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文档简介

1、本科生实验报告实验课程数值计算方法学院名称信息科学与技术学院专业名称计算机科学与技术学生姓名学生学号指导教师实验地点实验成绩二一六年五月二一六年五月1实验一非线性方程求根1.1 问题描述实验目的 :掌握非线性方程求根的基本步骤及方法,。实验内容 :试分别用二分法、 简单迭代法、 Newton 迭代法、弦截法 (割线法、双点弦法 ),求 x5-3x3 +x-1= 0 在区间 -8,8 上的全部实根,误差限为 10-6。要求:讨论求解 的全过程,对所用算法的局部收敛性,优缺点等作分析及比较,第2章算法思想2.1 二分法思想:在函数的单调有根区间内,将有根区间不断的二分,寻找方程的解。步骤: 1.取

2、中点 mid=(x0+x1)/22.若 f(mid)=0, 则 mid 为方程的根,否则比较与两端的符号, 若与 f(x0)异号,则根在 x0,mid 之间,否则在 mid,x1 之间。3 并重复上述步骤,直达达到精度要求,则mid 为方程的近似解。开始读入 a,b,emid=(a+b)/2F(a)*f(b)0是a=midb=midno|a-b|e?yes输出 mid结束22.2简单迭代法思想:迭代法是一种逐次逼近的方法,它是固定公式反复校正跟的近似值,使之逐步精确,最后得到精度要求的结果。步骤: 1.构造迭代公式f(x) ,迭代公式必须是收敛的。2.计算 x1,x1=f(x0).3.判断 |

3、x1-x0|是否满足精度要求,如不满足则重复上述步骤。4输出 x1,即为方程的近似解。开始输入 x0,eX1=f(x0)f为迭代函数X1=x0;No|x1-x0|eyes输出 x1结束32.3 Newton 迭代法思想:设 r 是的根,选取作为 r 的初始近似值, 过点做曲线的切线 L,L 的方程为,求出 L 与 x 轴交点的横坐标,称 x1 为 r 的一次近似值。过点做曲线的切线,并求该切线与x 轴交点的横坐标,称为 r 的二次近似值。重复以上过程, 得 r 的近似值序列,其中,称为 r 的次近似值步骤: 1. 计算原函数的导数f (x); 构造牛顿迭代公式2. 计算, 若 f (x0)=0

4、, 退出计算, 否则继续向下迭代。3. 若|x1-x0| 满足精度要求, x1 即为方程的近似解。开始输入x0,ef (x0)=0X1=x0-f(x0)/f(x1)X1=x0;No|x1-x0|=X2=x1;f(x1)=f(x0);|f(x2)|e?f(x2)=f(x1);No输出 x2结束5第 3 章 测试结果及分析测试结果函数图像函数 Y=x5-3x3+x-1二分法 (表 1-1,1-2,1-3)-1.6,-1.3kxkkxkkxk0-1.455-1.5015610-1.504931-1.5256-1.5039111-1.5052-1.48757-1.5050812-1.505043-1.

5、506258-1.5044913-1.505064-1.496889-1.5047914-1.50507表 1-1区间 -1.2,-0.9kxkkxkkxk0-1.055-0.99843710-1.000051-0.9756-1.0007811-0.9999762-1.01257-0.99960912-1.0000163-0.993758-1.000213-0.9999944-1.003129-0.99990214-1表 1-2区间 1.5,1.8kxkkxkkxk01.6571.69102141.6902911.72581.69043151.6902921.687591.69014161.6

6、902931.70625101.69028171.6902841.69687111.69036181.6902851.69219121.6903261.68984131.6903表 1-3简单迭代法(表2-1.2-2.2-3)初值 -1.5kxkkxkkxk1-1.57-1.5043513-1.504932-1.502178-1.5045314-1.504973-1.502879-1.50466151.504994-1.5034110-1.5047616-1.505015-1.5038111-1.5048317-1.505046-1.5041212-1.5048918-1.50505表 2-1

7、初值 -1kx1-12-1表 2-27初值 1.6结果 x=1.69028kxkkxkkxk11.681.68862151.6902321.6566991.68927161.6902531.66987101.68967171.6902741.6779111.68991181.6902751.68278121.69006191.6902861.68573131.69015201.6902871.68753141.6902表 2-3牛顿迭代法(表3-1.3-2,3-3)初值 -1.5结果x= -1.50507kxkkxk1-1.54-1.505042-1.504715-1.505063-1.504

8、976-1.50507表 3-1初值 -1结果x=-1.50507kx1-12-1表 3-2初值 1.6结果 x=1.69028kxkkxk11.651.6902421.6860261.6902731.6889371.6902841.6898581.69028表 3-38双点弦法(表4-1.4-2, 4-3)区间 -1.6,-1.3结果 x=-1.50507kxkf(xk)kxkf(xk)1-1.50.031255-1.506670.07845662-1.661490.3765026-1.505-0.0100793-1.47175-1.563227-1.505070.0004409884-1.

