椭圆与双曲线性质有关性质推论归纳共92条-(1).

1、椭圆与双曲线的对偶性质92 条椭圆1 | PF1 | PF2 | 2ax2y22标准方程：122ab|PF1|e13d14点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角 .5PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .6以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .7以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8设 A1、 A2 为椭圆的左、右顶点，则PF1F2 在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与A1A2 所在的直线切于 A2（或 A1） .9椭圆x2y21（ a b o）的两个顶

2、点为A1 (a,0) , A2 (a,0) ，与 y 轴平行的直线交椭圆a2b2x22于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是y1 .a2b2x2y 210若 P0 (x0, y0 ) 在椭圆1上，则过P0 的椭圆的切线方程是x0 xy0 y1.b2a2b2a211若 P (x, y) 在椭圆x2y 21外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P1、 P2，则切点000a2b2弦 P1P2 的直线方程是x0xy0 y1.a2b212AB 是椭圆x2y21的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则2b2b2akOMkABa2 .x2y213 若 P0 ( x0 ,

3、 y0 )在 椭 圆1 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是a2b2x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .x2y2x2y214若 P0 x(0 y,0 )在椭圆1内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是x0 x y0 ya2b2a2b2a2b2 .15若 PQ 是椭圆x2y21 （ a b 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则a2b21111(r1| OP |,r2|OQ|).22a22r1r2b16若椭圆x2y21（ a b 0）上中心张直角的弦L 所在直线方程为AxBy 1 ( AB0) ,a2b2则 (1)11A2B2 ;(2)L2a4

4、 A2b4 B2 .a2b2a2 A2b2B2( a2b217给定椭圆 C ： b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0） , C2 ： b2 x2a2 y2ab) 2 ,则 (i)1a2b2对 C 上 任 意 给 定 的 点 P0 (x0 , y0 ) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C2上一定点1a2b2a2b2M( (22 x0 ,a2b2 y0 ) .ab(ii) 对 C2上任一点 P'0( x0' , y0' ) 在 C1上存在唯一的点M ' ,使得 M ' 的任一直角弦都经过P0' 点 .x2y21(a 0,.b

5、0)上一点， P1P2 为曲线 C 的动弦 ,18设 P0 (x0, y0 ) 为椭圆（或圆） C:22ab且弦 P0P1, P0P2 斜率存在， 记为 k1, k 2,则直线 P1P2 通过定点 M (mx0 , my0 ) (m1)的充要条件是k1 k21mb21ma2 .19过椭圆x2y21(a 0, b 0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆a2b2b2 x0 （常数） .于 B,C两点，则直线BC有定向且 kBCa2 y020椭圆x2y21 (a b 0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1 PF2，a2b2则椭圆的焦点角形的面

6、积为SFPF2tanac222b2tan) .2b， P(btan,12c2 c221若 P 为椭圆x2y21（ ab 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 ,PF1F2,a2b2PF2 F1，则actanco t .ac2222椭圆x2y21（ a b 0）的焦半径公式：a2b2|MF1|aex0 ,| MF2 |aex0 ( F1 (c,0) ,F2 (c,0) M (x0 , y0 ) ).23若椭圆x2y21（ ab 0）的左、右焦点分别为F1、 F2，左准线为 L，则当a2b20 e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离d 与 PF2 的比例

7、中项 .24 P为椭圆x2y21 （ a b 0）上任一点 ,F1 ,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则a2b22a | AF2 | | PA | | PF1 | 2a| AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .25椭圆x2y21（ a b 0）上存在两点关于直线l ： y k (x x0 ) 对称的充要条件是a2b22(a2b2 )2x0a2b2k2 .26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .28 P 是椭圆x

8、a cos（ a b 0）上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是yb sine211.sin 229设 A,B 为椭圆x2y 2k(k 0, k1) 上两点，其直线AB 与椭圆x2y21相交于a2b2a2b2P,Q ,则 APBQ .x2y21 ( x2y2)30在椭圆1 中，定长为2m（ o ma）的弦中点轨迹方程为2a2b2,a2b2mcos2sin2b2 x2a2b2其中 tan0 时 ,90 .2y2 ,当 yax2y21（ a b0）的通径，定长线段L 的两端点 A,B 在椭圆上移动，31设 S 为椭圆b2a2记 |AB|=l ， M (x0 , y0 ) 是 AB 中点，则

