数学23函数的奇偶性与周期性Word版

1、来源:中_教_网z_z_s_tepA组专项基础训练 (时间：60分钟)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2012·广东)下列函数为偶函数的是 ()Aysin x Byx3Cyex Dyln答案D解析由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数2 (2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ()Aycos 2x，xR Bylog2|x|，xR且x0Cy，xR Dyx31，xR答案B解析选项A中函数ycos 2x在区间上单调递减，不满足题意；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数，故选B.3(2011

2、·辽宁)若函数f(x)为奇函数，则a等于()A. B. C. D1答案A解析f(x)f(x)，来源:中#国教#育出#版网(2a1)x0，a.4 (2012·福州质检)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于 ()A2 B2 C98 D981 / 8答案A解析f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数，f(7)f(2×41)f(1)，又f(x)在R上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而当x(0,2)时，f(x)2x2，f(1)2×122，f(7)f(1)f(1)2，故选A.二、填空

3、题(每小题5分，共15分)5 设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_答案1解析因为f(x)是偶函数，所以恒有f(x)f(x)，即x(exaex)x(exaex)，化简得x(exex)(a1)0.因为上式对任意实数x都成立，所以a1.6 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)_.答案3解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(x)f(x)0.当x0时，可得f(0)0，可得b1，此时f(x)2x2x1，因此f(1)3.又f(1)f(1)，所以f(1)3.7 (2012·江南十校联考)已知定义在R上的函数yf(x)

4、满足条件ff(x)，且函数yf为奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图象关于点对称；来源:函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R上的单调函数其中真命题的序号为_答案解析由f(x)f(x3)f(x)为周期函数，且T3，为真命题；又yf关于(0,0)对称，yf向左平移个单位得yf(x)的图象，则yf(x)的图象关于点对称，为真命题；又yf为奇函数，ff，fff(x)，ff(x)，f(x)f(x3)ff(x)，f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数所以为真命题，为假命题三、解答题(共25分)8 (12分)已知函数f(x)x2 (x0)(1)判断f(x)的奇偶性，并

5、说明理由；(2)若f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性解(1)当a0时，f(x)x2，f(x)f(x) ，函数是偶函数当a0时，f(x)x2 (x0)，取x±1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)来源:中_教_网z_z_s_tep函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)若f(1)2，即1a2，解得a1，这时f(x)x2.任取x1，x22，)，且x1<x2，则f(x1)f(x2)(x)(x1x2)(x1x2)(x1x2).由于x12，x22，且x1<x2，x1x2<0，x1x2>，所以f(x1)<f

6、(x2)，故f(x)在2，)上是单调递增函数9 (13分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x) (0<x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式(1)证明由函数f(x)的图象关于直线x1对称，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)从而f(x4)f(x2)f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数来源:(2)解由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x1,0)时，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0时，f(x)

7、.x5，4时，x41,0，f(x)f(x4).从而，x5，4时，函数f(x).B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 (2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于()A3 B1 C1 D3答案A解析f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2×(1)2(1)3.2 已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为 ()A1 B1 C0 D无法计算答案C解析由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，

8、g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，来源:中国教育出版网f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.3 (2012·淄博一模)设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是 ()Aa<1或a Ba<1C1<a Da答案C解析函数f(x)为奇函数，则f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函数的最小正周期T3，则f(1)f(2

9、)，由1，解得1<a.二、填空题(每小题4分，共12分)4 (2011·浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.答案0解析函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，a0.5 已知函数f(x)满足：f(1)，4f(x)f(y)f(xy)f(xy)(x，yR)，则f(2 015)_.来源:中#国教#育出#版网答案解析方法一令x1，y0时，4f(1)·f(0)f(1)f(1)，解得f(0)，令x1，y1时，4f(1)·f(1)f(2)f(0)，解得f(2)，令x2，y1时，4f(2)·

10、;f(1)f(3)f(1)，解得f(3)，依次求得f(4)，f(5)，f(6)，f(7)，f(8)，f(9)，可知f(x)是以6为周期的函数，f(2 015)f(335×65)f(5).方法二f(1)，4f(x)·f(y)f(xy)f(xy)，构造符合题意的函数f(x)cos x，f(2 015)cos.6 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3,4)时，f(x)x3.其中所有正确命

11、题的序号是_答案解析由已知条件：f(x2)f(x)，则yf(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时0x1，f(x)f(x)1x，来源:函数yf(x)的图象如图所示：当3<x<4时，1<x4<0，f(x)f(x4)x3，因此正确不正确三、解答题(共13分)7 已知函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)且在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0，(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 011,2 011上根的个数，并证明你的结论解(1)若yf(x)为偶函数，则f(x)f(2(x2)f(2(x2)f(4x)f(x

12、)，f(7)f(3)0，这与f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数，则f(0)f(0)f(0)，f(0)0，这些f(x)在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0矛盾；因此f(x)不是奇函数综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)，f(x)f7(x7)f(7(x7)f(14x)，来源:中教网f(14x)f(4x)，即f10(x4)f(4x)f(x10)f(x)，即函数f(x)的周期为10.又f(1)f(3)0，f(1)f(110n)0(nZ)，f(3)f(310n)0(nZ)，即x110n和x310n(nZ)均是方程f(x)0的根由2 011110n2 011及nZ可得n0，&#