第5章刚体定轴转动

1、1第第5章章 刚体力学基础刚体力学基础 动量矩动量矩 1刚体和刚体的基本运动刚体和刚体的基本运动 2 刚体定轴转动的运动定律刚体定轴转动的运动定律 3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 4 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律 刚体的定点运动刚体的定点运动-回转仪的旋进回转仪的旋进 2角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律一、质点对定点的角动量一、质点对定点的角动量二、力对定点的力矩二、力对定点的力矩三、质点的角动量定理三、质点的角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律四、质点系的角动量问题四、质点系的角动量问题 3思路思路:与处理动量定理与处理动

2、量定理 动量守恒问题相同动量守恒问题相同一、质点对定点的角动量一、质点对定点的角动量t 时刻时刻(如图如图)mPorPrL定义定义为质点对定点为质点对定点o 的角动量的角动量LsinPrL方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面Pr，SI/skgm2大小：大小： 12TMLL量量 纲纲：4FrMmForM t 时刻时刻 如图如图定义定义sinFrMdF为力对定点为力对定点o 的力矩的力矩d二、力对定点的力矩二、力对定点的力矩大小：大小：中学就熟知的：中学就熟知的：力矩等于力乘力矩等于力乘力臂力臂方向：垂直方向：垂直 组成的平面组成的平面Fr, 22TMLM量纲量纲：NmSI51）物理量角动量

3、和力矩）物理量角动量和力矩均与均与定点定点有关，有关，角动量也称角动量也称动量矩动量矩，力矩也叫，力矩也叫角力角力；2） 对轴的角动量和对轴的力矩对轴的角动量和对轴的力矩 在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。 ( 见见 6 7 8 页页 )讨论讨论6z Ly Lx LPrLzyxz My Mx MFrMzyxxL：质点对：质点对x轴的角动量轴的角动量xM：质点对：质点对 x轴的力矩轴的力矩) () (zPyPxPzzyyxxLzyx某一方向的分量怎么求呢？某一方向的分量怎

4、么求呢？由定义出发：由定义出发：) () (zFyFxFz zyyxxMzyxzyxFFFzyxzyxM 分量中，分量中，涉及的位矢分量为涉及的位矢分量为x,y涉及的力的分量为涉及的力的分量为Fx,FyzMxyzyFxFM例如：力矩例如：力矩下面，下面，用用图示图示形象说形象说明，加明，加深理解深理解该计算该计算过程过程7xyzo用图示加深理解计算过程用图示加深理解计算过程思路：思路： 设设坐标原点坐标原点o是求力是求力 矩的定点矩的定点 某某时刻时刻 质点位矢是质点位矢是roxyrzrFxyFzFxyrxyxyzFrzMr受力是受力是F然后然后将位矢和力将位矢和力向向xy平面和平面和z方方向

5、两个分向分解向两个分向分解最后得出结果最后得出结果8xyxyzFrzMz转轴转轴o转动平面转动平面F垂直轴F轴r垂直FrzMz求力对求力对 z 轴的力矩的轴的力矩的简简化步骤：化步骤：第第1步，通过质点画步，通过质点画z轴轴转动平面（过质点垂直转动平面（过质点垂直转轴的平面，即过质点转轴的平面，即过质点的的xy平面）平面）第第2步，认定位矢和力步，认定位矢和力在转动平面内的分量在转动平面内的分量第第3步，算出力对步，算出力对z轴的轴的力矩力矩结论：结论：z轴转动平面内的分轴转动平面内的分量的运算就是对量的运算就是对z轴的力矩轴的力矩（或角动量）（或角动量）9tLMddLtMdd LtMtt21

6、d角动量守恒定律角动量守恒定律00LM冲量矩冲量矩微分形式微分形式积分形式积分形式PrL)(0)()(prdtdMprdtdpdtrdprdtddtpdrFrM角动量角动量定理定理101）角动量守恒定律的条件角动量守恒定律的条件2）动量守恒与角动量守恒动量守恒与角动量守恒 是相互是相互独立独立的定律的定律 3） 有心力有心力 力始终过某一点力始终过某一点 central force0Mo行星在速度和有心力所组成行星在速度和有心力所组成的平面内运动的平面内运动0M角动量守恒角动量守恒如行星运动如行星运动动量动量不不守恒守恒角动量角动量守恒守恒F讨论讨论110MsinrmL 开普勒第二定律开普勒第