9、4920.1868018-1.505072.30387e-006表 4-1区间 -1.2,-0.9结果x= -1kxkf(xk)1-1.013930.04156782-1.00020.0006077773-0.999999-3.11969e-0064-12.11001e-010表 4-2区间 1.5,1.8结果 x=1.69028kxkf(xk)11.64403-0.67645521.68071-0.15110631.691260.015798841.69027-0.00031351551.69028-6.3006e-007表 4-3从测试结果可以看出二分法和简单迭代法的收敛速度远大于牛顿迭代

10、和弦截法的收敛速度。 二分法和简单迭代法的公式易于构造和计算,牛顿迭代法虽然收敛高,但要求导数,计算的复杂度高!双点弦法随稍慢于牛顿跌代法,可以用差商代替牛顿迭代法中的导数,降低了计算的复杂度!9附录:源程序清单#include#includeusing namespace std;double foot =0.3;/ 定义寻根步长int a=-8,b=8;double * rn=new double5;/解的区间double * r = new double5;/ 方程近似解int m=0;/ 根的个数int x_count ;double precision =0.000001;/ 精度要

11、求/ 函数的表达式(x5-3x3+x-1 )double f (double x)return (pow(x,5)-3* pow( x,3)+ x-1);void init ()/ 根据函数图像确定根的区间和迭代初值r0=- 1.5;r1=- 1;r2= 1.6;rn0=- 1.6;rn1=- 1.2;rn2= 1.5;/ 寻找根的区间void search()/若没有给出区间和初值,进行逐步搜索有根区间for(int i=0;i * foot -88;i+)if(f (i* foot -8)* f( i+1)* foot -8)precision )mid = (a+b)/ 2;if(f (

12、a)* f (mid )= 0) b=mid ;/判断与端点函数值得符号else a=mid;coutmid endl;rx_count += mid ;return mid ;/ 返回最终结果/=简单迭代法 =/ 构造迭代公式double fitera ( double x)double result=0;double xx=3* pow(x,3)- x+1;if(xx =0)xx =-xx ;return pow(xx ,1.0/5.0)*(- 1);elsereturn pow(xx ,1.0/5.0);/ 简单迭代double itera (double x0 )coutx0 prec

13、ision)x0=x1;x1=fitera ( x0); /没有到达精度要求继续迭代 coutx1 precision)x0=x1;if (newtonitera (x0)=- 1) break ;x1=newtonitera (x0);/继续迭代coutx1 endl;return x1;/返回最终结果/=双点弦法迭代 =/ 构造弦截法的迭代公式double twopointchord_f ( double x0,double x1)return x1-( f(x1)/( f(x1)- f(x0 )*( x1-x0);/ 双点弦法迭代double twopointchord (double

14、x0,double x1)double x3=twopointchord_f ( x0,x1);coutx3precision )coutf(x3) f(x3 )endl ;/输出 x3 的函数值x0=x1;x1=x3;x3=twopointchord_f (x0,x1);/没有到达精度要求继续迭代/coutx3endl;coutf(x3) endl;return x3;/ 返回最终结果/ 测试void main ()12init ();/ 初始化区间和迭代初值/*测试代码输出每次的迭代结果和最终结果cout-二分法 -endl;for(int i =0;i3;i+)double result

15、=0;cout 有根区间为 rnirni+footendl;result=Dichotomy(rni,rni+foot);/ 将区间端点带入公式cout 求得近似解为 resultendl;cout-迭代法 -endl;for(i =0;i3;i+)double result=0;cout 有根区间为 rnirni+footendl;double x0 =ri;/取得初值result=itera(x0);/带入公式cout 求得近似解为 resultendl;cout-牛顿迭代 -endl;for(i =0;i3;i+)double result=0;cout 有根区间为 rnirni+footendl;double x0 =ri;/ 取得初值result=newton(x0);/ 带入公式cout 求得近似解为 resultendl;cout-弦截法 -endl;for(i =0;i3;i+)double result=0;cout 有根区间为 rnirni+footendl;result=twopointchord(rni,rni+foot);/将区间端点带入公式cout 求得近似解为 resultendl;/*13学生实验心得在这次实验中,通过编程将二分法、简单迭代法、Newton 迭代法、弦截法 ( 割线法、双点弦法 )

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