《数值计算方法》复习资料全

1、数值计算方法复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言 的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌 握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及 应用打下良好基础。第一章数值计算方法与误差分析一 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝 对误差的传播。二复习要求1 .知道产生误差的

2、主要来源。2 . 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。3 .知道四则运算中的误差传播公式。例题例 1 设 x=/3.1415926近似值x=3.14 =0.314 X 101，即m=1 ,它的绝对误差是 0.001 592 6，有犬=0 001 592 6 £05x1 产即n=3,故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第 2位.又近似值x=3.1416 ,它的绝对误差是 0.0000074，有x-x* =0.0000074- 0.5 xlOw即m=1,n=5, x=3.1416 有5位有效数字.而近似值x=3.1415

3、,它的绝对误差是 0.0000926，有x-/| = 0.0000926-<0,5xl0U4即m=1,n=4, x=3.1415 有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4-0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4 = 0.200 04 X 101,它的绝对误差限 0.000 05=0.5 X 10 15,即m=1,n=5, 故 x=2.0004 有 5 位有效数字.a 1=2 , 相对误差限2x9X2= 0.002 00 ,绝对误差限

4、 0.000 005 ,因为 m = -2, n=3 , X2 = -0.002 00 有 3位 有效数字.ai=2,相对误差限 行=0.002 52x9X3=9 000 ,绝对误差限为 0.5X10°,因为 m=4, n=4, X3=9 000有4位有效数字，a=9 , 相对误差限一一 ）1/ =0.000 0562x9X4=9 000.00 ,绝对误差限 0.005,因为 m=4, n=6 ,乂=9 000.00 有6位有效数字， 相对误差限为 q= Li。1" =0.000 000 56 2x9由X3与X4可以看到小数点之后的 0,不是可有可无的，它是有实际意义的.例

5、3 1n2=0.69314718，精确10 -3的近似值是多少？解 精确到103=0.001 ,意旨两个近似值Xi,X2满足0,001 ,由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足 卜一4仁0,001 ,近似值的绝对误差限应是甯0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。故ln2为.693。第二章非线性方程的数值解法一 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。二复习要求1 .知道有根区间概念，和方程f（X）=0在区间（a,b）有根的充分条件。2 .掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法二分次数公式，掌握迭代法，知道其收敛性。3 .熟练掌握牛顿法。掌握初始值的选择条件。4 .掌握弦截法。

6、三 例题例1证明方程1xsinx=0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5 X10 4的根要迭代多少次？证明 令 f(x)=1x sinx,f(0)=1>0 , f(1)= sin1<0f(x)=1 -x - sinx=0 在0 , 1有根.又f (x)=1 cosx>0(xW0.1),故 f(x) = 0 在区间0, 1内有唯一实根.给定误差限口0.5X104,有ln( j)-lnE -lnOJ + 41nlOn >1 1 = 1 J./ln2ln2只要取n= 14.例2用迭代法求方程 x5-4x-2 = 0的最小正根.计算过程保留4位小数.分析容易判断

7、1, 2是方程的有根区间.若建立迭代格式丁4FSt4X =，即货二加'|二 >1(工wQ2)，此时迭代发散.44k宇加4414建立迭代格式工=灯4工+ 2,仍=04f+2,|V)| =此时迭代收敛.解建立迭代格式x = 04计2,中=即4工+2M =L <-(xe(12),取初始值% =11 5刈4#+2 54=取瓦+2=卷总1.4310心-季片+ 2二泪,724总1,5051万=机+2 = VS.0204 fij 5165一盛+2二痂无：y 1.5182再二 “44+ 2 = V80728 的 1.5185取：1.5185例3用弦截法求方程x3x 253 - 1 252

8、-1均= 1.25-子乂。,25-2)由 L37662 -1.253 - 1 253-25+23 1=0,在x=1.5附近的根.计算中保留5位小数点.分析先确定有根区间.再代公式.解 f(x)= x3-x2- 1, f(1)=1, f(2)=3 ,有根区间取1,2.取xi=1,迭代公式为/(匹)/工门工 L(n=1,2,)w 54；总? 乂/-%”？-，1阳 125七一/一/十/4入二 1.37662 -I；*-飞 7 海-1_ x(J7662 -1 25)烈 1,48881L 488B1 -1.48381 -1= 1.48881-ML 忸 8137662” 14634841376623 -

