正态分布性质研究

1、.正态分布性质正态分布定义 ：若随机变量 服从一个位置参数为 、尺度参数为 的概率分布，且其 概率密度函数 为21（ x- ）F(x)=exp （-2）?2?2?则这个随机变量就称为 正态随机变量 ，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或 服从正态分布。正态分布可以写成自然指数分布族分布形式1（x- ）21? 22F(x ；?)=exp （ -）=exp （?22-2 -2）?2?2?2?2?2?= 122exp （ -?2 ）exp （ 2x -?2）?2?2?2?22其中 =2，（?）= ?2 ，h（x）=1exp （-?2 ）?2?2?2?则正态分布族属于自然指数分布族

2、。正态分布数字特征+1（ x- ）2?（）dx（1） 正态分布的期望： E（X）=-2?2- ?2?exp1+2=（+- ?t）? 2 dt2?- 221+? +-=- ?dt+? 2?2 dt2?-2? - =+(?-2(2)D(X)= ?) f(x)dx-=+(?-2?)f(x)dx-+21（ x- ）2=）dx(?- ?) *exp （-2?2- ?2?令 ?-?=t,得?22+?2-D(X)=?dt2? 2- 222-?+-?）-+dt)=（-? 2+? 22?2- ?=0+2? 2?2=?;.正态分布的图形性质（ 1） 变换：正态分布有两个参数， 即均值和标准差 ，可记作 N（，）：

3、均值决定正态曲线的中心位置，标准差 决定正态曲线的陡峭或扁平程度。若固定，而改变 的值，则当 x=时， f（x）=1。由此可知，?2?越小，曲线越陡峭； 越大，曲线越扁平。f（ x）OX（ 2） 变换： 为了便于描述和应用， 常将正态变量做数据转换。 是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。 正态分布以 x=为对称轴，左右完全对称。当恒定后，而改变的值，则 f （x）的图形沿 x 平行移动，但不改变其形状。 越大，则曲线沿横轴向右移动； 反之，越小，则曲线沿横轴向左移动。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于。正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降（ 3） 曲线 y=

4、f （x）在 x= +处有拐点且曲线 y=f （x）以 OX轴为渐近线，无限逼近。;.（ 4） 在正态曲线下方和x 轴上方范围内区域面积始终为1。3原则：P（- <X +）=68.3%P（-2 <X +2）=95.4%P（-3 <X +3）=99.7%2在实际应用中，通常认为服从正态分布N（， ）的随机变量只取（ - 3， +3）之间的值，并称为3原则。正态分布的线性性质（ 1） XN(0，1),Y=-X, 则 YN(0， 1)证： Y 的分布函数 F（ y）可表示为：F（y）=P(Yy)=P(-X y)=P(X -y )=1- （ -y ）=1-1- (y)= (y)故 Y

5、N(0，1)222)(2) 设随机变量 xN（， ?），当 b0 时有 Y=a+bxN(a+b, ?证明：令 Z=?- （ a+b ）|?|?+?-(?+?)?-?当 b>0 时， Z=? ? 2 2故 ZN(0，1), 从而 YN(a+b , ?)?+?-(?+?)?-?当 b<0 时， Z=-()-? ?根据性质（ 1），因为 ?-? N(0 ，1) ，所以 ZN(0，1)? 2 2则 YN(a+b , ?);.综上 Y=a+bxN(a+b, b2 2 )22（ 3） XN（?，, ?）， YN(?，, ?), 且 X 与 Y 相互独立，则1122Z=X+YN(?+1?-? ?-?证明： X+Y=?(1+2 )+ ?+?2?122222?,? + ?)212222XN(,?)则 Y=aX+bN (b+a, ?)?-?2?-?由此可推出?1N(0， 12 ) ,?2 N(0，1)?2222?-? ?-?所以1 +?2 N(0，1+12