不等式有解和恒成立问题

1、YOUR LOGO不等式有解和恒成立问题Prepared on 24 November 2020不等式有解和恒成立问题二小本节重点（知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好）>知识点一：不等式恒成立问题>知识点二：不等式有解问题vj考情分析（分析该知识点在中高考中的体现,包含但不仅限 ' 考察分值、考察题型（单选、填 空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题）含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度 中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一 起考察，需

2、要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。二例题精进（注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的）一、不等式有解问题Y- 4- mr I例题：当加为何值时，-7cl对任意的xeR都成立2厂一 2x + 3解法1：二次函数法：移项、通分得：又2- 2x + 3>0恒成立，故知：一（? + 2）工+ 4>0恒成立。所以：A = （w + 2）2-16<0,得到-6<m<2解法2：分离参数法：注意到F-（加+ 2）工+4>0恒成立，从而有：栈<$-2x+4恒成立，那么：注意到，在上式中我们用到了这样一个性质：总结：解决恒成立问题的方法

3、:二次函数法和分离参数法变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考 题目）【试题来源】（上海2016杨浦二模卷）【题目】设函数晨刈=3，6*） = 9"若/（的二班上1士是实数集R上的奇函数，且 gW + b/（/?*）-l） + /（2-hg（x）>0对任意实数x恒成立，求实数的取值范围.【答案】：因为幻=包=是实数集上的奇函数，所以 =-3/=1. gW+bf（x） = 3（1-一二），/*）在实数集上单调递增.3" +1由/(x)-l) + /(2-hg(x)>0得f(h(x)-t)>-f(2-k g(x)

4、,又因为/*)是实数集上的奇函数,所以，f(h(x)-)>f(k (x)-2), 乂因为/（x）在实数集上单调递增，所以/心）-l>A g（x）-2即32x->k- 3r- 2对任意的x £ R都成立，即攵<3、+-!-对任意的都成立，k<2.3X二、不等式有解问题例题：已知函数/*）在定义域（-8,1上是递减函数，是否存在实数使f（k-smx） > f（k - sin2 x）对xwR恒成立并说明理由。【答案】：由/（x）递减以及/（k-sinx）2/（k, - sinx）可知：攵一sinxy -sin* x对于xeR恒成立，也即：sin2 x-s

5、nx<k -k对于xtR恒成立。再考虑到函数/*）的定义域，我们容易知道：k2 一攵 >sin2 x-sinx' k < 1+sinx对于xe火恒成立，而：k2< + sin2x变式练习：【试题来源】（上海2015年闸北一模）【题目】存在实数使不等式4«2-川 在-1,2成立，则，的范围为【解析】有解问题，。4（2田）=2-（-,>+,=4 znwc课堂总结：解决不等式有解和恒成立问题的方法令二次函数法。在之前的讲义中，我们在二次函数那一节已经适当讨论了一些一元二次不等式的恒成立（有解）问题。事实上，在高考中.很多不等式可以通解变形为一元二次不等

6、式。因此利用二次函数来求解不等式的恒成立（有解）问题是一个非常有用的方法。令 分离参数法。所谓分离参数法就是将不等式同解变形为4 >/3）或者”</'"）的形式，然后再利 用以下命题进行求解。稣/（X）恒成立（有解）="心（幻（”&（）；4V/a）恒成立（有解）=4<篇。）（”八（工）.二3遇后作比(课后作业的题目需要和本节课的知识点相关，作业量不宜太多，难度上有所控制)1、若不等式l-log.(10-优)<0有解，则实数4的范围是 .2、函数/(X)对一切实数乂丁均有/(x+y)/(y) = (x+2y+i)x 成立，且/(1)=0 .求/(0)的值：求/(x) + 2vlogaX, xe 0,：)恒成立时，求4的取值范围. Sjc -4- 20 打3、若不等式馆x-2*对一切x恒成立,求实数in的范围。1、已知 /« = x', + P)x + P( > 0)2x+ p<i)若>1时