2必修二点线面之间的位置关系测试题含答案1130

1、2第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1 .设P为两个不同的平面，l, m为两条不同的直线，且 ls , m? P ,有如下的两个命题：若 " / P ,则l / m ；若 l±m ,则 a，F .那么（）.A.是真命题，是假命题B.是假命题，是真命题C.都是真命题D.都是假命题2 .如图，ABCD AiBiCiDi为正方体，下面结论错误.的是().A. BD/平面 CBiDiB. ACi±BDC. AG，平面 C0DiD.异面直线AD与CBi角为603 .关于直线 m, n与平面小，外有下列四个命题： m/a, n/PJ! a/P,则 m/n;m，a,

2、 n ± P IL «± P ,则 m± n;m，a, n/PJ! a/P,则 m，n; m/a, n ± P IL a± P ,则 m / n.其中真命题的序号是().A.B.C.D.4 .给由下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线li, I2与同一平面所成的角相等，则li, I2互相平行若直线li, I2是异面直线，则与li, I2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是（）.*A. 1B. 2C. 3D. 45 .下列命题中正确的个数是 （）.若直线l上有无数个点不在平面 a内，

3、则l / u若直线l与平面口平行，则l与平面口内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点A.0 个B. 1 个C. 2 个D.3个6 .两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（）.A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个D.只有两个7 .把正方形 ABCD沿对角线AC折起，当以 A, B, C, D四 点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD和平面ABC所成的 角的大小为（ ）.A. 90B. 60C. 45D. 308.下列说法中不正确的 是（）. A.空间中

4、，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边 形8 .同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这 些直线在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9 .给由以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面 和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平 行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是（）.A. 4B. 3C2D. 110 .异面直线a, b所成的角60°,直

5、线a±c,则直线b与c 所成的角的范围为（）.A. 30 , 90 B. 60 , 90 C. 30 , 60 D. 30 , 120 二、填空题11 .已知三棱锥 PABC的三条侧棱 PA, PB, PC两两相互垂 直，且三个侧面的面积分别为 6, S2, S3,则这个三棱锥的 体积为.12 . P是4ABC所在平面 口外一点，过P作PO,平面 垂 足是 O,连 PA, PB, PC.（1）若 PA= pb= PC,贝U。为 ABC 的 心；（2） PAXPB , PAX PC , PCXPB ,则 O 是 AABC 的 心；（3）若点P到三边AB, BC, CA的距离相等，则 。

6、是4ABC 的 心；（4）若 PA=PB=PC, /C=90o,则。是 AB 边的 点；B （第13题）（5）若 PA=PB=PC, AB=AC,则点 O 在 ABC 的线上.13 .如图，在正三角形 ABC中，D, E, F分别为各边的中点，G, H, I, J分别为AF, AD, BE, DE的中点， 将4ABC沿DE, EF, DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成 角的度数为.14 .直线l与平面口所成角为30°, inu=A,直线 mSa, 则m与l所成角的取值范围是.15 .棱长为1的正四面体内有一点 P,由点P向各面引垂线， 垂线段长度分别为 d1, d2, d3, d4,

7、则d1 + d2+d3+d4的值 为.16 .直二面角al P的棱上有一点 A,在平面 j P内各 有一条射线 AB, AC 与 l 成 45°, AB二口， AC二P,则/ BAC三、解答题3,求二面角e,猜想0为何值17 .在四面体 ABCD中， ABC与 DBC都是边长为 4的正三角形.(1)求证：BCXAD;(2)若点D到平面ABC的距离等于BC-D的正弦值；(3)设二面角A-BC-D的大小为时，四面体 A-BCD的体积最大.(不要求证明)18.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1 中，AB = 2,BBB1=BC=1, E 为 D1c1 的中点，连结 ED, EC, EB

