医用高等数学-教案 第章ppt课件

1、医用高等数学医用高等数学 教案教案 第四章多元函数微积分第四章多元函数微积分第一节第一节 多元函数多元函数第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分第三节第三节 多元函数微分法多元函数微分法第四节第四节 多元函数的极值多元函数的极值第五节第五节 二重积分二重积分第一节第一节 多元函数多元函数 一、空间解析几何简介一、空间解析几何简介二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续一、空间解析几何简介一、空间解析几何简介1. 右手法则右手法则2. 点的坐标点的坐标 P(x, y, z)3. 任意两点之间的距离任意两点之间的距离P1(x1, y1, z1) ,

2、P2(x2, y2, z2)那那么么21221221221)()()(|zzyyxxPP 几类常见的方程几类常见的方程4. Ax + By + Cz + D = 0(平面方程平面方程)(x x0) 2 + (y y0) 2 + (z z0) 2 = R 2 (球面方程球面方程)x 2 + y 2 = R 2(柱面方程柱面方程)z = x 2 + y 2 (椭圆抛物面椭圆抛物面)z 2 = x 2 + y 2 (圆锥面圆锥面)见图见图 4-3见图见图 4-4见图见图 4-5见图见图 4-6图形图形:球球面面方方程程柱柱面面方方程程椭椭圆圆抛抛物物面面圆圆锥锥面面二、多元函数的概念二、多元函数的概

3、念定义定义4-1 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集， 如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(，变变量量 z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称 z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为 ),(yxfz （或或记记为为)(Pfz ）. . 其中其中x、y 称为自变量称为自变量, z 称为因变量称为因变量 .函数值函数值 z0 = f (x0, y0) . )(|0,000yxfzyyxx 或或 在在 xOy 平面上使函数平面上使函数 f (x, y) 有定义的有定义的一切点的集合叫做函数的定义域一切点的集合叫做函数的定义域 .多

4、元函数多元函数.(补充补充): 邻域邻域 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU，类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为 多元函数中同样有多元函数中同样有定义域定义域、 值域值域、 自变量自变量、因变量因变量等概念等概念. . 补充例补充例求求 的定义域的定义域. .222)3

5、arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD 二元函数二元函数 z = f (x, y) 的图形的图形（如下页图）（如下页图） 设设 函函 数数),(yxfz 的的 定定 义义 域域 为为 D，对对 于于 任任 意意 取取 定定 的的DyxP ),(， 对对 应应 的的函函 数数 值值 为为),(yxfz ， 这这 样样 ， 以以x为为 横横坐坐 标标 、y为为 纵纵 坐坐 标标 、z为为 竖竖 坐坐 标标 在在 空空 间间就就 确确 定定 一一 点点),(zyxM， 当当x取取 遍遍D上上一

6、一 切切 点点 时时 ， 得得 一一 个个 空空 间间 点点 集集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ， 这这个个 点点 集集 称称 为为 二二 元元 函函 数数 的的 图图 形形 . 二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面. . 例如例如, ,例如例如, ,xyzoxyzsin 图形如右图图形如右图.2222azyx 右下图球面右下图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支: :三、二元函数的极限与连续三、二元函数的极限与连续1. 二元函数的极限二元函数的极限定义定义4-2 设函数设函数 z = f (x, y) 在点在点 P

7、0 (x0, y0) 的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, P(x, y) 是定义域内任是定义域内任一点一点, 当点当点 P(x, y) 以任何路径无限接近于点以任何路径无限接近于点 P0(x0, y0) 时时, f (x, y)无限接近于一个定数无限接近于一个定数 A, 则称则称 A 是函数是函数 f (x, y) 当当 xx0、 yy0 或或 P(x, y) P0(x0, y0) 时的极限时的极限, 也称为也称为二重极限二重极限 (double limit) . 记作记作Ayxfyyxx ),(lim00Ayxfpp ),(lim0或或说明说明:确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法

8、：(1) 定义中定义中 P P0 的方式是任意的；的方式是任意的；(2) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似二元函数的极限运算法则与一元函数类似.（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋向于趋向于),(000yxP，若，若极限值与极限值与 k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； （2） 找找两两种种不不同同趋趋近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但两两者者不不相相等等，此此时时也也可可断断言言),(yxf在在点点),(000yxP处处极极限限不不存存在在补充例补充例. )0, 0(),(, 0lim22200 yxyxyxyx证证明明证证|222222y