9、L37662a-1 253+ 1 25, ，/1.48B8P-1.48ESP-1 376625 +1 376621 463481 -1 463482 -14 = 146348J 0用 皆 1 x(1.46348-1,48881)洌 1.465531.463483 - 1.4634& -1.4兜疔 +LW12取 X* 1. 1.46553 ， f(1.46553)定一0.000145例4选择填空题1 .设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足,则方程f(x)=0在区 间a,b一定有实根.答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间a,b上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的

10、介值定理，必存在C ,使得f(c)=0 ,故f(x)=0 一定有根.2 .用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=%x)，则f(x)=0的根是()(A) y=x与y= /x)的交点(B) y=x与y= /x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=?x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=Qx),满足x=*(x)的x是方程的解，它正是 y=x与y=*(x) 的交点的横坐标.3.为求方程x3-x2-1=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是()(A) - 一X-1，迭代公式:醺

11、217演t(8) -；"： H , - 1(C) - - 亡会"二 Q+T严(D)i - . . i7加+为+1答案：(A)解答:在(A)中工白T咖)=*'研切- = 1.075825 2(L6-1 严故迭代发散.112在(B)中 K = 1 + ,甲(X)=】+ f 帆力 | = -3 =0,901 <1 ,故迭代收敛.1.3s在(C)中，底)=就+ /,M讣2x30+r y”2x1.6班两国"0的5 .故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛.弟二章线性方程组的数值解法、考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯一一赛德尔迭代法

12、，超松弛迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。二、复习要求1 .知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。2 .掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯一一赛德尔迭代法。3 .知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概 念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。三、例题例1用顺序消去法解线性方程组2xt + 工？ +4xs = -1« 3& +2演 + / = 4W +2勺 + 4/=解顺序消元为 +0.5/ +2/ = -0,5于是有同解方程组：力-10马=1117/=77回代得解：X3= 1, X2=1,Xl=1。

13、原线性方程组的解为 X=(1,1,1)T。例2取初始向量X(0)=(0,0,0) T,用雅可比迭代法求解线性方程组/ +2勺-2工5 = 1y 1 + / + / = 32x1 +2凝 + / = 5解建立迭代公式7产）=（一2 套）+ 2 靖） + “城=一（噤十（k=1,2,3,了严=-2（¥ + +厚）+ 5第 1 次迭代，k=0, X(0) = 0,得到 X(1) = (1,3,5) T,第2次迭代，k=1 ,短二郎 3+2x5)+1 = 5W = _(1+5)+3 = 3 ，得到 X(2)=(5, -3,-3)T= -2 (14- 3) + 5 = - 3第3次迭代，k=2

14、,邸)=Q2 x (-3) + 2x(-3) + l = lx = -(5+-3H3=l,得到 X= (1,1,1)T嫂)=-2(5-3)+5 = 1第4次迭代，k=3,J2) = (-2x1+2x) + 1 = 1云幻=一。+1) + 3 = 1,得到 x(4)= (1,1,1)T=-2(1+1)+ 5=1 I例3填空选择题：1 .用高斯列主元消去法解线性方程组% +2勺 + / = 042% +2% +3/=3-公一 3%=2作第1次消元后的第2, 3个方程分别为解答1.选a 21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2 X2+3 X3=3 ,消元得到r是应填写的内容。演 +-0-

15、5 j = -1.5-2% +15% - 3.5 +2/ -2xs =12 .用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组J Xj + + X3 = 3的迭代格式中留+2=5=(k=0,l,2,)解答 高斯一赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求X2的值时应该用Xi的新值。答案是：-.10x1 -x2 - 3xs = 7.23.当 卜|()时，线性方程组 一/十7%+34= &3的迭代解一定收敛。 一4/ +白/ = 9.2(A) >6(B) =6(C) <6(D) > 6解答：当a >6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第 3章定 理知，迭代解一定收敛

16、。应选择 (A)。第四章插值与曲线拟合1 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数； 差商及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数，最小二乘法，直线 拟合。2 复习要求1 . 了解插值函数，插值节点等概念。2 .熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3 .掌握牛顿插值多项式的公式，了解差商概念和性质，掌握差商表的计算，知道牛 顿插值多项式的余项。4 .掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。5 .了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，以及线性拟合和二次多项式拟合的方 法，三 例题例1已知函数y=f(x)的观察

