“烙饼问题”的教学实践与思考

1、小课堂，大思想 “烙饼问题”的教学实践与思考 象山文峰学校 贺贤茂“烙饼问题”是人教版数学四年级上册“数学广角”中教学内容。问题是这样的：妈妈要用平底锅烙3张饼，平底锅每次最多只烙2张饼，饼的每一面都要烙3分钟，怎样才能尽快吃上饼？如果要烙4张、5张10张饼呢？你有什么发现？从近年来发表的相关案例来看，教学目标主要是通过日常生活中的一些简单事例，让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案（策略）中寻找最优的方案。认识到解决问题的方法、策略的多样性，体会优化思想在解决问题中的应用。教学的基本线索都是通过操作，探索交流2张、3张、4张饼的最佳烙法，从实践中发现规律，归纳并表述烙饼的操作模式：如果要

2、烙的饼是双数张的，可以2张2张地烙，即每2张按1正2正1反2反；如果要烙的饼是单数张的，可以先2张2张地烙，最后3张按1正2正1反3正2反3反的方法烙。时而引导学生发现烙饼所需的时间与烙饼张数之间的关系：烙饼的总时间=张数×3（张数2）。这样的教学在具体的课堂操作中，不足与困难是显而易见的：首先，为什么要这样做。在教学中，教师从饼的张数少到张数多，环环相扣，层层递进，这一切都是预设好，学生的探究学习只是步步落实，缺乏主动性和远见性。设想，如果第一个问题问的是烙10张或更多张饼，学生是否也会想到先从1张、2张、3张这样数量少的开始，探索规律，解决数量多的“难题”？能巧妙、合理地安排烙饼

3、的方案与顺序，这毕竟是小智慧。但能合理、科学地解决问题，需要有一个大思想。第二，缺乏数学思考。不管是动手操作还是头脑中的思想操作，毕竟是显性的、直观的，缺乏理性的思考。面对现实问题，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和办法寻求解决问题的策略3，是数学学习的目标。教师的作用要体现在让学生能在现象与“数学”之间建立联系，比如：没有对烙饼张数与所需时间之间何以存在这种关系作出数学的解释，进一步的推广就有了困难。笔者从渗透数学转化思想、建模思想的角度对本课教学作了尝试。一、创设情景，提出问题，引发思考食堂给我们班烙了101张蛋煎饼。食堂的平底锅烙每次能烙2张，每烙一面要3分钟，烙101张饼最少要多少

4、分钟？先猜一猜烙熟这些饼至少要多少时间？师：大家猜的各不相同。的确数量这么多，直接思考有难度，那怎么解决呢？师：我们可以把问题转化成简单的，从简单开始想起，就从烙1张、2张、3张先来研究，找到问题解决的方法与规律。设计意图：一开始就让学生体会到这是一个难题，用以往的知识不能解决或不易解决，怎么办？必须要有一种对策。这样就一下子集中了学生的注意。二、学具操作，自主探索规律。（一）初步探索。1、师：1张饼怎么烙、烙几次？请拿出1张饼做一做、向同桌同学说一说。师：这个过程可以这样记录，请你也在表中记一记：最少次数最少需要时间（分）121张26分钟正3分钟反3分钟2、（1）烙2张饼怎么烙、烙几次？请同

5、学们拿出2张饼，同桌2人一起做一做。（2）展示学生不同的方案，在比较、交流中，使学生认识到：本来一次可烙2张饼的锅，现在只烙1张，这里可能浪费了时间。（3）师：我们把“1正2正1反2反”这样的烙法叫做“2张饼的快速烙法”。这个过程我们可以这样记录。最少次数最少需要时间（分）121张26正3分钟反3分钟2张261正2正3分钟1反2反3分钟3、（1）请同学们拿出3张饼，同桌也先合作烙一烙，要烙几次，要烙几分钟？（2）展示学生不同的方案，在比较、交流中确立1正2正1反3正2反3反是3张饼的快速烙法。同时也认识到：要用时少，就要充分利用好锅的有限空间，不让它空出，就能做到最省时。（4）记录这种方案：最

6、少次数最少需要时间（分）1231张26正3分钟反3分钟2张261正2正3分钟1反2反3分钟3张391正2正3分钟1反3正3分钟2反3反3分钟设计意图：烙饼时怎样合理安排操作最节省时间，是让学生体会在解决问题中优化思想的应用。通过操作，主动、自主地参与了学习，为下一步自主探索积累了经验。在这一环节，也渗透了符号化的思想，用符号表示探索的过程，这也是一种优化。（二）自主探索1、按照这种探索方法，同桌合作烙4张、5张、6张饼怎么安排，最少要烙几次？最少需要多少时间？2、让速度快的小组先汇报：（指表格汇报）先烙，用时×分钟，再烙，用时×分钟，最少共用时×分钟。3、观察这位

7、同学的记录，说说快在哪里？根据学生回答，教师完整地出示：最少次数最少需要时间（分）具体安排4张2张2张6分钟 6分钟5张2张3张6分钟 9分钟6张2张2张2张6分钟 6分钟 9分钟 4、教师引导学生小结：4张、6张饼，用“2张饼的快速烙法”烙，安排起来最方便；5张饼则用“2张饼的烙法3张饼的烙法” 安排最方便。设计意图：只用2张、3张饼的安排方法，不足以体现用时最省的安排方法，从建模的角度来说，也没有对这一操作模式何以为最佳作出数学的分析。但是它建立起了一种操作思路，提供了操作方法。所以这一环节，同时推出4张、5张、6张饼可以怎么安排这一大方向，仍由学生自主来探索，而且这种自主性更大。让先完成

