第四篇 振动及波复习

1、振动、波动复习振动、波动复习一、振动一、振动1.简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程特征：特征： kxF0222 xtx dd动力学方程动力学方程mk运动学方程运动学方程（振动方程）（振动方程）)cos( tAxPkEEa,v 002020arctan)(xxA vv特征量特征量常见题：常见题：（1）证明某质点的运动是简谐振动）证明某质点的运动是简谐振动（2）求运动方程及各特征量）求运动方程及各特征量例例1 1 见习题见习题11-T3v0lkMgx 1kmgx 2 O OOOx解解： （1）以新平衡点为坐标原点，坐标方向向上为正。以新平衡点为坐标原点，坐标方向向上为正。在任一点在任一点 处

2、，弹簧的形变为：处，弹簧的形变为：xxxx21又分析可知：又分析可知：如如 ，则弹簧为伸长，弹力向上为正，则弹簧为伸长，弹力向上为正，表示为：表示为： 021xxx)(21xxxkf弹如如 ，则弹簧为压缩，弹力向下为负，则弹簧为压缩，弹力向下为负，表示任为：表示任为： 021xxx)(21xxxkf弹则，合力为则，合力为gmMxxxkfff)()(21重弹合kxf合mMk（2）既然运动是简谐振动，则此方程的通解为：）既然运动是简谐振动，则此方程的通解为：)cos(tAx其中其中 由初始条件决定：由初始条件决定：、A 00vxv0lkMgx 1kmgx 2 O OOOx由题意可知：由题意可知：k

3、mgxt0 0而而 待求待求0vv0lkMgx 1kmgx 2 O OOOx油灰团上升，机械能守恒油灰团上升，机械能守恒gh2201202 vv02v碰撞，动量守恒碰撞，动量守恒020)vvmmM （0v0 x 002020arctan)(xxA vvNote:0, 000 vx因为因为，则，则为第四象限的角。为第四象限的角。势能：势能：221)xkgxmMEP （而而x xxx 21222121)(21kxxxkEP 势能只是位置坐标的函数，如以新的平衡点为原点，则：势能只是位置坐标的函数，如以新的平衡点为原点，则：221kxEP （3）求最大拉力）求最大拉力弹簧最大伸长出现在负的最大位移处

4、弹簧最大伸长出现在负的最大位移处Axxx 21maxOxv0lkMgx 1kmgx 2 O OOA2. 简谐振动的三种表示方法简谐振动的三种表示方法（1）解析法）解析法)cos( tAx（2）振动曲线）振动曲线txo（3）旋转矢量法）旋转矢量法Ao)cos( tAx)sin( tAv)cos(2 tAa速度比位移超前速度比位移超前2/ 加速度与位移反向加速度与位移反向常见习题：常见习题：（1）已知位相求状态）已知位相求状态（2）已知状态求位相）已知状态求位相（3）已知曲线求振动）已知曲线求振动例例2 见习题见习题11-T7解：解： （1）由状态求位相）由状态求位相 34 各象限位移、速度及加速

5、度的符号各象限位移、速度及加速度的符号m/s32)3/4sin(0 Av220m/s20)3/4cos( Aa 又由：又由： A则写出运动方程：则写出运动方程：)cos( tAx（2）重要概念）重要概念位相差的计算位相差的计算)()()(1212tttt 例例3 见习题见习题11-T6解：解：设：设：)cos( tAx又：又：s8 T则：则：4 当当 时时s 1 t0)4cos( A4 43 或或 （1）当当 时时s 0 tm106 . 5cos2 Am106 . 5)43cos(2 Am2106 . 5)4cos( A则：则：m1026 . 52 Amtx)44cos(1026 . 52 （

6、2）4 m)44sin(41026 . 5)(2 ttvm)44cos(41026 . 5)(22 tta当当 时时s 0 .10 tm1026 . 52 x方向为正方向为正m/s4106 . 52 v方向为负方向为负222m/s4106 . 5 a方向为负方向为负3. 简谐振动系统的能量简谐振动系统的能量221)(kxxEp )(cos21)(022 tkAtEp)(sin21)(022 tkAtEk)(21)(22xAkxEk 4. 简谐振动的叠加（同频率同方向）简谐振动的叠加（同频率同方向）)cos(111 tAx)cos(222 tAxmax ,221AAAk min ,) 12(21

7、AAAk , 2 , 1 , 0 k)cos( tAx cos2212221AAAAA22112211coscossinsintan AAAA 注意：叠加的矢量表示及应用注意：叠加的矢量表示及应用21AAA 1A2A3A常见习题：求振动的叠加，问什么情况下振动加强，什么情况常见习题：求振动的叠加，问什么情况下振动加强，什么情况下振动减弱。下振动减弱。例例4 两个同方向同频率的简谐振动两个同方向同频率的简谐振动)4sin()4cos(2211 tAxtAx 已知已知 A1=20cm, 合振动合振动 A = 40 cm , 则则 A2 =_。合振动与第二个谐振动的位相差为合振动与第二个谐振动的位相