17、数据为Xk2045yk51-31试构造f(x)的拉格朗日多项式 Pn(x),并计算f(-1)o解先构造基函数中-4)0 - 5)工0-4)0 - 5)八二=(-2 -2 4)(-2 - 5)S4。+2)(1-4)(了-5)401 =3+2)(、-4)(彳-5)1(0 - (-2)(0 - 4)(0 - 5)(x+2)x(x- 5)x(x+2)(x(4+ 2)(4-0)(4-5)24(工+2)/，-2)十-4) _ (z + 2)x5-4)/式工)-(5+2)(5-0)(5-4)35所求三次多项式为3P3(X)=二二JU0=_5/m)+-4)(工.+844024(x + 2)x(x-4)35P3

18、(-1)=+1= 42 14 217例2已知函数y=f(x)的数据如表中第2, 3歹U。计算它的各阶均差。解 依据均差计算公式，结果列表中。kxkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差00.400.410 7510.550.578 151.116 0020.650.696 751.168 000.280 0030.800.888 111.275 730.358 930.197 3340.901.201 521.384 100.433 480.213 000.031 34计算公式为:一阶均差和kJ J 品)二"、限= 0123)。一 jt+i二阶均差 和kt，&，)=/V/

19、(),2)例3设% 再，人 是n+1个互异的插值节点，4(上二QL2,M 是拉格 朗日插值基函数，证明：证明Pn(x)=yolo(x)+yili(x)+ +ynln(x) = 工网W)Jt-0®&。)=不吗鼠何二丁二月(月+凡当f(x)=时,1 =冗+&=E14+ 2一片JUO5 + 1)1由于/“叫二0，故有±4三1小一J例 4 满足条件p()"/(0)=|,p(l”l,p(?”2的插值多项式 p(x)=解 设所求的为 p(x)=a o+a 1x+a 2x2+a 3X3由插值条件知p(o)= % = o a(o)=%=oP (1 j = R。+

20、& + )+ Q>3 1(2)二鼻口 + 2a1 + 4a2 +3a3 = 2解之得 a 2 =3/2 a 3 = - 1/2所求的插值多项式为p(x)= -1/2x 3 + 3/2x 2例5选择填空题1 .通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足(，则P(x)是不超过一次的多项式。(A)初始值yo=0 (B) 一阶均差为0 (C)二阶均差为0(D)三阶均差为0解答：因为二阶均差为0,那么牛顿插值多项式为N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(xx0)它是不超过一次的多项式。故选择（C）正确。2 .拉格朗日插值多项式的余项是（，牛顿插值多项式的余项是（）(盟 + 1)1(C

21、)5+1)!(D)f(X,Xo,Xi,X2，Xn)(X Xo)(XXi)(X X2)(X Xn i)(X 一(B) f(X,Xo,Xi,X2,Xn)(XXi)(X X2)仅一Xn 1)(X Xn)Xn)解答:(A) , (D)。第五章数值积分与数值微分考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿一一柯特斯求积公式，柯特斯系数及其性质，（复化）梯形求积公式，（复化）辛卜生求积公式；高斯型求积公式，高斯点，（二点、三点）高斯一一勒让德求积公式；（二点、三点）插值型求导公式。二复习要求1 . 了解数值积分和代数精度等基本概念。2 . 了解牛顿柯特斯求积公式和柯特斯系数的

22、性质。熟练掌握并推导（复化）梯形求积公式和（复化）辛卜生求积公式。3 .知道高斯求积公式和高斯点概念。会用高斯一勒让德求积公式求定积分的近似值。4 .知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式。三 例题例1试确定求积公式的代数精度。解 当f（X）取1,X,X2,计算求积公式何时精确成立。 取f(x)=1,有：左边=/长=,右边=2(2)取f(x)=x,有：左边= /(幻改二即=0 ,右边=0类似导出，取f(x)=x2, x3,有左边=右边(5)取 f(x)=x4，有：左边=2/5, 右边=2/9当k冬求积公式精确成立，而 x4公式不成立，可见该求积公式具有3次代数精度。例2试用梯形

