专题15几何最值之费马点知识精讲-冲刺2020年中考几何专项复习_第1页
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文档简介

1、几何最值之费马点知识精讲皮耶德费马，17世纪法国数学家，有"业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的"费马小定理"、"费马大定理”等.今天所讲的问题不是费马提出来的，而是他解决的，因此又叫费马点，问题如下: 问题：如图，在 ABC内部找到一点P,使得PA+PB+PC的值最小.解答：若点 P满足/ APB = /BPC=/ CPA=120o,则PA+PB+PC的值最小，P点称为三角形的费马点 1.如何作出费马点第一步：分别以 A

2、B、AC为边作等边 ABD与等边 ACE,如图所示:如图所示:8第三步：此时 CD、BE的交点即为点P （费马点），第四步：以 BC为边，作等边 BCF,连接 AF , AF必过点P,且/ APB = / BPC=Z CPA= 120o.注：上述结论成立有个前提条件， ABC中，最大的角要小于 120。，若最大的角大于或等于120。，对应的图如下所示：此时费马点就是最大角的顶点A,这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于1200.接下来就是要证明，证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE,这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应

3、顶点的连线之和是最小的如下图所示，在 AEB与4ACD中， AB = AD , AE=AC, / BAE = / DAC = / BAC + 600, ABE ACD ,/ ABE = / ADC ,. / BMP = / DMA ,BPM = / DAM =60o, . . / BPC= 120o；在PD上截取PG = PB,连接PA、BG,如下图所示：I)由题意可得 BPG为等边三角形，则 PB = BG,易证ABP0DBG, PA= GD, Z APB =Z DGB = 120o, ./ APC = 120o,PA+PB+PC= GD + PG + PC=CD.接下来只需证明 CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！如下图所示，在 ABC中任取一个异于点 P的点Q,连接QA、QB、QC、QD,将 ABQ绕着点A顺时针 方向旋转60o得到八力则 ABQ与丹。Q'重合，且Q'在线段DQ上或DQ外，易证是等边 三角

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