9、yxyxyxyx 因为因为| y 22yx 又又当当 x0, y0 时时,022 yx.0lim22200 yxyxyx故故例例4-9.lim2200不不存存在在证证明明yxyxyx 证证,),(22yxyxyxf 设设1o 当当(x, y)沿沿 x 轴趋于轴趋于( 0, 0)时时, 2o 当当(x, y)沿直线沿直线 y = kx 趋于趋于( 0, 0)时时, 222202200limlimxkxxkyxyxxkxyx 21kk f (x, y) = 0;其值随其值随 k 值的不同而变化值的不同而变化, 故故 f(x, y) 的极限不存在的极限不存在.补充例补充例:求证求证 证证01sin)

10、(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立补充例补充例:证证证明证明 不存在不存在. . 26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k k的不同而变化，的不同而变化，故故 极限不存在极限不存在 观察观察不存在不存在. . 26300limyxyxyx ,263图形图形yxyxz 播放播放2. 二元函数的连续性二元函数的连续性定义定义4-

11、3 如果二元函数如果二元函数 z = f (x, y) 满足满足:(1) 在点在点 P0(x0, y0) 的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义;(2) 极限极限 存在存在;),(lim0yxfPP. ),(),(lim)3(000yxfyxfPP 则称函数则称函数 z = f (x, y) 在点在点 P0 (x0 , y0) 处连续处连续. 如果函数如果函数 z = f (x, y) 在区域在区域 D 内的每一内的每一点上都连续点上都连续, 则称函数则称函数 z = f (x, y) 在区域在区域 D 内连续内连续. 函数的不连续点叫做间断点函数的不连续点叫做间断点. 补充例补充例:讨论函数讨

12、论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)(0,0)的连续性的连续性. .解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k k的不同而变化的不同而变化, , 极限不存在极限不存在.故故 函数在函数在(0,0)处不连续处不连续.多元初等函数：多元初等函数： 由多元多项式及基本初等由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切

13、多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域或闭区域 一般地一般地, 补充例补充例:.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初初等等函函时时，如如果果求求第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一、偏导数的概念一、偏导数的概念二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义三、高阶偏导数三

14、、高阶偏导数四、全微分四、全微分一、偏导数的概念一、偏导数的概念定义定义4-4 设函数设函数),(yxfz 在在点点),(00yx的某的某一邻域内有定义，当一邻域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x 处有处有增量增量x 时，相应地时，相应地函数函数有有增量增量 ),(),(0000yxfyxxf ， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则存在，则称此称此极限极限为函数为函数),(yxfz 在在点点),(00yx处处对对x的的偏导数偏导数(partial derivative)， 记为记为:同同理理可可定定义义函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx处处

15、对对y的的偏偏导导数数， 为为 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记记为为 00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. . 00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.偏导函数偏导函数, 常简称为偏导数常简称为偏导数如果函数如果函数),(yxfz 在在区域区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个的偏导数都存在，那么这个偏导数偏导数就是就是x、y的的函数函数，它就称为函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的的偏导数偏导数， 记作记作 xz ，xf ，xz或或),(

16、yxfx. 同同理理可可以以定定义义函函数数),(yxfz 对对自自变变量量y的的偏偏导导数数，记记作作 yz ，yf ，yz或或),(yxfy. 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例4-16 设设yxz )1, 0( xx， 求证求证 zyzxxzyx2ln1 . 证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx l

17、n1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立例例4-18 已知已知理想气体的状态方程理想气体的状态方程RTpV （R为常数） ，为常数） ，求证求证：1 pTTVVp. . 证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明： (1)、(2)、例如偏偏导导数数xu 是是一一个个整整体体记记号号，不不能能拆拆分分; ; ).0, 0(),0, 0(,),(yxffxyyxfz求求设设 求分界点、不连续点处的偏导数要求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

18、用定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf (3)、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系例如例如,函函数数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 依定义知在依定义知在)0 , 0(处处，0)0 , 0()0 , 0( yxff. . 但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .偏导数存在偏导数存在 连续连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续连续. .二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义如图如图,),(),(,(00000上上一一点点为为

