第2讲角平分线的性质与判定

1、第2讲 角平分线的性质与判定1 .角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等2 .角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上3 .有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形经典考题赏析【例1】如图，已知OD平分/ AOB,在OA、OB边上截取 OA= OB, PMXBD, PNXAD. 求证：PM=PN【解法指导】由于PMXBD), PNXAD.欲证PM = PN只需/ 3=7 4,证/ 3=7 4,只需证明： OD 平分/ AOB1=7 2 . OBg OAD/3和/ 4所在白OB 08口与4 OAD全等即可.OB OA在OBD 与4OAD 中， 12O

2、D ODPM± BD, PN± AD所以 PM=PN【变式题组】01.如图，CR BP分别平分 ABC的外角/ BCM、/ CBN,求证：点 P在/ BAC的平分线上02.如图，BD平分/ ABC, AB= BC,点P是BD延长线上白一点， PMXAD, PNLCD求证:PM=PNC【例2】（天津竞赛题）如图，已知四边形 ABCD中，AC平分/ BAD, CE，AB于点E,一 _ 1且AE= -(AB+ AD),如果/ D=120 ,求/ B的度数2【解法指导】由已知/ 1 = / 2, CE! AB,联想到可作 CFL AD于F,得CE= CF, AF= AE,一，_ 1

3、又由 AE= （AB+AD）得 DF= EB,于是可证 CFD CEB 则/ B= / CD已 602在AE上截取AM = AD从而构造全等三角形.解：过点C作CF, AD于点F. AC平分/ BAD, CE! AB,点C是AC上一点,.CE= CF一一小一 q CF CE .一 八一在 RtCFA和 Rt CEA中，/.RtAACF RtAACE . . AF= AE1一X / AE= _(AE+ BE+ AF- DF), 2AE= AE+ AF+ BE- DF, . BE= DF2CF± AD, CEL AB, . . / F= Z CEB= 90°CE CF在CEB和

4、CFD中，F CEB,.CEg CFDDF BE，/B=/CDF 又. /ADC= 120° , . . / CDF= 60° ,即/ B= 60°【变式题组】01.如图，在 ABC中,一 .S 、CD平分/ ACB, AC= 5, BC= 3.求，CDS CBD02.（河北竞赛）在四边形ABCD中，已知 AB= a, AD= b.且 BC= DC,对角线 AC平分/ BAD,问a与b的大小符合什么条件时，有/B+Z D=180° ,请画图并证明你的结论例 3 如图，在 ABC中，/ BAC= 90° , AB= AC, BE平分/ ABC,

5、CE! BE.求证：CE1 BD 2【解法指导】由于BE平分/ ABC,因而可以考虑过点 D作BC的垂线或延长 CE从而构 造全等三角形.证明：延长 CE交BA的延长线于 F, 一/ 1 = /2, BE= BE, / BEF= Z BEC . BE阵 BEC ASA)Z 1 = / 3在 ABDA ACF 中，CE= EF,13AB ACBAD CAFCE= 1CF, / 1 + / F= / 3 +2,.ABD仁 ACFBBD= CFCE= - BD2【变式题组】01.如图,已知 AC/ BD, EA EB分别平分/ CAR / DBA, CD过点 E,求证：AB= AC+ BD.02.如

6、图:于点在 ABC中，/ B=60° , AD、CE分别是/ BAG / BCA的平分线 F.CE相交请你判断求证：AE+CD- AC演练巩固反馈提高01.如图RtABC中，/ C= 90° , BD平分/ ABC交 AC于 D,若 CD-n, AB= m ABD的面积是A. - mn3B. mn2mnD. 2 mnA. 103.如图，在 ABC中AQ= PQPR= PGB. 2Q分别是 下列结论C. 3D. 4AC上的点，作 PR!AB, PS!AC,垂足分别是BR® CS映中正确DBD/CE第2题图A Q SC第3题图B D C第4题图C第5M02.如图，已知

7、 AB= AC, BE= CE,下面四个结论 / PBC= / PCB其中正确的结论个数有（距离相等； AD± BC且BD= CD;/ BDE= / CDF其中正确的是（A.B.C.)D.04.如图， ABC中，AB= AC, AD 平分/ BAC, DEXAB, DFAC,垂足分别是 E、F,则下 列四个结论中： AD上任意一点到B、C的距离相等；AD上任意一点到 AR AC的平分线交于E点，则/ AEB的度数为（A. 50°B. 45°)C. 40°D. 35°05.如图，在 RABC中，/ ACB= 90° , / CAB= 3

8、0° , / ACB的平分线与/ ABC的外角06.如图，P 是 ABC内一点，PD± AB 于 D, PE± BC于 E, PF± AC于 F,且 PD- PE= PF, 给出下列结论： AD=AF;AB+ EC= AC+ BE;BC+ CF= AB+ AF;点 P是 ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是A.B.C.D.07.如图，点P是 ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）A.点P到 ABC三边的距离相等B.点P在/ABC的平分线上C. / P与/ B的关系是：/ P+ - ZB= 90。 D. / P与/ B的关系是：/ B

9、= - ZP22AAKADDAFPPBBBAC= 23个AD1EDBCFAAF08.如图AC和AB的垂线QM、QN和B. 2个B, 2个D. 4个卜列结论中ABC, CD垂足分别为M、N、KBQ是/ ABC的内角平分线，CQ是/ ACB的外角平分线AD是 ABC的角平分线，DEL AB于E：第7题图C FACE BD与CD相交于 D.给出下列结论：点A. 3个10.如图，已EA 'BDE;DE平分/12.如图，在 ABC中，AD是/BAC的平分线，DEL AB于点E, DF, AC于点F.求证：AD XEF.D. 4个口 Q出发，作点QQM、QN、QK的关A. 1，09.如图，平分/

10、ABC中，/ C= 90° CDE; / BAC=Z IaE 尤乙 BD%矗E B平/ V<Q / NQ，"B第瞰图C MB E C第6题图_11.如图，AD是/BAC的平分线，DEL AB于E, DF± AC于F,且DB=DC求证：BE= CFBD C培优升级奥赛检测01 .如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条 公路的距离相等，则可选择的地址有（）A. 一处B.二处C.三处D.四处02.已知 RtABC 中，/ C= 90° , AD 平分/ BAC交 BC于 D,若 BC= 32,且 BD: CD

11、= 9:7 ,则D到AB边的距离为()A. 18B. 16C. 14D.1203.如图， ABC中，Z C= 90° , AD是 ABC的平分线,有一个动点P从A向B运动.已知：DC= 3cm, DB= 4cm, AD= 8cm. DP 的长04.如图，已知为x(cm),那么x的范围是AB/CD,PH AB,PF71BD,PGJ± CD,垂足分别为E、F、G,且PF= PG=AC上，并且AP、PE,贝叱 BPD=05.如图，已知 AB/CD,。为/CAR /ACD的平分线的交点， OEL AC,且 OE= 2,则两 平行线AB、CD间的距离等于 06.如图，AD平分/ BAC, EF± AD,垂足为P, EF的延长线于 BC的延长线相交于点 G.求、一 1证：/ G= (/