数理方程与特殊函数数理方程复习ppt课件

1、1/24复习偏微分方程的数学模型偏微分方程的数学模型二阶偏微分方程分类化简及求通解二阶偏微分方程分类化简及求通解分别变量法和固有值问题分别变量法和固有值问题达朗贝尔公式及其运用达朗贝尔公式及其运用付里叶变换定义及性质付里叶变换定义及性质几种特殊区域的格林函数几种特殊区域的格林函数贝塞尔方程和贝塞尔函数贝塞尔方程和贝塞尔函数2/24Ex1. 长为长为L,密度为密度为 的底半径为的底半径为R 的均匀圆锥杆的均匀圆锥杆(轴轴线程度线程度)作纵振动作纵振动,锥的顶点固定在锥的顶点固定在x=0处。导出此杆处。导出此杆的振动方程的振动方程 解解:在在 x 处处, 半径半径 r(x) =Rx/L, 取取dx

2、 微元微元),()(),()(txuxYStdxxudxxYSFxx ux 为相对伸长率为相对伸长率, Y 是杨氏模量是杨氏模量2)/()(LRxxS 2/ )()(LdxxRdxxS 由牛顿第二定律由牛顿第二定律,得得ttxxSdxutxuxYStdxxudxxYS ),()(),()(ttxxuxuxY22)( 3/241. 假设假设 a122 a11a22 0,称微分方程为双曲称微分方程为双曲型的型的3. 假设假设 a122 a11a22 0 0 时，二阶常微分方程通解为时，二阶常微分方程通解为 )sin()cos(xBxAy 由边境条件，得由边境条件，得B = 0 B = 0 nL L

3、nn 所求固有值为所求固有值为 222Lnn 固有函数固有函数 xLnAxynn cos)( ( n = 0,1,2, ) 10/24过三点过三点 (0, 0), (L/2, h), (L, 0) 的抛物线作初始位移的抛物线作初始位移hLxLxx2)(4)( 0),(0, 0)0,0( ,0002tttLxxxxttuxuuutLxuau hLxLxxLnCxunn21)(4sin)0 ,( n1 1sin)sincos(),(nnnLxnLatnDLatnCtxu Ex 9. dLnLLLCLnsin)(4202 11/24Ex10. 用分别变量法求解用分别变量法求解 0),sin(0, 0

4、0, 100010tttxxxxttuxuuutxuu Ex11. 求解方程求解方程 0, 00, 0)0,0(,0002tttLxxxxttuuuutLxguauEx12. 求解方程求解方程 0, 0, 00002tttLxxxxttuuBuuAuau12/2422222xuatu )(),(00 xtuxutt 0, tx达朗贝尔公式达朗贝尔公式 atxatxdaatxatxtxu )(21)()(21),( )0(, 0, 0)0(),()0 ,(),()0 ,()0,0( , 02ttuxxxuxxutxuautxxtt atxatxdaatxatxtxu )(21)()(21),(x

5、 at 0 x at 0 的格林函数的格林函数( x0 , y0 )( x0 , y0 )( x y )1ln1ln21),(100PMPMrrMPG 23/24 022)1(!2)1()(mmnmnmnmnmxxJEx21. 证明证明 02)2/1(2)2/1(2/1)2/11(!2)1()(mmmmmmxxJ)2/1()2/1()2/11( mmm)2/1()2/1()2/3)(2/1( mm mm2!)!12( )2/11(!2)1(2)2/1(2)2/1( mmxmmm mmmmmmx2!)!12(!2)1(2)2/1(2)2/1( )!2()1(2)!2()1(222)2/1(2/1mxxmxmmmm xxxJcos2)(2/1 证证:24/24Ex22 推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程推导出下面定解问题所连带的贝塞尔方程不解贝塞尔方程不解贝