8、 和 DB .(1)求证：平面 EDB，平面 EBC;(2)求二面角EDB C的正切值.(第18题)19*.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S -ABCD中，AD / BC, / ABC=90 ,SA，面 ABCD,SA= AB=BC=1, AD =1.2/(1)求四棱锥sABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.(提示：延长 BA, CD相交于点E,则直线 SE是 所求二面角的棱.20*,斜三棱柱的一个侧面的面积为10,这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积.(提示：在 AA1上取一点P,过P作棱柱的截面，使 AA1垂直于这个截面.)(第20题)12答案:DDD

9、DB BCDBA111 . - J2S&S3 .分.13. 60 .12.外，垂，内，中,BC边的垂直平14. 30 , 90 .15.浮. 16.三、解答题17.证明：（1）取BC中点O,连结AO,ABC, BCD都是边长为4的正三角形/.AO! BC, D0± BC,且 AOA DO= O,60 或 120 .DcE，BC，平面 AOD,又AD二平面AOD,BCAD.（第17题）解：（2）由（1）知/ AOD为二面角A-BC- D的平面角，设/AOD=% 则过点 D作DE，AD,垂足为E. BC，平面 ADO,且BC匚平面ABC,，平面 ADO,平面 ABC.又平面 AD

10、On平面ABC= AO, DE，平面 ABC.线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE= 3.又 DO=亨BD=2V3 ,在RtDEO中，5访曰=三=点，DO 2故二面角A- BC- D的正弦值为 0. 2(3)当日=90°时，四面体 ABCD的体积最大.18 .证明：(1)在长方体 ABCD- AiBiGDi 中，AB= 2, B& =BC= 1, E为DiCi的中点.， DDiE为等腰直角三角形，/ DiED= 45 .同理/ CiEC= 45 .，ndec=90©,即 DE± EC. 在长方体 ABCD ABiCiDi中，BC平面DiDCCi ,

11、又 DEu平面DiDCCi ,BC，DE.又 ecbcw, /. DE±¥ 面 EBC .平面 DEB 过 DE,，平面DEB，平面EBC(2)解：如图，过 E在平面didcci中作EO± DC于O.在长方体 ABCD- AB£Di中，.面 ABCD1面 DiDCCi, e EO,面 ABCD.过 O在平面 DBC中作OF，DB 于 F,连结 EF,，EF，BD. / EFO为二面角E DB C的平面角.利用平面几何知识可得(第I8题) 又 OE= I,所以，tan/EFO=行.19* .解：（1）直角梯形 ABCD的面积是 M底面= 1（BC+AD），

12、AB =四棱锥SABCD的体积是 V= 1-SA-M底面=1 X1 x2 = 1. 3344(2)如图，延长BA, CD相交于点E,连结SE,则SE是所求 二面角的棱. AD/BC, BC=2AD,，EA = AB = SA, /. SEX SBv SAX面ABCD,得面 SEB±面EBC, EB是交线.（第19题）又 BCXEB,，BC±® SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB上的射影，- CSXSE, / BSC是所求二面角的平面角. SB= Jsa2+ ab2 =BC=1, BCXSB,tan/BSC-冷年，即所求二面角的正切值为二20*.解：如图，设斜

13、三棱柱 ABC AiBiCi的侧面BB1C1C的 面积为10, A1A和面BB1cle的距离为6,在AA1上取一点P 作截面 PQR,使 AAJ截面 PQR, AA1/CC1,，截面 PQRX 侧面 BB1clC,过 P 作 POLQR 于 O,则 PO,侧面 BB1clC, 且 PO = 6.V 斜=Sapqr AA1 = 1 QR PO AA1 1 .=- PO QR BB12.=lx 10X62（第20题）= 30.18第二章 点、直线、平面之间的位置关系 参考答案及解析A组一、选择题1. D解析：命题有反例，如图中平面an平面P =直线1?汽,m? P ,且1/n, m，n,则 m&#

14、177; 1,显然平面 «不垂直平面 P , （第1题）故是假命题；命题显然也是假命题，2. D解析：异面直线AD与CB角为45° .3. D解析：在、的条件下，m, n的位置关系不确定.4. D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不 正确，故选择答案 D.5. B解析：学会用长方体模型分析问题，AiA有无数点在平面 ABCD外，但 AA1与平面 ABCD相交，不正确；A1B1/平面 ABCD,显然 A1B1不平行于 BD ,不正确；A1B1/AB, A1B1/平面 ABCD,但 AB?平面 ABCD 内， 不正确；l与平面a平行，则l与a无公共点，l与平面a 内的所有直