9、当 lS 时，有 ( x0 )maxa2l(c2a2 b2, ec );当ac2ealS 时，有 (x0 )max4b2l 2, (x0 )min0 .2b32椭圆x2y21与直线有公共点的充要条件是22222.a2b2Ax By C 0A a B b C(xx )2( yy )233椭圆001 与 直 线 AxBy C0有公共点的充要条件是a2b2A2 a 2B 2 b2( Ax0By0C)2 .x2y21（ a b 0）的两个焦点为F1、 F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意34设椭圆b2a2sinc一点，在 PF1 F2 中，记F PF,PF F,F FP，则有e.121212sinsi

10、na35经过椭圆 b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0）的长轴的两端点A1 和 A2 的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和 P2，则 |PA1| |PA2 |b2.36已知椭圆x2y21（ a b 0），O 为坐标原点， P、Q 为椭圆上两动点， 且 OP OQ .a2b2（ 1）11112+|OQ|24a2 b222a2b2 ;（ 2）|OP|的最大值为2b2 ;（ 3） S OPQ 的最小值是|OP |OQ |aa2b22 .a2b37 MN 是经过椭圆 b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0）过焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心 O 且平行于 MN 的弦，则 | AB

11、 |22a | MN | .38MN 是经过椭圆 b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP2111MN ，则|OP |2a2b2 .a | MN |39设椭圆x2y21（ a b 0）,M(m,o)或 (o, m)为其对称轴上除中心， 顶点外的任一点，a2b2过 M 引一条直线与椭圆相交于P、Q 两点，则直线A1P、A2 Q(A1 ,A2 为对称轴上的两顶点)的交点 N在直线 l ： xa2b2)上 .(或 ymm40设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、 Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、

12、 N 两点，则 MF NF.41过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1 、A2 为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q交于点 M ，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF.42设椭圆方程x2y21 ,k(k0)的平行弦的中点必在直线l ：ykx的共轭直则斜率为a2b22线 yk' x上 ,而且 kk 'b2 .ax2243设 A、B、C、D 为椭圆y1上四点 ,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为,，直线a2b2| PA| |PB|b2 cos2a 2 sin 2.AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上 ,则b2 cos2a2 sin 2|PC| |

13、PD|x2y21（ a b 0） ,点 P 为其上一点 F1, F 2 为椭圆的焦点，F PF的外44已知椭圆a2b212（内）角平分线为 l ，作 F1、 F2 分别垂直 l 于 R、 S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、 S形成的轨迹方程是 x2y2a2( b2 y2(ace)( x c) 2( x2y2cx)2 ce(x c)2).45设 ABC 内接于椭圆，且 AB为的直径，l 为 AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线 AC、 BC 于 E 和 F，又 D 为 l 上一点，则 CD与椭圆相切的充要条件是D 为 EF的中点 .x2y21（a b 0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于4

14、6过椭圆 a2b2M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则 | PF |e .|MN |247设 A（ x1 ,y1）是椭圆 x2y21（ ab 0）上任一点，过 A 作一条斜率为b2 x1 的直a2b2a2 y1线 L，又设 d 是原点到直线L的距离 ,r , r 分别是 A 到椭圆两焦点的距离，则rrdab .121 248已知椭圆 x2y21（ ）和 x2y2（ 01 ），一直线顺次与它们相a2b2a b0a2b2交于 A、 B、 C、 D 四点，则 AB =|CD .49已知椭圆x2 y2 a2 b21（ a b 0） ,A、 B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与

15、a2b2a2b2x 轴相交于点P( x0 ,0) , 则x0.aa50设P 点是椭圆2xy21 （ a b 0）上异于长轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记b2F1 PF2，则 (1) | PF1 | PF2 |12b2.(2) S PF1 F2b2 tan2.cos51设过椭圆的长轴上一点B（m,o ）作直线与椭圆相交于P、 Q 两点， A 为椭圆长轴的左顶点 ， 连 结 AP 和 AQ 分 别 交 相 应 于 过 B 点 的 直 线 MN ： xn 于 M ， N 两 点 , 则MBN90ama2am b2 ( na)2 .52L 是经过椭圆x2y2（ ab 0）长轴顶点 A 且与长轴

