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1、泰勒公式以及应用摘要泰勒公式是微积分学中的重要内容，它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系。利用泰勒公式可以很好的解决某些问题，使问题化繁为简。首先，本文给出了带有各种余项的泰勒公式以及证明，其次，从一元函数的微分出发，引出一元函数及二元函数的高阶微分，以微分形式给出一元函数及二元函数的泰勒公式，以及介绍在相同条件下泰勒公式的另一种形式的推广。再次，致力于研究时间标度上二元函数的链式法则，以其在最优控制上有广泛的应用.同时，对一元函数的泰勒公式给出一种新的较为简单的证明方法。最后，本文举例介绍了泰勒公式在近似计算、极限运算、不等式的证明、判断函数极值、判定二元函数极限存在性、求高

2、阶导数在某些点的数值、讨论级数与广义积分的敛散性判断、关于界的估计、计算n阶行列式、判断方程根的唯一存在性等方面的具体应用。关键词：泰勒公式；微积分； 函数极限；级数敛散性目录1.绪论2.泰勒公式2.1带有各种型余项的泰勒公式一元函数的泰勒公式带有Lagrange型余项的泰勒公式2.1.2带有Peano型余项的泰勒公式2.1.3带有Cauchy型余项的泰勒公式带有重积分型余项的泰勒公式及其证明 2.2高阶微分与泰勒公式多以函数的泰勒公式二元函数的高阶微分与n阶泰勒公式2.2.2二元函数的高阶微分与n阶泰勒公式2.3泰勒公式的另一种形式泰勒公式的其他种形式2.4时间标度上的泰勒公式及链式法则2.

3、4.1时标下的全可微的概念的引人2.4.2泰勒公式及其证明2.4.3二元函数的链式法则3.泰勒公式的应用3.1泰勒公式求某些未定式的极限3.2多项式的泰勒展开式的应用3.3泰勒公式在近似计算中的应用3.4利用中值定理和泰勒公式证明函数极限3.5泰勒公式证明不等式3.6泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用3.7泰勒公式在n阶行列式计算中的应用3.8泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用3.9泰勒公式关于界的估计3.10判断方程根的唯一存在性问题3.11用泰勒公式研究函数凹凸性的一种再拓广4.结论5.参考文献致谢1. 绪论1.1 前言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，他将一个复杂的函数

4、近似的表示成简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究数学问题的有力杠杆。通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量习题，并参考了相应的参考文献，对这些应用方法做了系统的归纳总结，并配有大量例题证明。为了写好文章我着重查阅参考了高等教育出版社出版高尚华编写的数学分析，这本书给出了泰勒（Taylor）定理的具体定义。本文主要介绍了泰勒公式以及他的应用，使我们对泰勒公式有更深一层的理解，怎样利用泰勒公式解题有了更深一层的认识。只要在解题中加以分析，研究题设条件及其形式特点，就能较好的掌握泰勒公式解题技巧。泰勒公式是高等数学中非常重要的内容。在微分学和积分学中，泰勒公式是解决问题的基本方法

5、。同时他是研究积分和微分的一个重要纽带。所以国内外对它都有一定的研究。 在国外，泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的定理泰勒定理：式内v为独立变量的增量, 及为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里牛顿插值公式发展而成的，当x0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使

6、任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦震问题之先河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。 2.泰勒公式2.1 带有各种型余项的泰勒公式一元函数的泰勒公式 带有Lagrange型余项的泰勒公式（2.2拉格朗日定理证明泰勒公式(18)）泰勒定理： 若函数在上存在直至n阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点使得 其中。（1）（7）证 作辅助函数所要证明的

7、（7）式即为或 不妨设，则在与在上连续，在内可导，且又因所以由柯西中值定理证得其中（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为称为拉格朗日余项。所以（7）式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式。2.1.2 带有Peano型余项的泰勒公式定理:若函数在点存在之至n阶导数,则有即(4)证设 现在只要证 由关系式(3)可知, 并易知 因为存在,所以在点的某邻域内存在阶导函数 于是,当且时,允许接连使用洛必达法则次,得到 定理所证的(4)式称为函数在点处的泰勒公式, 称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺型余项。所以（4）式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式2.1.3 带有Cauchy型余项的泰勒公式 带有重积分

