微积分第三章第3.6节--二元函数的极值与条件极值

1、第3.6节二元函数的极值与条件极值微积分教学设计教学札记教学对象：财经类，管理类等专业教学内容：极值、极值点、极值存在的条件、条件极值 教学目的：理解极值、极值点的概念，学会判断极值的存在性，会求条件极值教学方法：利用多媒体进行启发式教学教学重点：极值存在的条件、条件极值 教学难点：条件极值教学过程在第3.4节中我们讨论过一元函数的极值问题，现在作为二元函数微分法的应用，我们来考虑二元函数的极值。如果二元函数z=f（x，y）在的某个邻域内有定义，且对该邻域内的任意点（x，y）都有 则称函数f（x，y）在点处取得极大值（或极小值），称为函数f（x，y）的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称

2、为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 对于二元函数的极值，有明显的几何表示。例如，二元函数在（0，0）处取得极大值1，见图3.6.1。定理3.6.1（极值存在的必要条件）如果函数z=f（x，y）在点存在偏导数，且在处取得极值，则必有 应当注意的是二元函数的极值点，可能是两个一阶偏导数等于零的点（称为驻点），也可能是一阶偏导数不存在的点。例如，二元函数在（0，0）点处取得极值，而，其极大值点（0，0）就是驻点。而二元函数显然在（0，0）点有极小值0，但在（0，0）点处，函数的两个一阶偏导数都不存在。此外，由定理3.12可知，如果偏导数存在，那么，二元函数的极值点一定是驻点，但反之驻点却未必一

3、定是极值点。例如，函数，在原点处有，但对原点附近的任何x都有，即函数取负值，而对原点附近任何的y， 教学心得，函数取正值。因此，原点（0，0）不是函数的极值点。 如果要求二元函数的极值点，应当从驻点或一阶偏导数不存在的点中选取可能的极值点，为了判断所选的点是否是极值点，我们不加证明地给出： 定理3.6.2 设函数z=f（x，y）的所有的二阶偏导数都在点附近连续，且有 记 那么 （1）当时, f（x，y）在处有极小值。 （2）当时, f（x，y）在处有极大值。 （3）当时, f（x，y）在处无极值。 例3.6.1 求函数的极值。 解 为求驻点，解联立方程组 得到两个驻点：（0，0），（1，1）。

4、 由于故由定理3.6.2，（0，0）不是f（x，y）的极值点。 又因为故，由定理3.16，f（x，y）在（1，1）点处有极小值f（1，1）=-1。 例3.6.2 验证函数在（0，0）处无极值。解 由于， 故有，并且 由定理3.6.2，（0，0）点不是f（x，y）的极值点。对于二元函数而言，极值也是局部性质。有些实际问题，要求二元函数在某区域上的最大值和最小值。二元函数的最值点与一元函数类似，或者出现在区域的边界上，或者是函数在区域内部的驻点和不可微点。我们只需计算出函数在驻点和不可微点的值，再与函数在区域的边界上的值相比较，便可从中找出函数的最大值和最小值。 例3.6.3 在半径为R的圆的一切

5、内接三角形中，求出面积最大者。见图3.6.2。 解 以x，y，z表示内接三角形各边所对应的圆心角，则有即，三角形的面积 教学札记教学心得图3.6.3D这里。 我们的问题就是求S在闭区域 上的最大值。（见图3.6.3）由于S在闭区域D上连续，根据连续函数的最大值最小值定理，S在D上必有最大值，最大值点或者是驻点，或者是边界点。为求驻点，我们解方程组 在D的内部，方程组有唯一解，就是驻点，在该点处。 在闭区域D的边界上，即在直线x=0，y=0及上，S恒等于零，因此S在处达到最大值，换言之，当时，即内接三角形为等边三角形时，其面积最大。 以上我们讨论了二元函数的极值问题，系指自变量可任意取值，在不受

6、限制的情况下的极值，通常被称为无条件极值(unconditional extremum)。有些实际问题求极值时，往往对自变量有一定的约束条件，这种带有约束条件的极值被称为条件极值(conditional extremum)。现在考虑函数z=f（x，y）在约束条件(x，y)=0之下的极值问题。显然，如果我们能从(x，y)中解出y=(x)，将其代入z=f（x，y）中，对z=fx，(x)，我们便可作为一元函数来求极值了。但(x，y)若是一个复杂的函数时，从中无法解出y或x来，上述方法就难于实现了。以下我们介绍求条件极值常用的一种有效方法，即拉格朗日乘数法。具体步骤如下：1构造拉格朗日函数 其中为待定常数，称为拉格朗日乘数，把条件极值问题化为三元函数F(x，y，)的无条件极值问题。 2由极值存在的必要条件，令 解以上的联立方程组，解出可能的极值点(x，y)。3由问题的实际意义来判定这样的点(x，y)和是否是极值点，进而求出要求的极值。教学札记教学心得例3.6.4 已知矩形周长为2p，将它绕一边旋转而形成一个旋转体，当此旋转体体积为最大时，求此矩形两边之长。 解 设矩形的两边长为x和y，则有x+y-p=0，若矩形绕长为y的边旋转，旋转体体积为