16、垂直的直线，E、F 是椭圆两a2b21个焦点， e是离心率 ,点 PL ，若EPF，则是锐角且 sine 或arc sin e（当且仅当 |PH |ab 时取等号） .c53L是椭圆 x2y 2（ ）的准线，、是椭圆的长轴两顶点点 PL ，e是离a2b21ab 0A B,心率， EPF是锐角且 sine 或arc sin e（当，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距， 则且仅当 |PH |ab 时取等号） .cx2y21（ ab0）的准线， E、F 是两个焦点， H 是 L 与 x 轴的交点，点54L 是椭圆b2P L ，a2，半焦距为，则为锐角且2 或2 （当且EPF离心率为esinb

17、,cearc sin e仅当 |PH |a2c2 时取等号） .cx2y21（ ab 0），直线 L 通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B 两点，55已知椭圆b2a2(2 a2b2 )2将 A、 B 与椭圆左焦点F1 连结起来，则 b2| F1A | |F1B |（当且仅当ABx 轴时右a2边不等式取等号，当且仅当A、 F1、B 三点共线时左边不等式取等号） .x2y21（ a b0 ）的长轴两端点， P 是椭圆上的一点，PAB,56设 A、B 是椭圆b2a2PBA,BPA， c、 e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)| PA|2ab2 | cos|a2c2co s2.(2)tan tan

18、22a2 b21 e .(3) S PAB2a2 cot .bx2y21 （ a b 0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的57设 A、 B 是椭圆2b2aa2 ，（1 ）若过 A 点引直线与这椭圆相交于两点，且 xA 、 xB 的横坐标 xAxBP、 Q 两点，则PBAQBA ；（ 2）若过 B 引直线与这椭圆相交于P、Q 两点，则PBAQBA 180 .x2y21 （ a b 0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的58设 A、 B 是椭圆2b2a两点，（ 1）若过 A 点引直线与这椭圆相交于P、 Q 两点，（若 B P 交椭圆于两点，则P、 Q 不关于x 轴对称），且PBAQB

19、A ，则点 A、B 的横坐标 xA 、 xB 满足 xAxB a2 ；（ 2）若过 B 点引直线与这椭圆相交于P、Q 两点，且PBAQBA180 ,则点 A、B 的横坐标满足 xA xBa2.'x2y21QQ'AA'AQ59设A, A是椭圆a2b2的长轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与''的交点 P 的轨迹是双曲线x2y21.AQa2b2x2y 21 （ a b 0 ） 的 左 焦 点 F 作 互 相 垂直 的 两 条 弦 AB、 CD 则60过椭圆b2a28ab2|AB|CD |2( a2b2 ) .a2b2a61到椭圆 x2y21（ a b 0）两

20、焦点的距离之比等于ac （ c 为半焦距）的动点Ma2b2b的轨迹是姊妹圆(xa)2y2b2 .62到椭圆 x2y21（ a b 0）的长轴两端点的距离之比等于a c （ c 为半焦距）的a2b2a )2( b )2 .b动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( xy2ee63到椭圆 x2y21（ a b 0）的两准线和x 轴的交点的距离之比为a c （c 为半焦a2b2a2( b2 )2 （e 为离心率） .b距）的动点的轨迹是姊妹圆( x)2y2ee64已知 P 是椭圆x2y21（ a b 0）上一个动点，',且a2b2A , A 是它长轴的两个端点AQ''x2b2 y2AP,

21、AQA P ，则 Q 点的轨迹方程是a41 .a265椭圆的一条直径 (过中心的弦 )的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项 .66设椭圆 x2y21（ a b 0）长轴的端点为A, A' , P( x1 , y1) 是椭圆上的点过P 作斜率b2 x1a2b2为的直线 l ，过 A, A'分别作垂直于长轴的直线交l 于 M , M ' ,则a2 y1''|b2.（ 2）四边形MAA''面积的最小值是 2ab .（1） | AM | AMM67已知椭圆 x2y2（ a b 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点F 的直a2b21线与椭圆相交于A、B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .68OA、OB 是椭圆( xa)2y21（ a0,b 0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，a2b2则（ 1）直线 AB 必经过一个定点( 2ab22 2 ,0) .(2)以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨ab22(xab22ab2(x0).迹方程是22)y( 2