8、任务的小组来汇报，也是让学生体会这种烙法顺序的合理性、方便性、简洁性。同时也真正地、完整地建立一个数学模型：要安排多张饼的烙法顺序，就是合理地“组合” 2张饼的快速烙法和3张饼的快速烙法。（三）理性指导，纵向突破1、师：再观察我们刚才的记录，能不能用一个算式来说明3张饼最少要烙3次、4张饼最少要烙4次？2、学生思考片刻后回答：3张饼共有3×2=6个面，每次能烙2张饼，也就是每次最多能在锅里放上2个面，6面最少要放6÷2=3次，3次一共需要3×3=9分钟。教师板书：3张：3×2=6（面），6÷2=3（次），3×3=9（分钟） 4张：4&

9、#215;2=8（面），8÷2=4（次），4×3=12（分钟）5张：5×2=10（面），10÷2=5（次），5×3=15（分钟）3、那么烙7张、8张、9张、10张饼最少又要烙几次？可以怎样安排，请快速排好，并计算最少要多少分钟？最少次数最少需要时间（分）7张8张9张10张4、汇报、展示，说明怎样安排最方便。设计意图：这一环节，不仅对上面建立起的数学模型作一次验证：由实践的可行证明理论的可能性，而且还加强了数学思考：从数学的角度解释了烙饼最少需要的次数。4（四）抽象概括，知行合一。1、师：总结刚才的探索，观察这些记录，你能发现规律吗？生：（1）饼

10、的张数越多，烙饼需要的时间也就越多。每增加1张饼，时间就增加3分钟。（每多烙1张饼，要多用3分钟） （2）烙几张饼就最少要烙多少次（饼数1）。（3）最少需要时间=饼数×3（即每次烙饼时间）（饼数1）师：那么按照规律，（1）烙20张饼要烙几次？要多少时间？烙30张饼要烙几次？要多少时间？烙101张饼要烙几次？要多少时间？（2）烙n张饼要烙几次？要多少时间？对n有什么规定？解释：n张饼有n×2个面，要烙n×2÷2=n次，需要n×3分钟。2、饼的张数不同，烙的方法顺序上有什么区别？生：如果烙的张数是双数，可以2张2张地烙（按2张的快速烙法）；如果烙的

11、张数是单数（饼数1），可以先2张2张地烙，最后3张用3张快速烙法。设计意图：本环节的教学，通过抽象概括，给出了一般的操作模式，并进行了一般性的证明，达到了知行合一。通过对饼数少的例子的研究，得出了规律，解决了课开始时的问题，达到首尾呼应。三、课堂总结，提升认识师：刚才我们研究了烙饼方法，我们是怎么研究的？采取了什么策略？生：数量多的不会就想数量少的，难的不会就想简单的。（转化思想）在数量少的、简单的例子中，找到解决问题的规律，从而可以利用这个规律解决数量多的、复杂的问题。（数学建模思想）在研究过程中，不需要用真的实物，可以用学具代替，过程可以用符号记录。（符号化思想）设计意图：这是整课的点睛之

12、处，把本课的解决问题策略提升到了一般的科学研究和解决其它问题的基本态度和方法策略的高度来认识。通过这节课的教学，形成解决问题的一些基本策略，也能让学生获得一些适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识、基本的数学思想方法和必要的应用技能。5我的设计思路：一、从解决一个问题的角度，设置了一条暗线：转化思想。教学一开始，就提出一个难题：烙101张饼最少要几分钟。对于这个问题，如果没有建立一个数学模型，不明白其中的规律，是不能直接解决的。抛出这个问题，也是不想让学生轻而易举地解决，而迫使学生采取一种策略来研究，这种策略就是转化思想。这样就让学生初步体会了转化思想在日常生活、学习中的运用，要解决

13、一个难题，可以将此转化成简单的，把数量多的转化成数量少的，把大的转化成小的。二、从分析、探究问题的角度，设置了一条明线：建模思想。从简单的开始，一层一层揭示，逐步建立起一种数学模型。2张饼、3张饼的烙法，就是“模型”的原材料。通过对此的探索，明确建模的目标，确立烙法优劣的判别标准是否“充分利用锅的空间”。在获得最佳操作模式后，通过“列个算式来说明”帮助学生进一步从数学的角度认识“充分利用锅的空间”的含义，实现实践与理论的对接，对后续学习、探索就有了一种理性的思考。突出对4张、5张、6张的安排，从而建立起偶数张饼只要按2张饼的快速烙法烙，奇数张饼（1张除外）先按2张饼的快速烙法烙，最后3张按3张饼的快速烙法烙这种数学解题方法，这是一条理性指导、纵向突破，逐步建立的从理论的可能性到实践的可行性的研究思路。最后通过对现象中规律的概括、揭示，给出了一般化的操作模式，达到了知行合一。三、落实数学化的学习。 我们是数学课，就必须用数学的知识来解释、解决现象与问题。这里我强调了2个地方。一是探索烙4个、5个、6个饼后，问“能列个算式来说明为何3个饼最少要烙3次、4个饼最少要烙4次？”，把学生的思维推到数学的思考轨道上，只有这样，我们的过程分析、操