准 - 内蒙古师范大学

1、系别年级学号姓名.密.得分.封.线. 高等代数（二）试卷（8卷） （本试卷满分100分，答题时间120分钟）题号一二三四五六七八九十总分评卷人分数一单选题（每小题2分，共16分）1、n 阶方阵A有 n 个不同的特征值是A可以对角化的（ ）A充要条件 B 充分而非必要条件 C 必要而非充分条件 D 既非充分也非必要条件2、下列说法错误的是_。A、 B为n阶实对称矩阵，若存在n阶可逆方阵C，使得，则A 与 B合同；B. A为n阶实对称矩阵，且对任意n维向量x，都有，则A=0；C. 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩；D. 实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性.3、下列叙述错

2、误的有_个。 设3阶方阵A的特征值是，则B相似于对角阵； 若A是3阶方阵，其特征值为，则必是可逆阵； 若A是n阶方阵，则A的特征值两两互异是A可对角化的充分必要条件； 若，则A的特征值只能是1A. 1B. 2C. 3D. 44、设是向量空间 V 的线性相关的向量组，是 V 的线性变换，则（ ）A线性无关 B 线性相关 C 不一定线性无关 D 全是零向量5、设V是n维欧氏空间，W是V的子空间，则W的正交补的维数等于（ ）A dimW B n-dimW C n-2dimW D 不确定6、设 u 是正交矩阵，则（ ）A u 的行列式等于 1 B u 的行列式等于-1 C u 的行列式等于±

3、 1 D u 的行列式等于0 7、设是向量空间 V 的对合变换（即= 单位变换），则关于的特征值的说法正确的是A 只有一个特征值为 1 B 只有一个特征值为-1 C 有两个特征值为1和-1 D 的特征值与维数无关8、和矩阵正交相似的矩阵是_A.B. C. D. 得分二. 判断对错,并解释原因（每题 3 分，共 15 分）1、两个子空间的交是子空间，同理并也是子空间. ( )系别年级学号姓名.密.封.线. 2、设是的属于本征值的本征子空间，则中的任意向量都是的属于本征值的本征向量. ( )3、若对于方阵A，存在满足，则线性无关. ( )4、设是n维欧氏空间V的一个正交变换，则关于V的任一基的矩阵

4、都为正交矩阵. ( )5、实对称矩阵的秩r和符号差s具有相同的奇偶性. ( )得分三、填空题（每题 2 分，共 16 分）1、 如果把n阶实对称矩阵按如下方法分类：两个实对称矩阵，属于同一类当且仅当它们合同，则共分为（ ）类；用同样的方法所有的n阶复对称矩阵可分为（ ）类.2、 在欧氏空间(标准内积)中, 设, 则的长度是( ), 与的距离是( ), 与的夹角是( ).3、 设是10维向量空间V的一个线性变换，关于V的一个基的矩阵为A，已知,dimIm()=7,则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间的维数是( ).4、设，是3维欧氏空间V的两组规范正交基，到的过渡矩阵是且V的正交变换关于的矩阵也是A，则关于的矩阵为（ ）.6、当取值范围为( )时, 二次型是正定型.系别年级学号姓名.密.封.线.得分四、计算题（共25分）1、 （10分）设(1) 求A的特征值.(2) A可以对角化吗?为什么?2、 （15分）设二次型, (1) 写出的系数矩阵；(2) 求一可逆矩阵P，使是对角矩阵（3）求出的正惯性指数和符号差.系别年级学号姓名.密.封.线.得分五、证明题（共28分）1、 (15分)设是3维向量空间V的一个线性变换，关于V的一个基的矩阵