控制系统的时域分析法

1、第三章 控制系统的时域分析法一基本内容1 了解规定典型输入信号的意义；2 熟练掌握一阶、二阶系统暂态响应及暂态性能指标的计算；3 了解高阶系统的组成、阶跃响应及其与闭环零点、极点的关系；掌握闭环主导极点的概念，了解用二阶系统响应近似分析高阶系统性能的方法；4 了解系统稳定性的概念，熟练掌握线性定常系统稳定的充要条件及劳斯稳定判据；5 了解控制系统稳态误差的定义，熟练掌握稳态误差的计算与分析。二重点和难点本章的主要内容是通过研究系统的时域响应去评价系统的性能，即稳定性、暂态性能和稳态性能。1控制系统的暂态响应控制系统时间响应的暂态分量即暂态响应。通常以阶跃响应表征系统的暂态性能。二阶系统的典型传

2、递函数为式中 阻尼比无阻尼自然振荡角频率，当时，典型二阶系统的单位阶跃响应为其单位阶跃响应曲线如图3-1所示 其性能指标：上升时间 （其中,用弧度表示）峰值时间 超调量 调节时间 （或）图3-1典型二阶系统的单位阶跃响曲线对于高阶系统，其暂态响应可以看成是由一阶和二阶系统暂态响应分量组合而成的。如果系统传递函数中距离虚轴最近的闭环极点，其实部仅有其他极点实部的或更小一些，并且该闭环极点附近无闭环零点，则可认为系统的响应主要由该极点决定。这种闭环极点被称为闭环主导极点。通常系统的主导极点是共轭复数极点，故系统的暂态响应性能也可由相应的二阶系统暂态响应近似估计。2线性系统的稳定性（1）系统稳定性的

3、概念和稳定的充分必要条件一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是稳定的。所谓稳定性，是指系统受到扰动作用后偏离原来的平衡状态，在扰动作用消失后，经过一段过度时间能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回到原来的平衡状态的性能。若系统能恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的；若扰动消失后系统不能恢复到原来的平衡状态，则称系统是不稳定的。线性系统的稳定性取决于系统的内部结构，而与外部输入无关。设系统的闭环传递函数为其特征方程式（即闭环系统传递函数的分母多项式）为线性系统稳定充分必要条件是：系统特征方程式的所有根（即闭环传递函数的极点）全部为负实数或为具有负实部的共轭复数，也就是所有的极点均应位于平

4、面虚轴的左侧。（2）劳斯稳定判据劳斯稳定判据指出：线性系统稳定的充要条件是:特征方程式的各项系数都大于零，且劳斯表左端第一列各系数都大于零。（注：如果特征方程式中的系数有负的或为零，则系统为不稳定的） 如果劳斯表中第一列系数的符号发生变化，则系统不稳定，且第一列元素正负号的改变次数等于特征方程式的根在平面右半部分的个数。劳斯表中两种特殊情况（a）劳斯表中某一行第一列的元素为零，但其余各项不为零或没有其余项。在这种情况下，可以用一个很小的正数代替这个零，并继续列劳斯表。如果劳斯表第一列中上下各项的符号相同，则说明系统存在一对虚根，系统处于临界稳定状态；如果上下各项的符号不同，表明有符号变化，则系

5、统不稳定。 (b) 如果劳斯表中某一行中的所有元素都为零，则表明系统存在大小相等符号相反的实根和（或）实部相反的共轭复根（包括纯虚根）。这时可以利用该行上面一行的系数构成一个辅助方程式（必为偶次），将对辅助方程式求导后的系数列入该行，并继续列劳斯表。平面中这些大小相等，径向相反的根可以通过求解辅助方程式得到，而且这些根的个数总是偶数。3稳态误差系统的稳态误差是指，稳定系统在输入加入后，经过足够长的时间，其暂态响应已衰减到微不足道时，稳态响应的期望值与实际值之间的误差。稳态误差可以衡量某种特定类型信号输入系统后的稳态精度。图3-2系统的结构图设系统的结构图如图3-2所示，在此定义误差为给定信号与

6、反馈信号之差，即 系统的开环传递函数为： 系统的给定误差传递函数为：系统的扰动误差传递函数为：（1）给定稳态误差的计算方法 应用拉氏变换的终值定理计算注意：在平面的右半平面及虚轴上（原点除外）必须解析。应用静态误差系数计算如果系统开环传递函数中串联的积分环节的个数为，则当等于0、1、2 时，系统分别称为0型系统、1型系统、2型系统 。愈高，系统的稳态精度越高，但系统的稳定性愈差。静态误差系数分别为：位置误差系数 速度误差系数 加速度误差系数 当系统的输入信号为时，扰动稳态误差的计算方法三典型例题分析 例 3-1 已知单位反馈随动系统如图3-3所示。若，。试求：（1）典型二阶系统的特征参数和；（

