导数的运算-家教讲义Word版

1、 美博教育 1对1个性化 辅导教案提纲 教研组： 学生姓名年级科目教师授课日期时段与课时高二数学2013.12.15教学 课题变化率与导数目标及重难点瞬时变化率和导数关系、导数的几何意义的理解教学过程：一、考纲分析，作业点评二、考点分类解析1、平均速度与瞬时速度2、函数的平均变化率和瞬时变化率3、导数的概念4、导数和导函数的定义5、导数的几何意义（导数与切线斜率）4、 针对性题型练习5、 课堂小结备注：作业布置详见讲义课后针对性作业学习反馈及调整方案班主任签字：学员评价 特别满意 满意 一般 差学员签字：教师评价上次课作业： 好 较好 一般 差本次课堂表现： 好 较好 一般 差教师签字：美博教

2、育 肖晨星1对1 辅导讲义2 / 13课 题 变化率和导数教学内容知识点一函数的平均变化率和瞬时变化率1、函数的平均变化率：当自变量从变为，函数值从变为 ，它的平均变化率为 ，用它可以刻画 。2、通过减小自变量的改变量，用平均变化率“逼近”瞬时变化率：对平均速度而言，当时间的改变量趋于0（无限缩小）时，比值会趋于一个定值，这个定值称为时的瞬时速度，这是我们在物理学里已经熟知的。类此，我们可以概括出一般函数的瞬时变化率：在自变量从变为的过程中，若设，则函数的平均变化率又可表示为 .当趋于0时，平均变化率就趋于函数在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是 。 3、平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗

3、糙不精确的”，但应注意当很小时，这种量化便有由“粗糙”逼近“精确”的趋势。题型分析：平均速度：例1：物体自由落体的运动方程为,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段时间内的平均速度（位移s的单位为m）瞬时速度：设物体运动的位移与时间的关系是，当趋近于0时，函数在到这段时间内的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。例2：物体自由落体的运动方程是，求物体在这一时刻的速度。平均变化率：例1 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变式1 在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两

4、人的经营成果？变式2求函数在区间内的平均变化率瞬时变化率：例3 某个物体走过的路程（单位：m）是时间（单位：s）的函数：，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：（1）；（2）；（3）.例4、已知函数（1）当从1变为2时，函数值改变了多少？此时函数值关于的平均变化率是多少？（2）当从-1变为1时，函数值改变了多少？此时函数值关于的平均变化率是多少？（3）这个函数变化的快慢有何特点？求这个函数在处的瞬时变化率。例5、设质点做直线运动，已知路程是时间的函数。（1）求从到的平均速度，并求当时的平均速度； （2）求当时的瞬时速度。例6、求函数在处的瞬时变化率知识点二导数的概念复习：设函数，当自变量

5、x从x0变到x1时，函数值从变到，函数值y关于x的平均变化率当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x1趋于x0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率。导数的定义：在数学上，称瞬时变化率为函数在点x0的导数，通常用符号表示，记作。例1、一条水管中流过的水量y（单位：）是时间x（单位：s）的函数。求函数在x=2处的导数，并解释它的实际意义。例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数。假设函数在x=1和x=3处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。例3、服药后，人体血液中药物

6、的质量浓度y（单位：g/mL）是时间t（单位：min）的函数，假设函数在t=10和t=100处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。总结：利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：知识点三导数的几何意义设函数在x0，x0x的平均变化率为，如右图所示，它是过A（x0，）和B（x0x，）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线在点A处的一条割线。如右图所示，设函数的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当x取不同的值时，可以得到不同的割线；当x趋于0时，点B将沿着曲线趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l。直线l和曲线在点A处“相切” ，称直线l为曲线在点A处的切线。该切线的斜率就是函数在x0处的导

7、数。函数在x0处的导数，是曲线在点（x0，）处的切线的斜率。函数在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义。1、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.2、导函数：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，即: 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数3、 函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是

8、在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 (3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。例1、已知函数， x02。（1）分别对x=2，1，0.5求在区间x0，x0x上的平均变化率，并画出过点（x0，）的相应割线；（2）求函数在x02处的导数，并画出曲线在点（2，4）处的切线。例2、求函数在x=1处的切线方程。切线与导数：1割线及其斜率：连结曲线上的两点的直线叫曲线的割线，设曲线上的一点，过点的一条割线交曲线于另一点，则割线的斜率为2 切线的定义：随着点

9、沿着曲线向点运动，割线在点附近越来越逼近曲线。当点无限逼近点时，直线最终就成为在点处最逼近曲线的直线，这条直线也称为曲线在点处的切线；3 切线的斜率：当点沿着曲线向点运动，并无限靠近点时，割线逼近点处的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率，即当无限趋近于时，无限趋近于点处的切线的斜率例1已知曲线，（1）判断曲线在点处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程 （2）求曲线在处的切线斜率。 例2已知，求曲线在处的切线的斜率例3已知曲线方程，求曲线在处的切线方程知识点5导数的几何意义专题训练例1、在曲线上求一点P使得曲线在该点处的切线满足下列条件：（1）平行于直线yx1； （2）垂直于直线2x16y10； （3）倾斜角为135°。例2、求曲线过（1，1）点的切线的斜率。总结：利用导数的几何意义求曲线在处切线方程的步骤：（1） 已知曲线的切点求出函数在点处的导数； 根据直线的点斜式方程，得切线方程为。（2） 过曲线外的点设切点为，求出切点坐标； 求出函数在点处的导数； 根据直线的点斜式方程，得切线方程为。课后作业课后训练与提高1、在平均变化率的定义中，自变量的增量是（ ）A B C D2、设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量是（ ）A B C D3、已知函数的图象上一点及附近一点，则等于（ ）AB C D4、求函数f(x)=