23、公式、科茨公式和辛卜生公式计算定积分(计算结果取5位有效数字)由5(1)用梯形公式计算1-0 55) + /(1) = 0.25 x0.70711+l = 0 426782(2)用柯特斯公式7 32 12 32 7系数为 ，.，90 90 90 90 901s4加x/ + 32x瓦衣+I2x历加顺+“的白刈4 94975 + 25 29822 +1039223 + 2993326 +7 = 0.430%如果要求精确到10 5,用复化辛卜生公式，截断误差为/网=去叱 =max|/4)(z) =maxx_7/2 <1.56艇fliiss 16RNf I 二一 : N-2只需把0.5,14 等

24、分，分点为 0.5,0.625,0.75,0.875,1(声火肉勺/QS) + 2/(075) ”(共0及» + /(0.875) + 穴)=50,7071U 2 K0,86602分 4x (0.79057+ 0,93545 + 1 = 0.43096r1 sin x ,例3用三点高斯-勒让德求积公式计算积分也上K解 做变重替换 工二亍(2+1),有 1& =j也。查表得节点为 如.774 596 669 和0 ;系数分别为 0.555 555 5556 和0.888 888 8889dx=二”也x L / + 1sin 1(-0.774 596 669+1)-0.555 5

25、55 5556 x-0.774 596669+1sin-(0+l)sin -(0.774 596 669 +1)+0.888 888 889 x 彳 + 0555555556x' 二0+10 774 596 6690.94083124例 4 已知函数值 f(1.0)=0.250 000,f(1.1)=0.226757, f(1.2)=0.206 612 ,用三点公式计算了在x=1.0,1.1,1.2处的导数值。解三点导数公式为k=1,2,3,nv 1/5-1)£(一孙1 + 4人-*+。 2h/ V*) K2m1a出)k ±0*7-4九+牛田) 2h本例取 X0=1

26、.0, Xi=1.1, X2=1.2, yo=0.250 000, yi=0.226757, y2=0.206 612, h=0.1。于是有2x01(-3 x 0.25000000 + 4 x 0.226757 - 0 206612)=-0.24792总(-02 5000000 + 0206612) = -0.216942x01(0.25000000 - 4 x 0.226757 + 3 x 0.206612) = -0 1 8596例5选择填空题1 .如果用复化梯形公式计算定积分丁，& ,要求截断误差不超过0.5 X 10 -4,试问n -()(A) 41(B) 42 (C) 43(

27、D) 40解答；复化的梯形公式的截断误差为3醐/跣卜蚓卜心（力仁"犷场二JL匕12m<O,5xlO-4 ,n=40.8，取 n 口1。故选择（A）。2 .已知n=3时，柯特斯系数2二2S那么嫡解答：由柯特斯系数的归一性质,*YY 一管=；第六章常微分方程的数值解法考核知识点尤拉公式，梯形公式，改进尤拉法，局部截断误差；龙格一一库塔法，局部截断误差。复习要求1 .掌握尤拉法和改进的尤拉法 （梯形公式、预报-校正公式 ），知道其局部截断误差。2 .知道龙格一库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格一库塔法。掌握四阶龙格一- 库塔法，知道龙格 一库塔法的局部截断误差。三例题例1用尤拉法解

28、初值问题= -,y-x/（O<x<0.6），取步长卜=0.2。计算过程 b（o）=1保留6位小数。解h=0.2, f（x）= yxy2。首先建立尤拉迭代格式如二%乃）=九一帆二0 2（4 -q九）伏=0,1,2）当 k=0, Xi=0.2 时，已知 X0=0,yo=1 ,有 y(0.2)31=0.2 X 1(4 0X 1)=0.8当 k=1,X2=0.4 时，已知 X1=0.2, y1=0.8,有 y(0.4)-2=0.2 X 0.8 X (4 0.2 X 0.8)= 0.614 4当 k=2,X3=0.6 时，已知 X2=0.4, y2=0.6144,有 y(0.6)叼3=0.2 乂 0.6144 X (4 0.4 X 0.4613)=0.8y'+y+ / sin 7 = 0例2用尤拉预报校正公式求解初值问题,取步长h=0.2,川)=1计算y(0.2), y(0.4)的近似值，小数点后至少保留5位。解 步长 h=0.2,此时 f(X,y尸一y y2sinX4 脚艮值兀匕)尤拉预报校正公式为：h_校正值 几l兀+ 匕有迭代公式预报值校正值八制=/i +网-/人血%） r即£-。