8、型余项的泰勒公式及其证明 定理:设函数f(x)在上存在直到n阶的连续导函数，在（a,b）内存在(n+1)阶导函数，则对任意给定的x,x。（a,b）,f(x)可表示为一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和，即+ (x。) 其中证明：应用Newton-leibniz积分公式易知即同理有故其中结论：即事实上由Lhospital法则其他余项中只知道(a,b),这里xnx0(n+);由可知,重积分型余项可以推导出Peano型余项,当然也能推导出其他各种余项形式,这里不再赘述.2.2 高阶微分与泰勒公式多元函数的泰勒公式二阶微分的定义定义1 设函数在点的某邻域内有定义，给变量在处一个增量，且时，相应地函数

9、有增量。，如果其增量可表示为，其中不依赖于，则称函数在点处的二阶微分，并称为函数在点处的一阶微分、二阶微分，依次分别记作：即可以证明：从而记号与导数是微商的记号一致，并且可推广到高阶微分。注 记若记，即，于是即 这就是泰勒公式的雏形，将其推广到阶泰勒公式有水到渠成之作用若用作的近似，即，其精度大为提高。一元函数的阶泰勒公式下面给出基于高阶微分形式的阶泰勒公式定理1 若函数在点处的某邻域内有直到阶的微分，则在该邻域内任意一点处有公式这里此公式称为函数在点的阶泰勒公式。用微分记号，阶泰勒公式可写成这里，其中二元函数的阶微分类似于一元函数的二阶微分，可定义二元函数的二阶微分及高阶微分。为了行文方便，

10、这里引入二元函数的阶微分定义 2 设函数在点处阶微分存在，且有类似于一元函数的二阶微分，在定义二元函数的二阶微分后，同理推出二元函数的近似计算公式。二元函数的阶泰勒公式定理 2 设函数在点的某邻域内有直到阶微分，则在该邻域内任意一点处有如下公式这里，其中 证明：令则由定理1知，一元函数在上有，应用复合微分法 可知又，故注记从一元函数到二元函数甚至到多元函数，阶泰勒公式的形式是统一的，但具体内容有所差异，如设，当满足泰勒中值定理条件时，有其中在与之间当，即时2.3 泰勒公式的另一种形式泰勒公式的其他种形式若函数是次连续可微的，则有 （1）其中，余项这是大家熟悉的泰勒公式（1）本文对此公式在相同条

11、件下，有下式成立定理：在与（1）完全相同条件下，有下式成立(删除) （2）其中，余项式（2）(改成(2)式)中的字母是一个可以自由选择的参数（与无关），它的引入使我们应用（2）式时变得灵活方便。显然，在（2）式中取就可以直接得到通常的泰勒公式（1）。下面证明（2）式(删除)证：由不等式积分定义和分部积分法可得再根据牛顿莱布尼茨公式，有(2)式)再略加变形，得这是所要证明的（2）式(删除)上述公式表明，区间上的阶连续可微函数，其在上的增量可以用两点之各阶导数为系数的一个多项式来近似表达。3、作为推广的泰勒公式的一个应用，我们指出，由（2）式很容易推得下面的定理定理 设函数在区间上有任意阶导数，且

12、则在上的增量有下面的无穷级数表达式。 （3）我们来证明（3）式证 在（2）式中令(有问题)改成：注意到 得到其中，（3）式得证2.4 时间标度上的泰勒公式及链式法则2.4.1 时标下的全可微的概念的引入一个时间标度是指实数集的任意一个非空闭子集，用符号表示。例如：实数集，整数集和自然数集等。为了便于读者阅读本文，我们列举本文用到的导数与积分性质(见文)。定义1.1设和称为前跳算子，为后跳算子，给出格林函数。定义 如果，则称是右离散的；如果则称是左离散的；如果且.则称是右稠密的；如果并且，则称t是左稠密的，如果有一个左离散的最大数，则，否则。定义1.3对一个函数定义导算子如下：函数在是可导的，存

