相似三角形复习精品课件概述

1、相似三角形复习制作者：马嘉林制作者：马嘉林你能说出你能说出判定判定两个三角形相似有哪些方法？两个三角形相似有哪些方法？1、定义：三边对应成比例，三角对应相等。、定义：三边对应成比例，三角对应相等。2、基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、两角对应相等、两角对应相等4、两边对应成比例，它们的夹角相等两边对应成比例，它们的夹角相等5、三边对应成比例、三边对应成比例6、传递性（传递性（2种）种）7、直角三角形相似的特殊性、直角三角形相似的特殊性 相

2、似三角形的性质相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等；、相似三角形的对应角相等；2、相似三角形的对应线段（边、高、中线、相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例，且等于相似比；角平分线）成比例，且等于相似比；3、相似三角形的周长比等于相似比；、相似三角形的周长比等于相似比；4、相似三角形的面积比、相似三角形的面积比=（相似比）（相似比）25、直角三角形被斜边上的高分成的两个直、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。角三角形和原三角形相似。DBACEHFGFEDCBA例例.如图：已知如图：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交交AC于于E,交交BA的延

3、长线于的延长线于F. 求证：求证：AD2=DEDF由由AD2=DEDF，得，得故只要证明故只要证明ADE FDA即可即可分析：分析：ADDEADDF=FEDCBA例例.如图：已知如图：已知BAC=90, BD=DC, DEBC 交交AC于于E,交交BA的延长线于的延长线于F. 求证：求证：AD2=DEDF证明：证明： F= C =DAC BAC=90, BD=DC DEBC C+ B= 90 ADE= FDA AD=DC,从而从而DAC= C F+ B= 90 ADE FDA AD2=DEDF点评：证明乘积式时，可先点评：证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式，然后将乘积式改为比例式，然后找相似

4、三角形（或平行线）找相似三角形（或平行线）ADDEADDF=例例2.如图：如图：D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点， 直线直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求证：求证：BDCE=CDBFFEDCBA由由BDCE=CDBF，得，得分析：分析：但但DBF与与 DCE不相似不相似因此，需作辅助线构造相似三角形因此，需作辅助线构造相似三角形BDBFCECD=例例2.如图：如图：D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点， 直线直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求证：求证：BDCE=CDBFFEDCBAG方法一：方法一： 过点过点C

5、作作CGAB,交交DF于于G 则则DCG DBF 故故再证再证CG=CE 即可即可CDCGBFBD=FEDCBAG方法二：方法二： 过点过点C作作CGDF,交交AB于于G 故故再证再证FG=CE 即可即可例例2.如图：如图：D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点， 直线直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求证：求证：BDCE=CDBFBDBFFGCD=FEDCBAG如图：如图：D为为ABC的底边的底边BC的延长线上一点，的延长线上一点， 直线直线DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE . 求证：求证：BDCE=CDBF方法三：方法三：过点过点B作作BGCE,

6、交交DF的延长线于的延长线于G 故故再证再证BG=BF 即可即可则则DCE DBG DCCEBGDB=例例3.如图：在如图：在RtABC中中,有正方形有正方形 DEFG,且且E、F 在斜边在斜边BC上，上，D、G分别在分别在AB、AC上上. 求证：求证：EF2=BEFCGFEDCBA分析：分析： 由由EF2=BEFC，得，得EFFCEFBE=但但EF、BE、FC都在同一直线上都在同一直线上无法利用相似三角形无法利用相似三角形.由于由于EF是正方形的边长，是正方形的边长，故可用故可用BE、FC相关的三角形相关的三角形的边的边DE与与FG来代替来代替.EFFCEFBE=FGFCDEBE=只要证只要

7、证GFCBED即可即可. 例例3.如图：在如图：在RtABC中中,有正方形有正方形 DEFG,且且E、F 在斜边在斜边BC上，上，D、G分别在分别在AB、AC上上. 求证：求证：EF2=BEFCGFEDCBA证明：证明：正方形正方形 DEFG中，中， DEB=GFC=90,EF=DE=FG. 又又 B+C=90，B+BDE=90 BDE=C.RtBED RtGFCBEDEFCGF=BEEFFCEF=EF2=BEF点评：证明共线的线点评：证明共线的线段比例式时，将某些段比例式时，将某些线段用其他线段代替，线段用其他线段代替，以便构成相似三角形以便构成相似三角形. .这是证明比例式和乘这是证明比例

8、式和乘积式的常用方法之一积式的常用方法之一. .练习练习2 如图：如图： 已知已知ABC 中，中，AD平分平分BAC ， EF是是AD的中垂线，的中垂线，EF 交交BC的延长线于的延长线于F . 求证：求证：FD2=FCFBFEDCBA分析：分析：由由FD2=FCFB，得，得FDFBFDFC=但但FD、FC、FB都在都在同一直线上，无法同一直线上，无法利用相似三角形利用相似三角形.由于由于FD=FA，替，替换后可形成相似三角形换后可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要证只要证FABFCA即可即可. 1、如图、如图 ABCD中，中，G是是BC延长线上的一点，延长线上的一点，A

