山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料 第三编 导数及其应用 3.2 导数的应用（教师）理

1、高三数学（理）一轮复习 教案 第三编 导数及其应用 总第13期 §3.2 导数的应用基础自测1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数g=f(x)的图象是如图所示的一条直线，则y=f(x)图象的顶点在第 象限.答案 一2.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x0时，f(x)0,g(x)0，则x0时，f(x) 0,g(x) 0.(用“”, “=”,“”填空)答案 3.（2008·广东理，7）设aR,若函数y=eax+3x,xR有大于零的极值点,则a的取值范围是 .答案 a-34.函数y=3x2-2lnx的单调增区间为 ，单调减区间为 .答案

2、5.（2008·江苏，14）f(x)=ax3-3x+1对于x-1,1总有f(x)0成立，则a= .答案 4例题精讲 例1 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解 f(x)= e x-a.(1)若a0，f(x)= ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a0, ex-a0,exa,xlna.f(x)的递增区间为（lna，+）.（2）f（x）在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立.ex-a0，即ae

3、x在R上恒成立.a（ex）min，又ex0,a0.（3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1.例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f（x)=x3+ax2+bx+c

4、,得f(x)=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0当x=时，y=f(x)有极值，则f（）=0,可得4a+3b+4=0由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,f(x)=3x2+4x-4,令f(x)=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-2(-2,)(,1)1 +0-0+y8单调增递13单调递减单调递增4 y=f(x)在-3，1上的最大值为13，最小值为例3 （14分）已知函数f(x)=x2e-ax(a0),求函数在1，2

5、上的最大值.解 f（x）=x2e-ax（a0）,f(x)=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).3分令f(x)0,即e-ax(-ax2+2x)0,得0x.f(x)在（-,0),上是减函数，在上是增函数.当01,即a2时,f(x）在（1，2）上是减函数,f（x）max=f（1）=e-a.8分当12,即1a2时，f(x)在（1, ）上是增函数，在（,2）上是减函数，f(x)max=f（）=4a-2e-2.12分当2时，即0a1时，f(x)在（1，2）上是增函数，f（x）max=f（2）=4e-2a.综上所述，当0a1时，f(x)的最大值为4e-2a,当1a2时

6、，f(x)的最大值为4a-2e-2,当a2时，f(x)的最大值为e-a.14分例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-

7、3x).令L=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.3a5,86+a.在x=6+a两侧L的值由正变负.所以当86+a9即3a时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+a即a5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以Q(a)=答 若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若a5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4（3-a）3(万元).巩固练习 1.已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数

8、a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解 由已知f(x)=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，f(x)=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，f(x)=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a0.（2）解 由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a=3时，f(x)=3(x2-1),在x(-1,1

9、)上，f(x)0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 f(-1)=a-2a,f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.2.求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.解 先求导数,得y=4x3-4x令y=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.导数y的正负以及f(-2),f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1（1，2）2-0+0-0+y1345413从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.3.（2008

10、3;山东理，21）已知函数f(x)=+aln(x-1),其中nN*,a为常数.(1)当n=2时,求函数f(x)的极值;(2)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x2时,有f(x)x-1.(1)解 由已知得函数f(x)的定义域为x|x1,当n=2时,f(x)=+aln(x-1),所以f(x)=.当a0时,由f(x)=0,得x1=1+1,x2=1-1,此时f(x)=.当x(1,x1)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x(x1,+)时,f(x)0,f(x)单调递增.当a0时,f(x)0恒成立,所以f(x)无极值.综上所述,n=2时,当a0时,f(x)在x=1+处取得极小值,极小值为f（1+）=（

11、1+ln）.当a0时,f(x)无极值.(2)证明 方法一 因为a=1,所以f(x)=+ln(x-1).当n为偶数时,令g(x)=x-1-ln(x-1),则g(x)=1+-=+0 (x2).所以,当x2,+)时,g(x)单调递增,又g(2)=0,因此,g(x)=x-1-ln(x-1)g(2)=0恒成立,所以f(x)x-1成立.当n为奇数时,要证f(x)x-1,由于0,所以只需证ln(x-1)x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则h(x)=1-=0(x2),所以,当x2,+)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增,又h(2)=10,所以当x2时,恒有h(x)0,即ln(x-1)x-1