19、曲曲面面设设yxfzyxfyxM 几何意义几何意义: : 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在所截得的曲线在点点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的斜率轴的斜率. . 偏偏导导数数),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲线线在在点点0M处处的的切切线线yTM0对对y轴轴的的斜斜率率. . 三、高阶偏导数三、高阶偏导数定义定义:),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函数数 ),(yxfz 的的二二阶阶偏偏导导数数为为 纯偏导

20、纯偏导混合偏导混合偏导二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .补充例补充例设设 13323 xyxyyxz， 求求 22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及 33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx定理定理4-1 如如果果函函数数),(yxfz 的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数xyz 2及及yxz 2在在区区域域 D D 内内连连续续，那那末末在在该该区区域域内内这这两两

21、个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数必必相相等等 问题问题: 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？件才相等？四、全微分四、全微分),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏微微分分 二二元元函函数数 对对x和和对对y的的偏偏增增量量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得全增量的概念全增量的概念 如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，并并设设),(yyxxP 为为这这邻邻域域内内的的任任意意一

22、一点点，则则称称这这两两点点的的函函数数值值之之差差 ),(),(yxfyyxxf 为为函函数数在在点点P P对对应应于于自自变变量量增增量量yx ,的的全全增增量量, ,记记为为z ， 即即 z = =),(),(yxfyyxxf 全微分的定义全微分的定义 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在

23、点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =yBxA . .习惯上习惯上, 记全微分为记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况例例.arctan的全微分的全微分求函数求函数xyz 解解)()(1122xyxyxz ,22yxy )1()(

24、112xxyyz ,22yxx 所以所以dxyxyzd22 .22dyyxx 补充例补充例计计算算函函数数 xyez 在在点点)1 , 2(处处的的全全微微分分. . 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分可微的条件可微的条件:定理定理(1)（必要条件）（必要条件） 如果函数如果函数 ),(yxfz 在在点点),(yx可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点),(yx的偏导的偏导数数xz 、yz 必存在，且函数必存在，且函数 ),(yxfz 在点在点),(yx 的全微分为的全微分为 yyzxxzdz

25、说明：说明：定理定理(2)（充分条件）（充分条件）多元函数的各偏导数存在并不能保证多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，全微分存在，如如果果函函数数),(yxfz 的的偏偏导导数数xz 、yz 在在点点),(yx连连续续，则则该该函函数数在在点点),(yx可可微微分分 多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导第三节第三节 多元函数微分法多元函数微分法一、复合函数微分法一、复合函数微分法二、隐函数微分法二、隐函数微分法一、复合函数微分法一、复合函数微分法定理定理4-2 设函数设函数 z = f (u,

26、v) 是变量是变量 u, v 的函数的函数, 而而 u 和和 v 又是变量又是变量 x, y 的函数的函数, u = u(x, y), v = v(x, y), 那么那么 如果如果),(yxuu 及及),(yxvv 都在都在点点),(yx具有具有对对x和和y的偏导数的偏导数, 且函数且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu具有连续偏导数具有连续偏导数，则复合函数则复合函数),(),(yxvyxufz 在对应点在对应点),(yx的的两个两个偏导数偏导数存在存在, 且可用下列公式且可用下列公式计算计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . z = f u(x, y), v(x

27、, y) 是自变量是自变量x, y 的二元复合函数的二元复合函数.函数变量之间的复合关系图函数变量之间的复合关系图:uvxzy xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 类似地再推广类似地再推广:设设 ),(yxuu 、),(yxvv 、),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对 x和和y的偏导数，复合函数的偏导数，复合函数),(),(),(yxwyxvyxufz 在对应点在对应点),(yx的两个偏导数存在，且可用下列公式计算的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz . zwvuyx特例特例:如如果果函函数数)(

28、tuu 及及)(tvv 都都在在点点t可可导导，函函数数),(vufz 在在对对应应点点),(vu具具有有连连续续偏偏导导数数，则则复复合合函函数数)(),(tvtufz 在在对对应应点点 t可可导导，且且其其导导数数可可用用下下列列公公式式计计算算： dtdvvzdtduuzdtdz 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况情况. .如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz例例4-25,23,ln2yxvyxuvuz 而而设设.,yzxz 求求解解xvvzxuuzxz 31ln22

