介质2的法线。这两等式成立后，另外的法线。这两等式成立后，另外两个关于法向分量的关系：两个关于法向分量的关系：自然能够满足。自然能够满足。取角标取角标1代表理想导体，角标代表理想导体，角标2代表真空或绝缘介质。取法代表真空或绝缘介质。取法线由导体指向介质中。在理想导体情况下，导体内部没有线由导体指向介质中。在理想导体情况下，导体内部没有电磁场，因此，电磁场，因此，E1=H1=0。导体表面边界条件：导体表面边界条件：略去角标略去角标2，以，以E和和H表示介质一侧的场强，有边界条件：表示介质一侧的场强，有边界条件： 0EnHn注意：注意：E和和H表示介质一侧的场强，表示介质一

50、侧的场强，n是从界面指向介质中。是从界面指向介质中。在实际问题中，方程在实际问题中，方程，再加上，再加上022EEk，0 E，0EnHn就可以得到该边值问题的解。就可以得到该边值问题的解。其中其中nH=反映介质中电磁反映介质中电磁波的磁场强度与导体表面上高频电流的相互关系，其用途波的磁场强度与导体表面上高频电流的相互关系，其用途主要是在解出介质中电磁波后，由它计算导体表面电流的主要是在解出介质中电磁波后，由它计算导体表面电流的分布，以便计算第二级近似时求能量损耗，所以，真正制分布，以便计算第二级近似时求能量损耗，所以，真正制约电磁波存在形式的是约电磁波存在形式的是，0En022EEk0 E0E

51、n理想导体界面边界条件可以形象地表述为，在导体表面上，理想导体界面边界条件可以形象地表述为，在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。实际求解时，先看方程实际求解时，先看方程 E=0对边界电场的限制往往能对边界电场的限制往往能够带来方便。够带来方便。0nEn在边界面上，若取在边界面上，若取x，y轴在切面上，轴在切面上，z轴沿法线方向，由轴沿法线方向，由于该处于该处Ex=Ey=0，因此方程，因此方程 E=0在靠近边界上为在靠近边界上为 Ez/ z0，即，即0nE综上所述，以理想导体为边界的电磁波，满足：综上所述，以理想导体为边界的电磁波，满足：02

52、2EEk0tEk0nEn两无穷大的平面导体平行放置，则其间只能传播两无穷大的平面导体平行放置，则其间只能传播y方向偏振的方向偏振的TEM电磁波。电磁波。例：例：设两导体板与设两导体板与y轴垂直。轴垂直。边界条件为：在两导体边界条件为：在两导体平面上，平面上，证：证：Ex=Ez=0 , Hy=0 电场沿电场沿y轴方向偏振，则此平面波满足导体板上的边轴方向偏振，则此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体板之间传播。界条件，因此可以在导体板之间传播。若沿若沿z轴传播的平面电磁波的轴传播的平面电磁波的注意：注意：H是无散场，是无散场，H场线闭合或延伸至无穷远。场线闭合或延伸至无穷远。另一种偏振的

53、平面电磁波另一种偏振的平面电磁波(E与导体面相切与导体面相切)不满足不满足边界条件，因而不能在导边界条件，因而不能在导体面间存在。所以在两导体面间存在。所以在两导体板之间只能传播一种偏体板之间只能传播一种偏振的振的TEM平面波。平面波。EH 实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件激发。低频无线电波采用激发。低频无线电波采用LC回路产生振荡。在回路产生振荡。在LC回路中，回路中，集中分布于电容内部的电场和集中分布于电感线圈内部集中分布于电容内部的电场和集中分布于电感线圈内部的磁场交替激发，以一定频率振荡的磁场交替激发，以一定频率振荡LC21三、谐

54、振腔三、谐振腔如果要提高谐振频率，必须减小如果要提高谐振频率，必须减小L或或C的值。的值。 频率提高到一定限度后，具有很小的频率提高到一定限度后，具有很小的C和和L值的电容值的电容和电感不能再使电场和磁场集中分布于它们内部，这时和电感不能再使电场和磁场集中分布于它们内部，这时向外辐射的损耗随频率提高而增大。向外辐射的损耗随频率提高而增大。另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗亦增大。因此另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗亦增大。因此LC回路回路不能有效地产生高频振荡。不能有效地产生高频振荡。在微波范围，通常采用具有金属壁面的谐振腔来产生高在微波范围，通常采用具有金属壁面的谐振腔来产生高频振荡。在光学中，也

