高考数学(理数)二轮复习高考大题专项练05《解析几何》AB卷（教师版）

1、五解析几何(A)1.给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程;(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个公共点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;求证:|MN|为定值.2.已知椭圆C的左右顶点分别为A,B,A点坐标为(-2,0),P为椭圆C上不同于A,B的任意一点,且满足kAPkBP=-12.(1)求椭圆C的方程;(

2、2)设F为椭圆C的右焦点,直线PF与椭圆C的另一交点为Q,PQ的中点为M,若|OM|=|QM|,求直线PF的斜率.3.已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为322,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|BF|的最小值.4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为,椭圆C与y轴交于A,B两点,且|AB|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P是椭圆C上的一个动点,且点P在y轴

3、的右侧.直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E,F,求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.五解析几何(B)1.已知椭圆C1:x2a2+y2=1(a1)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M.(1)求点M的轨迹C2的方程;(2)当直线AB与椭圆C1相切,交C2于点A,B,当AOB=90时,求AB的直线方程.2.已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心C的轨迹;(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切

4、点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.3.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y1y2=-4.(1)求抛物线方程;(2)点B在准线l上的投影为E,D是C上一点,且ADEF,求ABD面积的最小值及此时直线AD的方程.4.在平面直角坐标系xOy中,动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4.(1)求动点M的轨迹的方程;(2)已知斜率为12的直线l交于不同的两点A,B,是否存在定点P,使得直线PA,PB的斜率的和恒等于0,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案A卷1.(1)解:由题意知c=2,a

5、=3,所以b=1.所以椭圆的方程为+y2=1,“准圆”的方程为x2+y2=4.(2)解:因为“准圆”x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),设过点P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,联立方程组y=kx+2,x23+y2=1,消去y,得到(1+3k2)x2+12kx+9=0,因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点,所以=144k2-49(1+3k2)=0,解得k=1.所以l1,l2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.证明:a.当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=3或x=-3.当l1的方程为x=3时,此时l1与准圆

6、交于点(3,1),(3,-1),此时经过点(3,1)(或(3,-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),即l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直;同理可证l1方程为x=-3时,直线l1,l2垂直.b.当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=4,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,联立方程组消去y得到x2+3tx+(y0-tx0)2-3=0,即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,=6t(y0-tx0)2-4(1+3t2)3(y0-tx0)2-3=0,经过化简得到(

7、3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0,因为x02+y02=4,所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,设l1,l2的斜率分别为t1,t2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以t1,t2满足上述方程(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,所以t1t2=x02-33-x02=-1,即l1,l2垂直.综合a和b知l1,l2垂直,因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其“准圆”于点M,N,且l1,l2垂直,所以线段MN为“准圆”x2+y2=4的直径,所以|MN|=4.2.解:(1)设P(x,y)(x2),所以kAPkBP=-12,所以=-12,

8、整理得+y2=1(x2),因为A,B两点在椭圆上,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且k0,设过焦点F的直线方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),联立x22+y2=1,x=my+1,则(m2+2)y2+2my-1=0,所以所以x0=2m2+2,y0=-mm2+2,所以|OM|=,而|QM|=12|PQ|=12(1+m)24m2(m2+2)2+4(m2+2)(m2+2)2=12(m2+1)(8m2+8)(m2+2)2=m2+1m2+2.因为|OM|=|QM|,所以=2m2+1m2+2,所以m2=12,所以k2=2,所以k=2.因此,直线

9、PF的斜率为2.3.解:(1)因为抛物线C的焦点F(0,c)(c0)到直线l:x-y-2=0的距离为322,所以=322,得c=1,所以F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=4y得y=12x,所以切线PA:y-y1=12x1(x-x1),有y=12x1x-12x12+y1,而x12=4y1,即切线PA:y=12x1x-y1,同理可得切线PB:y=12x2x-y2.因为两切线均过定点P(x0,y0),所以y0=12x1x0-y1,y0=12x2x0-y2,由此两式知点A,B均在直线y0=12xx0-y上,所以直线AB的方程为y0=12