29、vuyvu)23ln(22yxyx )23(322yxyx yvvzyuuzyz )2()(ln222 vuyxvu)23ln(232yxyx )23(222yxyx 补充例补充例分析分析,1222wvuz 设设,22yxu 其中其中,22yxv ,2xyw .yzxz 及及求求z 是以是以 x, y 为自变量为自变量, 以以u, v 为中间变量为中间变量的复合函数的复合函数, 其复合关系图示意如下其复合关系图示意如下: uvwxzy解解,222wvur 设设,1rz 则则而而333,rwwzrvvzruuz 因而因而xwwzxvvzxuuzxz )(2)(2)(2333rwyrvxrux )

30、(23ywxvxur 222)(2yxx 同理同理222)(2yxyyz 例例4-26分析分析,)(),(为可微函数为可微函数设设ufxyfz 证明证明:.0 yzyxzxz 是以是以 x, y 为自变量的抽象函数为自变量的抽象函数. 那么那么 z = f (u) 是以是以 u 为中间变量为中间变量, x、y 为自变量的复合函数为自变量的复合函数, 其复合关系图示意其复合关系图示意如下如下:,xyu 令令uxzy证证知知 f (u) 为可微函数为可微函数, .dd存在存在则则uf于是于是xuufxz dd)(dd2xyuf ufxydd2 yuufyz ddxuf1dd ufx dd1 故故y

31、zyxzx ufxyufxydddd 0 例例4-28 设设z = arctan (xy), 而而 y = e x,xzdd求求解解xyyzxzxzdddd xeyxxyxy 222211xxexxe221)1( 特殊地特殊地),(yxufz ),(yxuu 即即,),(yxyxufz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxufz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数 把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的

32、区别区别类似区别类似补充补充(例例4-25)-1,ln42xvuz 设设.,yzxz 求求解解xfxvvzxuuzxz 32431ln2xvuyvu )23ln(22yxyx )23(322yxyx yvvzyuuzyz )2()(ln222 vuyxvu)23ln(232yxyx )23(222yxyx ,23,yxvyxu 而而34x 多元函数多元函数 (一阶一阶) 微分形式不变性微分形式不变性全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质: 设函数设函数 ),(vufz 具有连续偏导数，则具有连续偏导数，则有全微分有全微分 dvvzduuzdz ; ; 当当 ),(yxuu 、),(yxv

33、v 时，时， 有有 dyyzdxxzdz . . 无论无论 z z 是自变量是自变量 x x、y y 的函数或中间的函数或中间变量变量u u、v v 的函数，它的全微分形式是一样的函数，它的全微分形式是一样的的. .二、隐函数微分法二、隐函数微分法(1) 假设假设 F(x, y) = 0, 其中其中 y = f (x).由全导数公式由全导数公式:0dddd xyyFxFxF0dd xyyFxF即即,0 yF若若则有则有yFxFxy ddyxFF (2) F(x, y, z) = 0, 其中其中 z = f (x, y).,0 zF若若那那么么zFxFxz zxFF zFyFyz zyFF 例例

34、4-30 求由方程求由方程 y xe y+x = 0 所确定的所确定的 y 作为作为 x 的函数的导数的函数的导数.解解 令令,1 yexF由由01 yexyF得得yyexexy 11dd.11yyexe 0),( xexyyxFy例例4-31 求由方程求由方程 e z - xyz = 0 所确定的函数所确定的函数 z 的偏导数的偏导数.解解令令 F (x, y, z) = e z - xyz , 那那么么,yzFx ,xzFy 0 xyeFzz于是于是zxFFxz ,xyeyzz zyFFyz .xyexzz 第四节第四节 多元函数的极值多元函数的极值一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、

35、条件极值二、条件极值一、二元函数的极值一、二元函数的极值的的图图形形观观察察二二元元函函数数22yxexyz 播放播放定义定义4-6极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf

36、，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；二元函数极值的定义二元函数极值的定义补充例补充例: :例例(3)(3)(1)(2)(3)例例(1)(1)处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例(2)(2)处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 定理定理4-3 (4-3 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件) )证证设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零 0),(

37、00 yxfx，0),(00 yxfy. . 不不妨妨设设),(yxfz 在在点点),(00yx处处有有极极大大值值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,类似地可证类似地可证推广推广 故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf, 说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx; 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的