55、采用由反射镜组成的光学谐振腔频振荡。在光学中，也采用由反射镜组成的光学谐振腔来产生近单色的激光束。来产生近单色的激光束。如图，取金属壁的内表面分别为如图，取金属壁的内表面分别为x0和和L1，y=0和和 L2, z0和和L3面。面。腔内电磁波的电场和磁场任一直角腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量都满足亥姆霍兹方程。分量都满足亥姆霍兹方程。1. 矩形谐振腔内的电磁振荡矩形谐振腔内的电磁振荡设设u(x,y,z)为为E或或H 的任一直角分量，有的任一直角分量，有022uku用分离变量法用分离变量法,令令)()()(),(zZyYxXzyxu代入方程：代入方程：022uku0dddddd2222222X

56、YZkXYzZXZyYYZxX0dd1dd1dd12222222kzZZyYYxXX可以得到三个方程可以得到三个方程，0dd222XkxXx2222zyxkkk其中其中解出解出X，Y，Z后，便可得到后，便可得到u的通解。解得的通解。解得u(x,y,z)的通解为：的通解为：，0dyd222YkYy0dd222ZkzZz)sincos( )sincos( )sincos(),(332211zkDzkCykDykCxkDxkCzyxuzzyyxx式中式中Ci，Di为任意常数。把为任意常数。把u(x,y,z)具体化为具体化为E的各分的各分量时，考虑边界条件可得对这些常数的一些限制。量时，考虑边界条件可

57、得对这些常数的一些限制。 例如考虑例如考虑Ex，通解为：，通解为：)sincos( )sincos( )sincos(),(332211zkDzkCykDykCxkDxkCzyxEzzyyxxx对对x0壁面来说，壁面来说，Ex是法向分量，当是法向分量，当 x0时，时， Ex/ x 0得到得到D1=0。Ex对对y=0和和z0面来说是切向分量，当面来说是切向分量，当y0和和z=0时时, Ex =0，得到得到C2=0，C3=0。对对Ey和和Ez思路相同，便可得到：思路相同，便可得到：.cossinsin,sincossin,sinsincos321zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzy

58、xzzyxyzyxx再考虑再考虑x=L1，y=L2，z=L3面上的边界条件，得面上的边界条件，得kxL1，kyL2和和kzL3必须为必须为 的整数倍，即的整数倍，即,321LpkLnkLmkzyxm，n，p分别代表沿矩形三边所含的半波数目。分别代表沿矩形三边所含的半波数目。.2 ,1 ,0,pnm式中含三个任意常数式中含三个任意常数A1、A2 和和A3。由方程。由方程 E=0，它们之，它们之间应满足关系间应满足关系0321AkAkAkzyx因此因此A1 , A2 和和A3中只有两个是独立的。通常使中只有两个是独立的。通常使A1和和A2独立独立变化，变化，A3由由A1和和A2表示。例如三个振幅分

59、别为：表示。例如三个振幅分别为：),0,(11zxkAkA),0(22zykAkA或或由数学知识可知，这两个向量线性无关。所以任何电场的由数学知识可知，这两个向量线性无关。所以任何电场的三个分量的振幅组成的向量，均可由以上两个向量的线性三个分量的振幅组成的向量，均可由以上两个向量的线性组合来表示。组合来表示。2. 讨论讨论 矩形谐振腔中矩形谐振腔中.cossinsin,sincossin,sinsincos321zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyxzzyxyzyxx代表腔内的一种谐振波模，或称为腔内电磁场的一种代表腔内的一种谐振波模，或称为腔内电磁场的一种本征振荡。对每一组（

60、本征振荡。对每一组（m，n，p）值，有两个独立偏）值，有两个独立偏振波模，即振波模，即), 0 ,(11zxkAkA), 0(22zykAkA 和和 谐振频率由谐振频率由m,n,p决定决定232221LpLnLmmnp2222zyxkkk mnp称为谐振腔的本征频率。称为谐振腔的本征频率。 由上式可知，有可能存在不同的由上式可知，有可能存在不同的m,n,p组合，组合，其频率相等，这称为其频率相等，这称为“模式简并模式简并”。.sinsinsin,sincossin,sinsincos321zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyxzzyxyzyxx 由由E的表达式可知，的表达式可知