7、2）暂态特性指标和； （3）欲使，当不变时，应取何值。 图3-3随动系统结构图解： 由系统结构图可求出闭环系统的传递函数为与典型二阶系统的传递函数比较得 已知、值，由上式可得于是，可 为使，由公式可求得，即应使由0.25增大到0.5，此时即值应减小4倍。 例3-2 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-4所示。如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数及闭环传递函数。图3-4 单位阶跃响应曲线解：由图3-4可知本例题系统为欠阻尼系统，可以从上图直接得出和。由 可以解得：所以系统开环传递函数为： 例3-3控制系统框图如图3-5所示。要求系统单位阶跃响应的超调量，且峰值时间。试确定与的值

8、，并计算在此情况下系统上升时间和调整时间。 图3-5 控制系统框图解：由图可得控制系统的闭环传递函数为： 系统的特征方程为。所以由题设条件：，可解得，进而求得在此情况下系统上升时间 调整时间 例 3-4 设系统的特征方程式分别为1 23试用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。解：解题的关键是如何正确列出劳斯表，然后利用劳斯表第一列系数判断稳定性。1列劳斯表如下s4 1 3 5 s3 2 4 s2 1 5s1 -6s0 5劳斯表中第一列系数中出现负数，所以系统不稳定；又由于第一列系数的符号改变两次，1-65，所以系统有两个根在s平面的右半平面。2列劳斯表如下s4 1 1 1 s3 2 2 s2 0()

9、 1 s1 2-2/s0 1由于是很小的正数，行第一列元素就是一个绝对值很大的负数。整个劳斯表中第一列元素符号共改变两次，所以系统有两个位于右半s平面的根。3列劳斯表如下s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 0 0 由上表可以看出，s3行的各项全部为零。为了求出s3各行的元素，将s4行的各行组成辅助方程式为 A(s)= s4+3s2+2s0将辅助方程式A(s)对s求导数得用上式中的各项系数作为s3行的系数，并计算以下各行的系数，得劳斯表为s5 1 3 2 s4 1 3 2s3 4 6 s2 3/2 2s1 2/3 s0 2从上表的第一列系数可以看出，各行符号没有改变，说明系统没有特征根在s右

10、半平面。但由于辅助方程式A(s)= s4+3s2+2=（s2+1）（s2+2）=0可解得系统有两对共轭虚根s1,2=±j，s3,4=±j2，因而系统处于临界稳定状态。例 3-5 已知系统结构图如图3-6所示，试确定使系统稳定的值范围。解： 解题的关键是由系统结构图正确求出系统的特征方程式，然后再用劳斯稳定判据确定使系统稳定的值范围。闭环系统的传递函数为 图3-6控制系统结构图 其闭环特征方程式为 s3 + 3s2 + 2s+ =0 列劳斯表为： s3 1 2 s2 3 s1 (6-)/3 s0 为使系统稳定，必须使劳斯表中第一列系数全大于零，即和，因此，的取值范围为，并且系

11、统临界稳定放大系数为=6。例 3-6 已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下。（1） （2）试求：1静态位置误差系数、静态速度误差系数和静态加速度误差系数；2求当输入信号为时的系统的稳态误差。 解：（1）首先判断系统的稳定性。系统的闭环传递函数为 其闭环特征方程为。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为型，可以求得静态误差为：所以给定输入信号的稳态误差计算如下：(2) 判断系统稳定性。系统的闭环传递函数为 其闭环特征方程为。由劳斯判据可知系统是稳定的。系统为型，可以求得静态误差为：所以给定输入信号的稳态误差计算如下： 注意：该例中若取，则由劳斯判据可知系统是不稳定的。因此不能定义静态误差系数，也谈

12、不上求稳态误差。例 3-7设控制系统如图3-7所示，输入信号，试求使的值取值范围。解：稳态误差只有在系统稳定时才有意义，因此应首先判断系统的稳定性。 系统的闭环传递函数为 图3-7控制系统结构图 其闭环特征方程为，由劳斯判据可知，当时系统是稳定的。系统的开环传递函数为 则 当输入信号为时，系统的稳态误差计算如下：由已知条件，可求出。因此的取值范围为。四习题3-1 单位反馈控制系统的开环传递函数为：（1）求阻尼比系数时的值；（2）当=5时，求系统的动态性能指标和。3-2 设控制系统如图3-8所示。如果要求系统的最大超调量，上升时间。试确定放大系数和反馈系数的数值，并求出在此和情况下系统的峰值时间

13、和调整时间 (取允许误差带为稳态值的)。图3-8控制系统结构图3-3 已知某二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-9所示。如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数图3-9 二阶控制系统的单位阶跃响应曲线3-4设一单位负反馈系统的开环传递函数试分别求=10和=20时系统的阻尼比、无阻尼自振频率、单位阶跃响应的超调量和峰值时间，并讨论的大小对动态性能的影响。3-5 已知控制系统的特征方程如下，试判断系统的稳定性，并求其不在左半s平面的根的数目。 （1） （2） （3） （4） 3-6 已知控制系统的特征方程如下，试确定系统的稳定的的范围。 （1）； （2）试确定系统稳定的的值范围3-7 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数如下。试判断系统的稳定性。 （1）； （2）； （3） 3-8单位反馈控制系统的开环传递函数为：试确定使系统稳定的K和值的范围，并画稳定区域3-9已知单位反馈控制系统的开环传递函数为试求：（1）位置误差系数、速