7、二定律sinrtrmddtrrmddsin212tSmdd2掠面速度掠面速度角动量守恒就是掠角动量守恒就是掠面速度相等面速度相等mLtS2ddL常矢量常矢量m Lvrr例题5.8,5.9(173)12四、质点系的角动量问题四、质点系的角动量问题 1.对定点的角动量对定点的角动量iiiiiPrLL2.定理和守恒定律定理和守恒定律iiiiiiiifrFrMMo1P1r2P2rtLMiiddii0iiifr内力对定点的力矩之和为零内力对定点的力矩之和为零质点系内的重要结论之三质点系内的重要结论之三 (自证自证)13tLMdd外iiLL形式上与质点的角动量定理完全相同形式上与质点的角动量定理完全相同内

8、力对定点的力矩之和为零内力对定点的力矩之和为零只有外力矩才能改变系统的总角动量只有外力矩才能改变系统的总角动量vector.const0LM角动量守恒定律角动量守恒定律14盘状星系盘状星系角动量守恒的结果角动量守恒的结果15比较比较 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理tLMtPFdddd 形式形式上完全相同，所以记忆上就可上完全相同，所以记忆上就可简化简化。从动量定理变换到角动量定理，只需将相应从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。的量变换一下，名称上改变一下。 （趣称（趣称 头上长角头上长角 尾部添矩）尾部添矩）LtMPtFttttdd21210000LMP

9、F16 动量定理动量定理 角动量定理角动量定理tLMtPFddddLtMPtFttttdd21210000LMPF21tttFPFd21tttMLMd力力力矩或角力力矩或角力动量动量角动量角动量或动量矩或动量矩力的冲量力的冲量力矩的冲量力矩的冲量或冲量矩或冲量矩17基本方法：基本方法： 质点系运动定理质点系运动定理 加加 刚体特性刚体特性刚体定轴转动的刚体定轴转动的 动能定理动能定理 角动量定理角动量定理平动：动量定理平动：动量定理camF可以解决刚体的一般运动（平动加转动）可以解决刚体的一般运动（平动加转动）刚体力学基础刚体力学基础181 刚体和刚体的基本运动刚体和刚体的基本运动 一、一般运

10、动一、一般运动 二、刚体的定轴转动二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法三、解决刚体动力学问题的一般方法19ciiaMF 20212223)(t 0 0 ttt dtdttt0lim)(0 0 t24)()(,tttttt )()(ttt 220lim)(dtddtdttt0025 5 (1).各点运动的特点各点运动的特点转动平面转动平面 在自己的转动平面内作在自己的转动平面内作圆周运动圆周运动z(2).描述的物理量描述的物理量任一质点圆周运动的线任一质点圆周运动的线量和角量的关系量和角量的关系rrarartn2rnarat减速减速加速加速简化简化2627设板面是设板面是转动平面

11、转动平面r加速加速tanarnarat进一步解释进一步解释28转速n : 每分钟转过的圈数 单位 r/min30602nn例题5.1(152页), 5.2(154页)29三、解决刚体动力学问题的一般方法三、解决刚体动力学问题的一般方法 原则原则:质点系的三个定理质点系的三个定理 利用刚体的特征利用刚体的特征化简到化简到方便形式方便形式( 简便简便 好记好记)1.刚体的平动刚体的平动 质点模型质点模型 运用质心运动定理运用质心运动定理 2.刚体的定轴转动刚体的定轴转动 利用刚体的模型利用刚体的模型(无形变无形变) 化简角动量定理化简角动量定理 功能原理功能原理 方便的形式方便的形式302 刚体定

12、轴转动的运动定律刚体定轴转动的运动定律 3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 4 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律 一一、 刚体定轴转动刚体定轴转动 二二、转动惯量的计算、转动惯量的计算(*) 三三、刚体定轴转动的角动量定理、刚体定轴转动的角动量定理(*) 四四、角动量守恒定律、角动量守恒定律 五五、刚体定轴转动的能量关系、刚体定轴转动的能量关系31一一、 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 ( (质点系角动量定理微分形式的简化质点系角动量定理微分形式的简化) ) 质点系角动量定理微分形式质点系角动量定理微分形式：tLMdd1.化简过程化简过程定

13、轴转动定轴转动zMMzzLLztLMddzimiri所以，可直所以，可直接写分量式接写分量式32zL=?zimiriiiiizmrL因为各质元角动量因为各质元角动量方向相同方向相同，所以合矢，所以合矢量的大小就是分矢量量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加iiLLiiiimriiirmL)(2任一质量元的任一质量元的角动量大小为角动量大小为iir因为因为所以所以mrL332iiirmJ定义定义刚体对定刚体对定轴的轴的转动惯量转动惯量JLJLimzirLiiirmL)(2进一步进一步化简化简则刚体对定则刚体对定轴的轴的角动量角动量或写为或写为342.刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转