9、G与与BD交于点交于点E，与，与DC交于交于F点，则图中相似的点，则图中相似的三角形共有（三角形共有（ ）对。）对。 A D E F B C GA，3 B，4 C，5 D，6 D2、如图，在、如图，在ABC中，中，BAC=900，D是是BC中点，中点，AEAD交交CB延长线于点延长线于点E，则结论正确的是，则结论正确的是 （ ） A E B D C A、 AED ACB B、 AEB ACD 、 C、 BAE ACE D、 AEC DAC 、C3，将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的，将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则样子，假设图形中

10、的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。它们一一写出来。 A B D E C G F有相似三角形，它们是：ADE BAE BAE CDAADE CDA4 4、如图，在、如图，在ABC中，中，ACB=90ACB=900 0，CDABCDAB，垂足为，垂足为D D，AD=6AD=6，BD=2BD=2，则，则CDCD的长为的长为 C C A D B A D B( 2 )35 5、如图，、如图，D D，E E分别是分别是ABCABC的边的边AB,ACAB,AC上的点，上的点，1=B1=B，AE=EC=4A

11、E=EC=4，BC=10BC=10，AB=12AB=12，则，则ADEADE和和ACBACB的周长之比为（的周长之比为（ ） A A， B B， C C， D D，21314161AD E B CB6 6、厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点连、厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积比是（的面积与白色大理石的面积比是（ ） 31 7、如左图，已知、如左图，已知ABBD，CDBD，垂足分别为，垂

12、足分别为B，D，AD和和BC相交于点相交于点E，EFBD，垂足为，垂足为F，我们可以证明，我们可以证明 成立（此处不要求证明）。成立（此处不要求证明）。若将左图中的垂直改为斜交，如右图，若将左图中的垂直改为斜交，如右图，AB/CD，AD，BC相交于点相交于点E，过，过E作作EF/AB，交，交BD于于F，则（，则（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（由；（2）请找出）请找出SABD，SBED和和SBDC之间的关系式，并之间的关系式，并给出证明。给出证明。EFCDAB111EFCDAB111 A A E C E C B

13、F D B F D由由三角形相似三角形相似证线段成比例的一般步骤：证线段成比例的一般步骤：1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三、先看这些线段确定哪两个可能相似的三角形；角形；2、再找这两个三角形相似所需要的条件；、再找这两个三角形相似所需要的条件；3、如这两个三角形不相似，则采用其它办、如这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找法（如找中间比中间比代换等）；代换等）；（注意注意：当无法用三角形相似来证明线段成：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用比例时，可试着用引平行线引平行线的方法。）的方法。）思考题思考题：如图，已知D，E和F，G分别在ABC的边AB，AC上，DF/EG/BC，

14、AD=DE=EB，则S梯形DEGF S梯形EBCG =（ ）A、 B、C、 D、AD F E GB C32535494例题讲解例题讲解 例例1 1、如图（、如图（4 4），），已已知知，：，：，且，且，求，求和和分析：由已知分析：由已知得得，联想，联想到相似三角形的面积比等于相到相似三角形的面积比等于相似比的平方。由：似比的平方。由：，则：，则： ：从而从而=4=4又又同高的两个三角形面积比等于底边之比，同高的两个三角形面积比等于底边之比， ：，：， ，又，又：，：， 。CBDPQNMAF解：正方形的边长为解：正方形的边长为xmmxmm，则，则PNBCPNBC APNAPNABCABC AEA

15、E：ADADPNPN：BCBC 80-x 80-x：8080 x x：120120 得得x=48x=48（mmmm）答：正方形的边长为答：正方形的边长为48mm48mm。CBDPQNMAFCBDPQNMAFCBDPQNMAF例例1：已知：已知：ABC中，中，D是是BC上一点，上一点，EGBC,分别交分别交AB,AD,AC与与E,F,G.求求EFDC=FGBDABCEFGD分析：将等积式改写成比例式：分析：将等积式改写成比例式：EF/BD=FG/DC,设法设法利用相似三角形解得利用相似三角形解得EF/BD=AF/AD,FG/DC=AF/AD.证明证明:在在AEF和和ABD中中, EFBD, AE

16、F ABDEF/BD=AF/AD.同理同理FG/DC=AF/AD. EF/BD=FG/DC EFDC=FCBD.例例2:如图如图AB,CD交于交于O点点,ACBD,E是是A点点,EO的延长线交的延长线交BD于于F点点.求证求证F是是BD的中点的中点.AOBDFEC分析分析:利用利用AE=CE,设法找到设法找到BF,DF与与AE,CE的联系的联系,即证即证出出AE/BF=CE/DF.证明证明:ACBDAOE BOF AE/BF=CE/DF.同理同理CE/DF=EO/FO, AE/BF=CE/DFAE=CE, BF=DF.即即F是是BD的的中点中点.v例3:如图ABC是等边三角形,DAE=120交