13、在一个数，如果对任意，都存在的一个邻域使得下式成立对所有，记。若在点还是可导的，则称在点是二次可导的。记：，；高阶导数依此类推。定义1.4设定义，如i)在的每个右稠点连续，ii) )存在有限，是左稠点，则称是右稠连续的， 记为。定义定理 若在是可导的，则在是连续的，且2)设，如果存在，那么于是可导的，且定义1.5积分的定义：对函数，如果，则称函数是，的原函数.并定义积分为：定理1.2 每一个在上的右稠连续函数都有一个原函数，对，定理1.3 设存在，则有分部积分公式定义1.6 设函数定义在点的一阶偏导数为通过分析我们看到：关于偏导数；可见文下面我们引入时标意下全可微的概念：定义1.7 设函数，如

14、果存在不依赖于的数（可能依赖于使得对一切的成立，其中是充分小的正数，那么，称函数于点是全可微的。注 如果因此可见，函数的全可微可以视为经典意义下全可微概念的推广2.4.2 泰勒公式及其证明为表述和证明时标意义下一元函数的泰勒公式，我们首先介绍两个单式序列：定义2.1 设自然数集，按如下递推公式定义:不难证明，具有以下性质性质2.1 i）通过引入，经典意义下带积分型余项泰勒公式可以表述如下定理2.1 设下面我们借用时标下分部积分公式，如下时标意义下一元函数泰勒公式：定理2.2（泰勒公式） 设那么证明 以为例，可利用性质2.1二者的关系得到。设 为余项，由性质2.1易知：分部积分法公式：形式上作如

15、下改写：，其中表示则由定义1.5和性质2.1： （第一次分部积分） （再一次分部积分）（第n次分部积分）其中 定理记毕2.4.3 二元函数的链式法则本书将给出时间标度下二元函数的链式法，首先介绍时标下关于一元函数的链式法则：定理3.1 设是连续函数，是在上可微的，连续可微，则使定理3.2 设函数是连续可微且是可导的，那么是可导的且对任意的利用时标意义下全可微的概念定义1.7及定理3.2，我们给出时标意义下如下的二元函数的链式法则。定理3.3（链式法则）设函数是可导的，那么函数是可导的，且对任意的，有证明 给定,如果是右稠点，则由在是可导知在连续，故定义1.7中从而由定理1.1及定义1.7中第一

16、式得结论成立如果是右离散点，分两种情况1）则由定理1.1 且因为，由中值定理由定义1.6得2）则由定理1.1，且时标下的全可微的概念的引人结论成立，定理证毕例 考虑量子时标取，则定理3.3成立3.泰勒公式的应用3.1 泰勒公式求某些未定式的极限3.2 多项式的泰勒展开式的应用引理（泰勒中值定理）如果函数在含有的某个开区间内时，可表示为的一个次多项式与一个余项之和，即 （1）其中，（介于与之间）推论：如果函数为次多项式，则的展开式是 （2）可以利用式（2）。给出与代数式化简相关问题的简单方法。1 代数式变形例1 已知函数，求函数式。解 设函数，对直接由泰勒公式，得由于故于是2.代数方程求解例2：

17、 解方程 对于三次方程：，通常是通过变换，化为三次方程1545年意大利数学家卡丹给出了一元三次方程（3）的求根公式 （3）其中：和是二次方程的解解：设，作变换，则由泰勒公式，得于是，对方程，即，求得一个实根3部分分式化简结论 （改成：例：） 若分式 ，则证明 直接在行（改：分）式两边乘以，得由于右边是多项式的泰勒展开式，设 对式求导数，得由推论得，故（删除）证毕。3.3 泰勒公式在近似计算中的应用3.4 利用中值定理和泰勒公式证明函数极限例3.4.1 设函数在上二次连续可微，如果存在，且在上有界 试证：证 要证明，即要证明：当时利用Taylor公式， 且 （1）记 因有界，所以使得故由（1）知

18、（2），首先可取充分小，使得 然后将h固定 因所以当时从而由（2）式得 .例3.4.2设1）在内是n阶连续可微函数；此处2）当时，有但是3）当时有其中证明：证 我们要设法从（1）式中解出为此，我们将（1）式左边的及右端的在处展开 注意条件2）知使得于是（1）式变成从而因利用的连续性，由此可得3.5 泰勒公式证明不等式例3.5.1设在上二次可微，试证：有证取将在处展开以乘此式两端，然后个不等式相加，注意=1，得例3.5.2设有二阶导数，试证证二式相加，并除以，注意有令取极限得3.6泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用在二元函数极限理论中，（1）要判定一个二元函数的极限存在，其方法为： 当时，