10、xx0-y,即y=12x0x-y0.(3)设点P的坐标为(x,y),由x-y-2=0,得x=y+2,则|AF|BF|=x12+(y1-1)2x22+(y2-1)2=4y1+(y1-1)24y2+(y2-1)2=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得y2+(2y-x2)y+y2=0,有y1+y2=x2-2y,y1y2=y2,所以|AF|BF|=y2+x2-2y+1=y2+(y+2)2-2y+1=2(y+12)2+92,当y=-12,x=32时,即P(32,-12)时,|AF|BF|取得最小值92.4.解:(1)由题意可得,2b=2,即b=1,e=ca=,得a2-1a2=34

11、,解得a2=4,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)法一设P(x0,y0)(00,解得x0(85,2.则|x1-x2|=25-8x0(85x02),所以当x0=2时,该圆被x轴截得的弦长最大值为2.法二设P(x0,y0)(0x02),A(0,-1),B(0,1),所以kPA=y0+1x0,直线PA的方程为y=x-1,同理,直线PB的方程为y=y0-1x0x+1,直线PA与直线x=4的交点为M(4,-1),直线PB与直线x=4的交点为N(4,+1),若以MN为直径的圆与x轴相交,则-1+10,即16(y02-1)x02-+-10,即16(y02-1)x02+-10,解得x0(85,2.该圆的直径

12、为|-1-+1 |=|2-|,圆心到x轴的距离为12|-1+4(y0-1)x0+1|=|,该圆在x轴上截得的弦长为2(1-4x0)2-(4y0x0)2=25-8x0(851,又由消y得k2x2+(2km-4)x+m2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4-2kmk2,x1x2=m2k2,且有得k0,km0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得y=14x2,所以y=12x.所以过A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入整理得y=12x1x-14x12.因为切线过P(

13、m,-4),代入整理得x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.所以x1,x2为方程x2-2mx-16=0的两个根,所以x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.所以b=4,k=,AB的方程为y=x+4.当x=0时,y=4,所以直线AB恒过定点(0,4).3.解:(1)依题意F(,0),当直线AB的斜率不存在时,y1y2=-p2=-4,p=2,当直线AB的斜率存在时,设AB:y=k(x-),由y2=2px,y=k(x-p2),化简得y2-y-p2=0,由y1y2=-4得p2=4,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设

14、D(x0,y0),B(,t),则E(-1,t),又由y1y2=-4,可得A(,-),因为kEF=-,ADEF,所以kAD=,故直线AD:y+=(x-),即2x-ty-4-=0,由y2=4x,2x-ty-4-8t2=0,化简得y2-2ty-8-16t2=0,所以y1+y0=2t,y1y0=-8-16t2.所以|AD|=1+t24|y1-y0|=1+t24(y1+y0)2-4y1y0=,设点B到直线AD的距离为d,则d=,所以SABD=12|AD|d=14(t2+16t2+8)316,当且仅当t4=16,即t=2时取等号,当t=2时,AD:x-y-3=0,当t=-2时,AD:x+y-3=0.4.解

15、:(1)设动点M的坐标为(x,y),因为动点M到点(-1,0)与点(1,0)的距离和为4,42,根据椭圆的定义,知所求的动点M的轨迹是以点(-1,0)与点(1,0)为焦点的 椭圆.所以c=1,2a=4,c2=a2-b2,解得所以轨迹的方程为+=1.(2)假设存在定点P(x0,y0),使得直线PA,PB的斜率的和为0.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.斜率为12的直线l的方程为y=12x+m(mR),由得x2+mx+m2-3=0,所以=m2-4(m2-3)=-3(m2-4)0,所以m24,解得-2m2.又所以y1+y2=12(x1+x2)+2m=32m,因为k1+k2=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=0,所以(y1-y0)(x2-x0