38、必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. .0),(00 yxfy驻点驻点.定理定理4-4 (极值存在的充分条件极值存在的充分条件)例例如如, 点点)0 , 0(是是函函数数xyz 的的驻驻点点， 但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的时为零的点，均称为函数的驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，连续，

39、有一阶及二阶连续偏导数， 注意:又又那那么么 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00， ),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的处是否取得极值的条件条件如下：如下： （1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值； （2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值； （3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值， 还需另作讨论还需另作讨论 求函数求函数 z = f (x, y)

40、极值的一般步骤极值的一般步骤:第第一一步步 解解方方程程组组 , 0),( yxfx0),( yxfy求求出出实实数数解解，得得驻驻点点. . 第第二二步步 对对于于每每一一个个驻驻点点),(00yx， 求求出二阶偏导数的值出二阶偏导数的值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符号号, ,再再判判定定是是否否是是极极值值. . 多元函数的最值多元函数的最值求最值的一般方法：求最值的一般方法： 将函数在将函数在 D D 内的所有驻点处的函数内的所有驻点处的函数值及在值及在 D D 的边界上的最大值和最小值相的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小互比较，其中最

41、大者即为最大值，最小者即为最小值者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值数的极值来求函数的最大值和最小值. .例例4-32 求函数求函数 f (x, y)=x3 - y3 + 3x2 + 3y2 - 9x 的极值的极值 . 解解解方程组解方程组 063),(0963),(22yyyxfxxyxfyx得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (-3, 0) , (-3, 2) ,66),( xyxfxx,0),( yxfxy.66),( yyxfyy列表讨论如下列表讨论如下: (x0 , y0) ABCB2AC

42、f ( x0 , y0 ) (1 , 0)120672极小值极小值 5(1 , 2)120672不是极值不是极值(-3 , 0)120672不是极值不是极值(-3 , 2)120672极大值极大值 31例例4-33在在求求函函数数224),(yxyxf .122上上的的最最大大值值圆圆域域 yx解解 显然显然, 函数在圆周函数在圆周 x2 + y2 = 1 上的值到处上的值到处是是.3为求驻点为求驻点, 令令,0422 yxxxf0422 yxyyf解得解得 x = 0, y = 0 .这是函数在圆内的唯一驻点这是函数在圆内的唯一驻点, 对应的函数值是对应的函数值是 f (0, 0) = 2

43、, )3( 所以函数在点所以函数在点 (0, 0) 处取得最大值处取得最大值 2 .二、条件极值二、条件极值( 注：此小节内容不讲注：此小节内容不讲, 略略 )第五节第五节 二重积分二重积分一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质二、二重积分的计算二、二重积分的计算一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.),(yxfz D播放播放: :播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限的方法，如下动画演示、取极限的方法，如

44、下动画演示步骤如下：步骤如下：2. 用若干个小平顶用若干个小平顶柱体体积之和近柱体体积之和近似表示曲顶柱体似表示曲顶柱体的体积的体积.xzyoD),(yxfz i),(ii1. 先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域并取典型小区域;.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积* 求平面薄片的质量求平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分

45、割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo2. 二重积分的概念二重积分的概念定义定义4-7 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函数，上的有界函数，将闭区域将闭区域D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表示它也表示它的面积，在每个的面积，在每个i 上任取一点上任取一点),(ii ， 作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ， 并作和并作和

46、iiniif ),(1， (续上页定义续上页定义)如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义(1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中

47、中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在.当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值直角坐标系中的面积元素直角坐标系中的面积元素 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为3. 二重积分的性质二重积分的性质性质4-1性质4-2当当 为常数时，为常数时，k.),(),( DD

48、dyxfkdyxkf Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质4-3性质性质4-5对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质4-4 假设假设 为为D D的面积，的面积，.1 DDdd 若在若在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有性质性质4-64-6性质性质4-7 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的最大

49、值和最小值，最大值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续， 为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）二、二重积分的计算二、二重积分的计算1. 直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,baX型型)(2xy abD)(1xy

50、 Dba)(2xy )(1xy (Y型).),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为如果积分区域为:,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D讨论讨论:为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积的方法体求体积的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得区域的特点区域的特点 X X型

51、区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. . Y Y型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x x轴的直线与区域边界相交不多于两个交轴的直线与区域边界相交不多于两个交点点. .若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.例例4-36 计计算算 Dyxyxdd)(22，其其中中 D 是是由由2xy 以以及及 2yx 所所围围成成的的区区域域. . 解解两曲线的交点两曲线的交点