19、恒有。（2）要判定二元函数极限的不存在性，往往采用下述两种方法：构造趋于的点列，使得或构造趋于的二个点列及，使得构造通过点的连续曲线，使得或者构造通过点的的二条连续曲线与，使得。在实际应用中最棘手的问题是：怎样寻找这样的点列或两条不同路径的曲线与，使其符合上面的条件。对于较简易的函数在处的极限不存在性问题，常常用下法来解决。取，求出，时的极限；取，求出，时的极限；令， ，求出时的极限等，再从求出的极限值与或有关来得出这个二元函数的极限不存在。但以上各法均不能作为解决这类问题的通用方法。解决办法利用泰勒公式研究函数无穷小量的阶，则可顺利地解决这类问题。下面举例说明具体做法。先给出点的Taylor

20、展开式 特殊地，在点处的Taylor展开式为： 这里。例1 求函数极限 解 ，又显然，当，时，故所求极限不存在。数学理论与应用特殊地，取，就是文中所取的函数推得，故所求极限不存在。这种方法适用于为有理式的情况。当为其他形式时，可通过简单变形后在应用。例2 求在点处的极限 解 因【；【噼里啪啦故函数在点处极限不存在3.7泰勒公式在n阶行列式计算中的应用(52)相关定理满足： 在点的某邻域内有定义；在此邻域内有一直到阶连续导数；在处有阶导数；那么，在的邻域内有泰勒展开式可表示为求阶行列式的值通过引入泰勒公式求如下行列式可以把行列式看做的函数（一般是的次多项式），记，接泰勒公式在处展开： 根据行列式

21、的求导法则，有 。类似地， ，则有，当时，则 当时，则即推广 若某一行列式行数的各阶导数都能化为上述的各阶导数的递推形式，（其中是由行列式的主（次）对角线上元素变成生成的）均可用此种方法求得，形如 只要行列式函数的各阶导数较易计算，则应用泰勒公式计算行列式就非常便利3.8泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用1.在正项级数敛散性判定中的应用。在级数敛散性的理论中，要判定一个正项级数是否收敛，通常找一个较简单的级数再由比较判定法来判定。在实际应用中较困难的问题是如何选取恰当的的p值。例如（1）若，此时收敛，但（2）若，此时发散，但.这里我们无法判定的敛散性。为了有效地选取中的p值，可以应用泰勒公

22、式研究通项的阶，据此选取恰当的p值使，并且保证的再由比较判定法（极限形式）就可以判定的敛散性。下面举例说明。例1 判定级数的敛散性。解： 因此从而有故是关于的阶，即与同发散。由例1例2可以看出，通过此法能有效地确定p值，从而对级数的敛散性做出判定。2 在广义积分敛散性时，通常选取广义积分进行比较，在此通过研究无穷小量的阶来有效地选择中的值，从而简便地判定的敛散性（注意到：如果收敛，则收敛）。例3 研究广义积分的敛散性。解：因此即是的阶，而收敛，故收敛，从而收敛。例4 广义积分是否收敛？解：由于，故是的一阶无穷大量，而发散，故也发散。3.9泰勒公式关于界的估计例3.9.1设在上有二阶导数, 时试证:当时, 证所以例3.9.2设为二次可微函数试证: 且表示证I二试相减即所以即 对一切h成立故判别式即 对一切x成立所以 证II (1)试可改写成 而 为常数 所以（2）试右端作为h的函数时，当 取最小 令代入得所以 3.10判断方程根的唯一存在性问题例3.10.1设有连续的n阶导数，在处有展开式：（1）且余项满足则必有 其中 证 根据Taylor公式， 在可展开成 （4）让（1）式与（4）式联立可得此式令取极限，得两边消去首项，再同时除以，然后令取极限，又得继续这样下去则顺次可得式（3）例设是n次多项式，试证：证I 则令 ，则.将在处展