15、线都没有公共点，正确，应选B.（第5题）6. B解析：设平面 豆过11,且l2 口，则11上一定点 P与 12确定一平面 p , P与口的交线13 12,且13过点P.又过 点P与12平行的直线只有一条，即13有唯一性，所以经过11和13的平面是唯一的，即过11且平行于12的平面是 唯一的.7. C解析：当三棱锥 DABC体积最大时，平面 DAC，ABC, 取AC的中点。，则 DBO是等腰直角三角形，即/ DBO= 45°.8. D解析：A. 一组对边平行就决定了共面；B.同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C.这些直线都在同一个平面内即直线的垂面； D.把书本的书脊垂直放在桌上就

16、明 确了.9. B解析：因为正确，故选B.10. A解析：异面直线a, b所成的角为60°,直线c，a,过 空间任一点 P,作直线 a'/a, b'/b, c'/c.若 a', b', c' 共面则b'与c'成30°角，否则b'与c'所成的角的范 围为（30°,90°,所以直线b与c所成角的范围为30 ,90 . 二、填空题11. 1 12S1S2s3 . 3解析：设三条侧棱长为a, b, c.则 lab=S,工bc=S2, -ca= S3 二式相乘： 222-1a2 b2

17、c = S1S2S3, 8abc= 2 aj&S2s3.;三侧棱两两垂直，二 V= 1abc 1 = 1 ms2s3 . 32312. 外，垂，内，中，BCi的垂直平分.解析：(1)由三角形全等可证得O为AABC的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为 ABC的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O为 ABC的内心；(4)由三角形全等可证得，O为AB边的中点；(5)由(1)知，O在BC边的垂直平分线上，或说O在/ BAC 的平分线上.13. 60 .解析：将 ABC沿DE, EF, DF折成三棱锥以后，GH与IJ所 成角的度数为60 .14. 30 , 90 .解

18、析：直线l与平面口所成的30°的角为m与l所成角的最 小值，当m在京内适当旋转就可以得到 l，m,即m与l所 成角的的最大值为90 .15. 巫.3解析：作等积变换：1M检x (d1+d2+d3+d4) = 1M检 h,3434'而h=点.316. 60 或 120 .解析：不妨固定 AB,则AC有两种可能.三、解答题17.证明：（1）取BC中点O,连结AO, DO. ABC, BCD都是边长为4的正三角形，/.AO! BC, DO± BC,且 AOA DO= O,:.BC，平面 AOD,又 AD二平面 AOD, BCAD.（第17题）解：（2）由（1）知/ AOD

19、为二面角A-BC- D的平面角，设/ AOD=e,则过点 D作DE，AD,垂足为E. BC，平面 ADO,且BC匚平面ABC,，平面 ADO,平面 ABC.又平面 ADOA平面ABC= AO, DE，平面 ABC.线段DE的长为点D到平面ABC的距离，即DE= 3.又 DO= V3BD=2V3 , 2，在 RtDEO中，sin6=理，DO 2 ?故二面角A- BC- D的正弦值为 ".2（3）当日=90°时，四面体 ABCD的体积最大.18.证明：（1）在长方体 ABCD- A1B1GD1 中，AB= 2, B& =BC= 1, E为D1C1的中点.， DDE为等腰直角三角形，/ DED= 45 .同理/ GEC= 45 .，Aec=90' 即 DE± EC.在长方体 ABCD abiCiDi中，BC平面didcci ,又 DEu平面D1DCC1 ,/. BC± DE.又 EcnBc=c,，DE，平面 EBC ,.平面 DEB 过 DE,，平面DEB，平面EBC(2)解：如图，过 E在平面DiDCci中作E01_ DC于O.在长方体 ABCA ABiCiDi 中，;面 ABCDX®DiDCCi,EO,面 ABCD.过 O