52、 ),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Dyxyxdd)(22 10222d)(dxxyyxxxyyxxxd)3(21032 2xy 2yx 2xy 2yx xxxxxxd)33)(643102 10752527755272xxxx .3512 ,)(,)(212xxxx 由图知由图知, 例例 Dyxyx,dd)2(23积分区域积分区域D由由 y =x+2,y =x, y =0, y =2 所围成的区域所围成的区域.解解,)(2yy 由由 D 的图可知的图可知, ,20,2)(1 yyy Dyxyxdd)2(23 20223d)2(dyyxyxy 20y224d)24(yxxyxy

53、 202434d)2(2)2(4)2(24yyyyyyyy2035543220)2(20yyyy 203283162032 15816 例例4-38解法解法1 ,dd22 Dyxyx计算计算其中其中D是由双曲线是由双曲线 x y =1,直线直线 y = x 和和 y = 2 所围成的区域所围成的区域.先积先积 y 后积后积 x .由图可知上曲线为由图可知上曲线为 y =2, 下曲线下曲线是由是由 y = 和和 y = x 共同构成的共同构成的,x1将将D分割成两个区域分割成两个区域 D1= (x, y)| y2, x1 x121D2= (x, y)| xy2, 1x2 ( (续上页解法续上页解

54、法1)1) 212215 . 0212ddxyxxyxxx 21215 . 032d)2(d)2(xxxxxx212315 . 043)26()46(xxxx 21612686414814161 .6427 Dyxyxdd22 21dddd2222DDyxyxyxyx 22221212215 . 0ddddxxyyxxyyxx解法解法2先积先积 x 后积后积 y .由图可知右曲线由图可知右曲线 x右右= y , 左曲线左曲线 x左左= , 1 y2y1 Dyxyxdd22 yyxyxy12221dd 21123d3yyxyy 215d)313(yyy2142)1216(yy 121611921

55、32 6427 例例4-39如先对如先对 y y 后对后对 x x 积积分分, ,dd2y- Dyxe计计算算二二重重积积分分其中其中D是由是由 y = x,y = 1 与与 y 轴轴 所围成的区域所围成的区域.解解由图可知由图可知, ,上曲线为上曲线为 y上上=1, 下曲线为下曲线为 y下下= x ,于是于是,dddd1y-10y-22 xDyexyxe由于函数由于函数 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数, 通常称通常称2ye yeyd2是积不出的是积不出的, 因此二重积分因此二重积分 Dyxedd2y-化为先对化为先对 y 后对后对 x x 的二次积分的二次积分, ,计算不出计算不出

56、. .考虑先对考虑先对 x x 后对后对 y y 的积的积分分, ,左曲线为左曲线为 x左左= 0 , 右曲线为右曲线为 x右右= y ,因而因而 yyDxeyyxe0-10y-dddd22 100-d2yxeyy 10-d2yyey 102-)d(-212yey10-221ye .2121e 由图可知由图可知, ,补充例补充例1xy 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解 积分区域如图积分区域如图补充例补充例2xy 222xxy 改变积分改变积分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序

57、的次序. 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解 积分区域如图积分区域如图补充例补充例3 改改变变积积分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序. axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a补充例补充例4 计算积分计算积分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121. 解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 12

58、1)(dxeexx.2183ee 2xy xy 2. 极坐标系下的二重积分的计算极坐标系下的二重积分的计算AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式）.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 r

59、drrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式）AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式） Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0补例补例 1,dd22 Dyxyx计算计算其中区域其中区域D =(x, y) |1x 2

60、 + y 2 4解解如图如图,sin,cos yx令令对应的对应的因此因此,ddddd yx积分区域积分区域D为为: 12, 02. 2122022dddd Dyxyx 20213d3 20d37.314 补例补例 2,dd22 Dyxyxe计计算算(x, y) |1x 2 + y 2 9 且且 y x 解解如图如图,sin,cos yx令令对应的对应的因此因此,ddddd yx积分区域积分区域D为为: 13, 312454dddd22 eyxeDyx. )(29ee 其中区域其中区域D =.454 454312d21 e补例补例 3,d)d543( Dyxyx计计算算其中区域其中区域D =(