8、差为_。)4cos()42sin(222 tAtAx 1AA2A分析：分析：由由知知 ：A1 比比 A2 超前超前 /2 20403206 不同频率同方向简谐振动的合成不同频率同方向简谐振动的合成 ttAtAtAxxx2cos2cos2 )cos()cos(12122121 慢变因子慢变因子快变因子快变因子两因子合成两因子合成慢变因子反应振幅随时间变化。慢变因子反应振幅随时间变化。快变因子说明质点在做简谐振动。快变因子说明质点在做简谐振动。拍频拍频12 振动频率振动频率212 x二、机械波二、机械波1. 机械波产生的条件、机制、机械波产生的条件、机制、特点特点（1）质元并未质元并未“随波逐流随

9、波逐流” 波的传播不是媒质质元的传播。波的传播不是媒质质元的传播。（2）后面的质点在前面的质点的作用下开始振动，但位相）后面的质点在前面的质点的作用下开始振动，但位相落后落后。 因此某一时刻各质点位置不同而形成波。因此某一时刻各质点位置不同而形成波。2. 波函数的建立波函数的建立Puxy（1）已知）已知 P 振动写波函数振动写波函数)cos( tAyPP 点振动方程：点振动方程：沿波的传播方向位相落后，沿波的传播方向位相落后，写出波函数：写出波函数：)(cos uxxtAyP（2）已知）已知 某时刻某时刻 的波形写波函数的波形写波函数xyu0tt P首先由波形曲线可直首先由波形曲线可直接得到一

10、系列的特征量：接得到一系列的特征量： 、uA然后由然后由 P 点的振动位点的振动位及及速度方向速度方向可求出可求出 P 点点振动的初位相振动的初位相 并并写出其振动方程：写出其振动方程：P)cos(PPtAy 最后写出波函数最后写出波函数)(cosPPuxxtAy （3）反射波波函数的建立）反射波波函数的建立振源振源 P 点的振动点的振动)cos(PPtAy P 点的振动引起一列波向点的振动引起一列波向x 轴正方向传播，我们称为入射波，轴正方向传播，我们称为入射波， 其波函数：其波函数：)(cosPPuxxtAy 入入入射波在入射波在 反射点反射点 Q 引起振动，引起振动，Q 点振动方程为：点

11、振动方程为：)cos( )(cosuxxtAuxxtAyPQPPPQQ 以以Q点为反射波波源，写出反射波波函数：点为反射波波源，写出反射波波函数：)(cos(uxxuxxtAyPQPQ 反反 NOTE: 建立入射波和反射波的波动方程时，要用建立入射波和反射波的波动方程时，要用同同一坐标系和一坐标系和 相同相同的时间起点。的时间起点。 x 一定一定 振动方程振动方程 t 一定一定 波形方程波形方程 x 、t 变变波形传播波形传播意义意义：波动是振动的传播波动是振动的传播常见问题：常见问题：（1）由波某时刻的波形，判断某点的振动方向及求此点振动的）由波某时刻的波形，判断某点的振动方向及求此点振动的

12、 初位相。初位相。（2）已知振动写出波动，反之，已知波动求某点的振动方程。）已知振动写出波动，反之，已知波动求某点的振动方程。（3）由波形曲线，求各特征量。）由波形曲线，求各特征量。例例5 已知已知 x= /2 处质点振动方程为：处质点振动方程为： )cos(2 tAy写出波函数？写出波函数？)2(cos uxtAy解：解：例例5 已知已知 t=t=0 0 时刻的波形曲线，写出波函数：时刻的波形曲线，写出波函数：解：解：23 ,22s4T, m2,m500 TuAm)232cos(500 tyO 点振动方程：点振动方程：波函数：波函数：m23)50(2cos50 xty讨论：讨论：若右图若右图

13、为为 t=2s 时的波形，又如何？时的波形，又如何？先找出先找出 O 点的初位相点的初位相23222300 t20 波函数：波函数：2)50(2cos50 xty3. 波的叠加及干涉波的叠加及干涉S1S2P1r2r 两波源的振动两波源的振动 111cos tAy 222cos tAyS1:S2: 两列波在两列波在 P 点分别所引起的振动点分别所引起的振动 1111cos urtAy 2222cos urtAyP1:P2: 两个分振动的位相差：两个分振动的位相差： urr1212 P 点的合振动仍为简谐振动点的合振动仍为简谐振动 tAurtAurtAyyypcoscoscos22211121合合

14、其中其中： cos22122212AAAAA合合2 AI正正比比于于 cos2 2121IIIII合合 振动加强区振动加强区2, 1,0 2 kk 21AAA 合合21212IIIII 合合 振动减弱区振动减弱区 2, 1,0 12 kk 21AAA 合合21212IIIII 合合特殊情况：特殊情况：21 urr12 振动加强区振动加强区2, 1,0 12 kkrr 振动减弱区振动减弱区2, 1, 0 2112 kkrr 常见问题：求波的叠加及干涉加强区和减弱区常见问题：求波的叠加及干涉加强区和减弱区例例6 同一媒质中的两个相干波源，分别位于同一媒质中的两个相干波源，分别位于 x1 = 3.5

