数量积与向量积

1、数量积与向量积、两向量的数量积1、数量积的物理背景：设一物体在常力F作用下沿直线从点M移动到点M以s表示位移M1M2由物理学知道，力F所作的功为W|F|s|cos其中为F与s的夹角2、数量积对于两个向量a和b,它们的模 |a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量 a和b的数量积，记作a b,即ab|a|b|cos3、数量积与投影当a 。时，| b| cos( a, b)是向量人由于|b|cos|b|cos(a,b),b在向量a的方向上的投影，于是a,b|a|Prjab同理，当b0时，a-b|b|Prjba4、数量积的性质(1) a-a|a|2(2) 对于两个非零向量a、b,如果a-b0,则

2、ab;反之，如果ab,则ab0如果认为零向量与任何向量都垂直5、数量积的运算律(1)交换律a-bb-a;(2)分配律(ab)cacbc(a)ba(b)(ab),(a) ( b)(a - b),、为数例1试用向量证明三角形的余弦定理6、数量积的坐标表示设a(ax,ay,az),b(bx,by,bz),贝Uabaxbxaybyabz7、两向量夹角的余弦的坐标表示设（a,Ab）,则当a0、b0时，有cosaxbxaybyazbz2ay硒byb21,2),求 AMB例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则AMB就是向量a与b的夹角a1,1

3、,0,b1,0,1因为ab1110011,|a|,121202.2,|b|,120212.2所以cos AMB|a|b| .2 .2 2从而AMB 3例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域液体在这区域上各点处的流速均为（常向量v设n为垂直于S的单位向量（图7-25（a）,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P（液体的密度为p）二、两向量的向量积1、向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出c的模|c|a|b|sin,其中为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b来确定那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作ab,即根据向量积的定义，力矩

4、M等于OP与F的向量积，即MOPF2、向量积的性质(2)对于两个非零向量a、b,如果ab0,则a/b反之，如果a/b,如果认为零向量与任何向量都平行则a/3、向量积的运算律交换律ab(2)分配律(ab)(a)bb)(ab)为数)4、向量积的坐标表不axiayjazk,byjbzk(axiayjazk)byjbzk)axbxiiaxbyijaxabxjaybyjayazbxkazbykOzbzkk(aybazby)i(axbz)jaybx)k为了邦助记忆，利用三阶行列式符号上式可写成axaybxbyaybz设a(2,1,1),aybziazbxjaxbykaybxkaxhjazbyi2iby)(

5、1,已知三角形ABC勺顶点分别是三角形ABC勺面积解根据向量积的定义，由于AB(2,2,2),azbxaxbz)j(axbyaybx)k1,2),2kkA(1,计算ab4j2,ii5j3)、B(3,可知三角形ABC勺面积_1_1_Sabc1|AB|AC|sinA-1|ABAC|AC(1,2,4),因此ABAC3k4,5)、C(2,4,7),4i6j2kSabc2|4i6j2k|2.,42(6)222.14例6设刚体以等角速度绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速度解刚体绕l轴旋转时，我们可以用在l轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出即以右手握住l轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大姆指的指向就是的方向设点M到旋转轴l的距离为a,再在l轴上任取一点O乍向量rOM,并以表示与r的夹角，那么a|r|sin设线速度为v,那么由物