12、命题成立.综上所述,结论成立.方法二 当a=1时,f(x)= +ln(x-1).当x2时,对任意的正整数n,恒有1,故只需证明1+ln(x-1)x-1.令h(x)=x-1-(1+ln(x-1)=x-2-ln(x-1),x2,+).则h(x)=1-=,当x2时,h(x)0,故h(x)在2,+)上单调递增,因此,当x2时,h(x)h(2)=0,即1+ln(x-1)x-1成立.故当x2时,有+ln(x-1)x-1.即f(x)x-1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5 000（单位：万元），

13、又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 （1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x3+45x2+3 240x-5 000（xN*，且1x20）;MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (xN*,且1x19).（2）P(x)=-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9),x0,P(x)

14、=0时,x=12，当0x12时，P(x)0,当x12时，P(x)0,x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP（x）=-30x2+60x+3 275=-30（x-1）2+3 305.所以，当x1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为1，19，且xN*.MP（x）是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.回固总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.已知f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f（x）的图象如图所示，则下列说法中错误的有 （填序号）.f(x)在x=1处取得极小值f（x）在x=1处取得极大值 f（x）是R

15、上的增函数f（x）是（-，1）上的减函数，（1，+）上的增函数答案 2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点有 个.答案 13.函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-，1）上有最小值，则函数g(x)=在区间（1，+）上一定是 函数.（用“增”、“减”填空）答案 增4.用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 cm.答案 85.已知f(x)=2x3-6x2+a (a是常数）在

16、-2，2上有最大值3，那么在-2，2上f(x）的最小值是 .答案 -376.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,xR,若f(x)+90恒成立,则实数m的取值范围是 .答案 m7.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间-3，3上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m= .答案 328.已知函数f(x)的导数f(x)=a(x+1)·(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是 .答案 （-1，0）二、解答题9.设a0,函数f(x)=,b为常数.（1）证明：函数f(x)的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f(x）的极大值为1，极小值为-1，试求a的值.（1）证明

17、f(x)=,令f(x)=0,得ax2+2bx-a=0(*)=4b2+4a20,方程（*)有两个不相等的实根，记为x1,x2(x1x2),则f(x)=,当x变化时，f(x）与f(x）的变化情况如下表：x(-,x1)x1(x1 ,x2)x2(x2 ,+ )-0+0-f (x)极小植极大值可见，f(x)的极大值点和极小值点各有一个.（2）解 由（1）得即两式相加，得a(x1+x2)+2b=x-x.x1+x2=-,x-x=0, 即(x2+x1)(x2-x1)=0,又x1x2,x1+x2=0,从而b=0,a（x2-1）=0，得x1=-1,x2=1,由得a=2.10.（2009·徐州模拟）已知函

18、数f(x)=,x0，2.（1）求f(x)的值域；（2）设a0,函数g(x)=ax3-a2x,x0，2.若对任意x10，2，总存在x20，2，使f(x1)-g(x2)=0.求实数a的取值范围.解 （1）方法一 对函数f(x)求导，f(x)=·.令f(x)=0,得x=1或x=-1.当x(0,1)时，f(x)0,f(x)在(0,1）上单调递增；当x(1,2)时，f(x)0,f(x)在（1，2）上单调递减.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=,当x0，2时，f(x)的值域是.方法二 当x=0时，f(x)=0;当x(0，2时，f(x)0且f(x)=··=，当且仅当x=,即

19、x=1时，“=”成立.当x0，2时，f(x)的值域是.(2)设函数g(x)在0，2上的值域是A.对任意x10，2，总存在x00，2，使f(x1)-g(x0)=0,A.对函数g(x)求导，g(x)=ax2-a2.当x(0,2),a0时，g(x)0,函数g(x)在（0，2）上单调递减.g(0)=0,g(2)=a-2a20,当x0，2时，不满足A；当a0时，g(x)=a(x-)(x+)，令g(x)=0，得x=或x=-（舍去）.（)当x0，2，02时，列表：x0（0，）（，2）2-0+g(x)0-g(0)=0,g()0,又A，g（2）=.解得a1.()当x(0,2),2时，g(x)0,函数在（0，2）上单调递减，g（0）=0，g（2）=0,当x0，2时，不满足A.综上，实数a的取值范围是.11.已知函数f（x）=x3-ax2-3x.（1）若f（x）在区间1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=-是f（x）的极值点，求f（x）在1，a上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.解 （