15、m 和和 x2 = 4 . 5 m 处 ， 其 振 幅 均 为处 ， 其 振 幅 均 为 A ， 频 率 都 是， 频 率 都 是 1 0 0 H z ， 波 速， 波 速 u=400ms1 ，媒质无吸收，当，媒质无吸收，当 x1 处的质元振动位于正最处的质元振动位于正最 大位移时，大位移时，x2 处质元恰经过自己的平衡位置朝负方向运动。处质元恰经过自己的平衡位置朝负方向运动。求：求： Ox 轴上因干涉保持静止的各点位置轴上因干涉保持静止的各点位置 1x2xo)m(xx1r2rP53 54 解：解：2)12(12 krr请问能否用公式请问能否用公式直接计算直接计算?01 2/2 应该应该用公式

16、用公式 urr1212 其中：其中：212 22xxr 11xxr （1）考虑）考虑 x1 左边的情形左边的情形xxxxr 222xxxxr 111 022121212 xxuxx则：则：即即 x x2 的点振动均减弱的点振动均减弱NOTE:实现电磁波的定向辐射实现电磁波的定向辐射（3）考察两者之间的点）考察两者之间的点xxxxr 222111xxxxr 4282221212xuxxx 则：则：当当 )12( k 干涉静止，干涉静止， 于是有：于是有： ) 12(42822kx5 . 42 kx 5 . 6 5 . 4 5 . 2 、 x可见两者之间没振动减弱的点，也可证明两者之间也没加强点。

17、可见两者之间没振动减弱的点，也可证明两者之间也没加强点。4. 驻波驻波两列振幅相同的相干波，反向传播迭加干涉而成分段两列振幅相同的相干波，反向传播迭加干涉而成分段振动，波节同侧位相相同，波节两侧位相相反。振动，波节同侧位相相同，波节两侧位相相反。常见问题：常见问题：（1）求驻波方程。）求驻波方程。驻波是由于两反响相干波的叠加，因此方程一定可分为两部驻波是由于两反响相干波的叠加，因此方程一定可分为两部分，一部分是时间的函分，一部分是时间的函 数，另一部分是空间的函数数，另一部分是空间的函数 。形如：形如：.)cos(.)cos(.2txAy 驻驻（2）分析波节、波腹的位置）分析波节、波腹的位置例

18、例7 如图，如图， 已知入射波的已知入射波的 A， ， ，C 点为点为自由端自由端 t= 0 时、时、O 点点合振动经平衡位置向负向运动合振动经平衡位置向负向运动求：（求：（1 1）B点合振动方程？点合振动方程？ （2 2）OC 段波腹、波节的位置？段波腹、波节的位置？ oxBCxy解（解（1）22cos )(2cos00 xtAuxtAy入入2322cos)872(2cos00 xtAuxtAy反反在在 x=0 处合振动方程为处合振动方程为)432cos(200 tAy合合)4 2cos(20 tA此点合振动的初位相为此点合振动的初位相为4 2400 87 2 )43 2cos()432co

19、s(20 txAy驻驻)2cos(00 tAy?)4432cos()432cos(2 txAy 驻驻)22cos()432cos(2 txAy 驻驻B 点（点（x= /2）的合振动方程为：）的合振动方程为：)22cos(2 tAyB （2） 432 x2)12( kk波腹波腹 87 , 83 x81 , 85 x波节波节)22cos()4322cos(2 tAyB 4 oxBCxy87 2 5. 多谱勒效应多谱勒效应 SRuuvv 4靠近运动，取上面符号靠近运动，取上面符号远离运动，取下面符号远离运动，取下面符号注意注意这里可出综合题。写振源的振动方程、入射波方程、求反射这里可出综合题。写振源

20、的振动方程、入射波方程、求反射壁测得频率、写反射波方程、求驻波、求探测器所测拍频等。壁测得频率、写反射波方程、求驻波、求探测器所测拍频等。6. 波的能量波的能量特点：媒质元动能、媒质的形变势能同步变化。某点的总能量不特点：媒质元动能、媒质的形变势能同步变化。某点的总能量不 守恒。守恒。 注意与振动能量相区别注意与振动能量相区别能流密度平均值（波的强度）能流密度平均值（波的强度）22221AuwAuwSPiI 注意行波与驻波能量的区别注意行波与驻波能量的区别 常见题目：有关能量的计算及其特点的简单应用常见题目：有关能量的计算及其特点的简单应用例例8 如图所示。该时刻，如图所示。该时刻，能 量 为 最 大 值 的能 量 为 最 大 值 的媒质元的位置是媒质元的位置是。 a a，c c，e e，g g 例例9 见习题见习题11-T18220211 AwdtTwT uAuwSPiI2221 其它题目：其它题目：例例10 已知入射波已知入射波 t 时刻的波动曲线，问：时刻的波动