17、直线BC于D,E求证AB/EC=BD/AC.ADBCE123分析分析:将线段将线段AB,EC,BD,AC划归到两个三角形中划归到两个三角形中,再设法再设法证明它们相似证明它们相似,从而对应边成从而对应边成比例比例.利用利用60 120证明证明ABD ECA.v例4:如图, ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E是AB中点.求证2CE=CD.ABCED分析分析:设法利用三角形相似加以解设法利用三角形相似加以解决决.EC,DC划归到哪两个相似三角形去划归到哪两个相似三角形去?如如何证明何证明?请讨论请讨论.证明证明:AB=AC=BD,AE=EB, AE/AC=AC/AD=1/2, E

18、AC=DAC,AEC ACD, AE/AC=EC/CD=1/2.即即2EC=CD.v例5,已知, ABCD中,E是CB延长线上的点,.DE交AB于F.求证：BCCD=AFCE.AFEBCD分析：分析：ADF CED 得得AD/CE=AF/CD，再由，再由AD=BC，等量代换即可。，等量代换即可。v例例6：如图，：如图，ABC中，中，D是是BC上的一点，上的一点，E是是AC上的一点，上的一点，EFAD交交BC于于F，EG AB交交BC于于G。求证：。求证：CFGB=CGFD。ABCEFDG分析：将分析：将CFGB=CGFD改写改写为为CF/FD=CG/GB。利。利用平行线，可推出用平行线，可推出

19、CF/FD=CE/EA，CG/GB=CE/EA，借助，借助于等比代换即可于等比代换即可。课内追踪练习课内追踪练习、如图（）， 中，则:四边形:四边形=_答案：巩固练习1、两个相似三角形的面积比为5，周长比为m，则5/m=_2、如图（8），AC AB于A，BD AB于B，AD和BC相交于E，EF AB于F，已知AC=20，BD=30，则EF的长为_答案：（1）5答案：（2）123.3.若如图所示，若如图所示，ABCABCADBADB，那么下列关系成立的是，那么下列关系成立的是 ( ) ( ) A.ADB=ACBA.ADB=ACBB.ADB=ABCB.ADB=ABCC.CDB=CABC.CDB=C

20、ABD.ABD=BDC D.ABD=BDC 4.4.ABCABC中，中，AC=6AC=6，BC=4BC=4，CA=9CA=9，ABCABCABCABC，ABCABC最短为最短为1212，则它的最长边的长度为，则它的最长边的长度为( ) ( ) A.16 B.18 C.27 D.24 A.16 B.18 C.27 D.24 B BC C练习练习5 . ( 2 0 0 45 . ( 2 0 0 4 年年 上 海 市上 海 市 ) ) 如 图 所 示 ， 在如 图 所 示 ， 在 A B CA B C 中 ，中 ，AB=AC,A=36AB=AC,A=36，BDBD平分平分ABCABC，DE/BCDE

21、/BC，那么在下列三角，那么在下列三角形中，与形中，与ABCABC相似的三角形是相似的三角形是 ( )( )A. A. DBE B. DBE B. ADEADEC. C. ABD D. ABD D. AEC AEC B6 6(2004(2004西宁西宁) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD边长是边长是2 2，BEBECE,MN=1,CE,MN=1,线段线段MNMN的两端在的两端在CDCD、ADAD上滑动，当上滑动，当DM=DM= 时，时， ABEABE与以与以D D、M M、N N为顶点的三角形相似。为顶点的三角形相似。55255或或7.7.如图，如图，ABCDABCD是面积为是面积为

22、a a2 2的任意四边形，顺次连接各边中的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形点得四边形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再顺次连接，再顺次连接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四边形得到四边形A A2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重复同样的方法直到得到四边形，重复同样的方法直到得到四边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，则四，则四边形边形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面积为的面积为 。na228.8.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC延长线上一点，延长线上一点，且且CG=

23、 CG= 31BCBC，则，则 FGAF=( )=( ) A.12/7 B.3/2A.12/7 B.3/2C.10/7 D.2/7C.10/7 D.2/7 A9.9.如图所示，如图所示，RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=4AB=4，BC=3BC=3，DEBCDEBC，设设AE=xAE=x，四边形，四边形BDECBDEC的面积为的面积为y y，则，则y y可表示成可表示成x x的函数，的函数，其图像的形状是其图像的形状是 ( )( ) A. A.开口向上的抛物线的一部分开口向上的抛物线的一部分 B.B.开口向下的抛物线的一部分开口向下的抛物线的一部分 C.C.线段线段( (不包括两个端点不包括两个端点) ) D. D.双曲线的一部分双曲线的一部分 B课前基础练习课前基础练习1、如图（、如图（1），），ABC的中线的中线AD、CE相交于点相交于点F，则，则AF：AD的比为的比为_2、在、在ABC中，中，DEBC，E