14、动定律tJtLMddddirimzLJM amF定轴转动定律在转动问题中的地位定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律相当于平动时的牛顿第二定律应用转动应用转动定律解题定律解题步骤与牛步骤与牛顿第二定顿第二定律时完全律时完全相同。相同。见181页5.1选择 题(1)35二二、转动惯量的计算、转动惯量的计算 1.定义定义 mrJrmJViiid221m2m3m1r2r3r312iiiirmJ例：如图质点系例：如图质点系233222211rmrmrm36例5.3(159页) 已知一质量为M、长为L的均质细棒,求杆对通过杆的一端并与杆垂直的轴的转动惯量惯量.解 取棒的一端为坐标原点，

15、沿棒长方向取x轴，在棒上离原点x处取一段dx，则dx段的质量为dxLMdm 2030223131MLxLMdxLMxdmxJLLy2223222212131MLxLMdxLMxdmxJLLLLy根据公式，有 若轴通过中心，则yxLxdx在一系列的平行轴中，在一系列的平行轴中，对质心的转动惯量最小对质心的转动惯量最小y372.计算计算 1) 对称的对称的 简单的简单的 查表查表 (161页页)2) 平行轴定理平行轴定理 parallel axis theorem2mhJJcomcoh22223141121)2(MLMLMLLMJJyyyxLxdxy38 J 和转轴有关和转轴有关 同一个物体对不同

16、转轴的转动惯量是不同的同一个物体对不同转轴的转动惯量是不同的 oom l213J =oom l1122J =oom r122J =oom r142J =平行轴平行轴39哪种握法转动惯量大？哪种握法转动惯量大？40例例5.4 (162) 已知已知:定滑轮定滑轮解解:受力图受力图RM轻绳轻绳 不伸长不伸长 无相对滑动无相对滑动求：求：1）物体加速度）物体加速度a2）绳子的张力）绳子的张力T3 ) 滑轮转动的角加速度滑轮转动的角加速度1Tgm12Ta 212JRTRT 3222amTgm1m2m12mm设设2Tgm2a 1111amgmT1TRa 得解得解221MRJ 41三三、刚体定轴转动的角动量

17、定理、刚体定轴转动的角动量定理( (积分形式积分形式) )1221LLLtMttd一般的质点系一般的质点系021JJtMttd一个刚体一个刚体四四.角动量守恒定律角动量守恒定律vectorconst.0LM00JJiiii由多个刚由多个刚体组成的体组成的刚体体系刚体体系42演示演示(一一)茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳花样滑冰花样滑冰 跳水跳水(二二)自行车转盘自行车转盘mm1r2r43五五、刚体定轴转动的能量关系、刚体定轴转动的能量关系1.动能定理动能定理 222121JmEiiiK化简化简1）用转动惯量表达刚体定轴转动的动能）用转动惯量表达刚体定轴转动的动能KEAA内外质点系动能定理质点系动能定

18、理理解理解(164页页)22222212121JmrmrEriiiikii442） 用用角量角量表示的表示的力作功的形式力作功的形式dddMrFA3） 刚体定轴转动的刚体定轴转动的动能定理形式动能定理形式 (167页页) 2022121JJA2.重力场中重力场中,机械能守恒定律机械能守恒定律系统系统- 刚体刚体 + 地球地球E mghJc122了解了解(165页页)例题5.6(168)例题5.5(166页),45例例 质点与质量均匀的细棒相撞质点与质量均匀的细棒相撞(如图如图)解：过程解：过程1 质点与细棒相碰撞质点与细棒相碰撞 碰撞过程中系统对碰撞过程中系统对o 点点 的合力矩为的合力矩为0MolMm0设，完全非弹性碰撞设，完全非弹性碰撞求：棒摆的最大角度求：棒摆的最大角度所以，系统对所以，系统对o点的角动量守恒。点的角动量守恒。即，即，21LL 131220mlMllm46 2cos1cos1213121222mglMglmlMl细棒势能细棒势能质点势能质点势能olMm0过程过程2 质点、细棒上摆质点、细棒上摆 系统中包括地球，系统中包括地球， 只有保守内力作功，所以机械能守恒。只有保守内力作功，所以机械能守恒。 设末态为势能零点设末态为势能零点两式联两式联立得解立得解47刚体的定点运动刚体的定点运动 (了解了解) 一、基本特征一、