华中科技大学流体力学第五章_1

1、第第 5 5 章章 可压缩流体的一元流动可压缩流体的一元流动? 对于不可压缩流体的流动 =常数(已知) ，所以未知变量 4 个： u , v , w , p 方程 4 个：连续性方程 1 个，动量(运动方程) 3 个。在特定的边界和初始条件下可形成微分方程的定解问题。? 对于可压缩流体的流动 =变量(未知) ，所以未知变量 6 个： u , v , w , p，T 方程 6 个：连续性方程 1 个，动量(运动方程) 3 个， 状态方程 1 个，以及等熵关系和能量守恒 方程中的 1 个。在特定的边界和初始条件下可形成微分方程的定解问题。R - 气体常数。对于空气 。 K)J/(kg 287R1

2、1完全气体状态方程完全气体状态方程5.1 5.1 可压缩气体一元定常流的基本公式可压缩气体一元定常流的基本公式描述系统平衡状态下热力学参数之间关系。 TRp状态方程2. 2. 连续性方程连续性方程uACddd0uAuAddd0uAuAu A3. 3. 运动方程运动方程d1 dddupuxx 1ddu up1xuuuupuvwftxyzxVec T内能phc T焓cV - 定容热容cp - 定压热容VVqcTppqcT4. 4. 热力学常数热力学常数对于气体流动通常不考虑质量力。/pVcc绝热指数（质量热容比）1pVVRccc气体常数1VRc1pRc5 5热力学第一定律（热力学第一定律（能量守恒

3、定律）能量守恒定律） 加入系统的热能 = 系统内能的增加 + 系统对外界所做的功1ddqep 单位质量流体：Vec T1ddqeppVhc TcR TphepVR cc2ddddd2ppuqeh 1ddu up 一元定常绝热流动的能量方程 在绝热流动中，单位质量气体的焓与动能之和保持不变。 22uhC22puc TC或对于绝热流动 q = 0TRp/pVcc111pVppR cccc1pcR221uRTC能量方程TRp221upC能量方程22puc TC22puc TC能量方程221uRTC221upC22uhC例例 27C的空气由大容器经一细 长管流入17C的大气，流动 过程绝热。求气体出流

4、速度。T0Tu大容器空气解解 这是可压缩流体的绝热定常流动问题，把细管 中流体看成是流线，用能量守恒方程求解。202ppuc Tc T027327 K300 KT 273 17 K290 KT 0212 1.4287 300290 m/s1.41 141.74 m/sRuTT解出气体的出流速度2021puRTc T6. 6. 完全气体流动的等熵关系式完全气体流动的等熵关系式 dd 1/depqsTT由热力学第二定律 s - 熵，T - 温度，q - 热量。 热量变化内能变化压强所做功d 1/d1/ lnln lnlnlnlnln lnln lnVVVVVVVVVVTscRTcTRCcTcccR

5、cRCR TccRCpcCVe c Tdd 1/depqsTTTRpCp等熵关系式 (1)pVVRccc对于等熵流动中的任意两个状态 “1” 和 “2” 有 2121pp112121TT12121TTpp运用状态方程等熵关系式1212ppTRp等等熵熵 - 绝热，可逆(忽略由于粘性产生的摩擦力) 。Cp1/1111122222pTpTpTpT定常一元流动的运动方程1ddu up定常一元流动的连续性方程uACddd0uAuATRp状态方程Cp等熵关系式 2121pp112121TT12121TTpp22puc TC定常一元流动的能量方程221uRTC221upC22uhC2d2puC 把等熵关系

6、式代入定常流动的运动方程并沿流线 积分后也可以得到能量守恒方程Cp等熵关系式 11Cp1ddu up 运动方程111111/1111dd111 11ppCC pCpppC pCC11Cp2d2puC212puC能量守恒方程驻点p, u, T0例例 已知空气气流 ( = 1.4 )等熵流动，物体上游参数求驻点的压强，温度，密度510 Pa, 300 m/s, 300 KpuT22011.4 1300300 K345 K21.4 2872uTTR对于等熵流动解解 由能量方程动能转化为热能和压强能。20112RRuTT解出1.411.4 150003451.63 , 1.631.63 10 Pa30

7、0pTpppT5330001.63 10 kg/m1.647 kg/m287345pRT5.2 5.2 微弱扰动波的传播微弱扰动波的传播 声速声速 声波 - 微弱的压力(密度)扰动波。声速 - 声波在流体中的传播速度。?声速是微弱压力(密度)扰动波的传播速度， 不是流体质点本身的运动速度。1 1声波声波2 2声速声速cpup+dpyxcc- upTp +dp + dT + dT连续性方程dcAcu A22ddpApp Ac uAc A动量方程dducdpucdddpcc比较两式得到2dd1dpcc cu Addpc 当流体压缩性小时，声速大；当流体压缩性大时，声速小，所以声速的大小也直接反映了

8、流体的可压缩程度。如果流体是不可压缩的，则 ，此时声速趋向于无穷大。这说明，在研究声波的传播时是不能忽略流体压缩性的。 (d /d )p 2dd1dpc在微弱扰动条件下d1略去 后得到d 牛顿(1687)年认为声音在空气中传播是等温过程， 所得到的计算值与实测值有一定偏差。 拉普拉斯1816年提出声音的传播是等熵过程， 从而导出了正确的声速计算公式。在等熵条件下CpddpppccRTTRpddpcRTpR TddpRT例如，在 10C 的空气中，声速为 337 m/s； 在 30C 的空气中，声速为 349 m/s。 20.04 m/scT4 . 1287 J/ kg KR 对于空气 ，能量方

9、程还可以用声速表示为2221ucC221uRTCcRT能量方程22puc TC221uRTC221upC2221ucC能量方程22uhC3 3马赫马赫(Mach)(Mach)数数马赫数马赫数 - 流体运动速度与当地声速之比uMac问题问题 一飞机在10 C的空气中飞行，另一飞机 在10 C的空气中飞行，两机马赫数相同。 它们的飞行速度相同吗？答答 不同。定常一元流动的运动方程 2ddddddppu uc22dduucu2d /d /Mau u 1ddu up 气流速度的相对变化所引起的密度相对变化量 与 Ma 2 成正比。2d /d /Mau u 当马赫数很小时，速度的相对变化只能引起很小 的

10、密度相对变化，当马赫数很大时，则会引起很 大的密度相对变化。 气流的压缩性与马赫数的大小密切相联。 Ma 1 超声速流动Ma = 1 声速流动根据马赫数的大小，可以把流动分类为：1arcsinarcsincuMa(a)(b)(c)(d)Ma1马赫椎马赫角utct 亚声速流中的扰动可以影响到全流场，而超声速 流中的扰动仅影响马赫锥中的部分流场。 求解不可压缩流体或者亚声速可压缩流体的绕流 问题时，需要给出全部边界条件；对于理想气体 的超声速绕流问题，下游边界条件是不必要的。 例例 子弹在15C的大气中飞行，已测得其头部马赫角为 40，求子弹的飞行速度。111.5557sinsin40Ma1.55571.4 287 288 m/s530 m/suMacMaRT27315 K288 KT 解解1arcsinMaHu例例 飞机在观测站上空 H = 2000 m 以速度 u =1836 km/h飞行，空 气温度 T =15 C。飞机飞过观 测站正上方多长时间后观测站 可以听到飞机声？1.42